การประยุกต์อนุพันธ์กับความเร็วและความเร่ง
ปัญหาเกี่ยวกับระยะทาง ความเร็ว และความเร่ง เราได้เรียนกันมาตั้งแต่วิทยาศาสตร์ระดับ ม.ต้น จนมาถึงวิชาฟิสิกส์ระดับ ม.ปลาย สูตรจำนวนมากมายที่เราท่องกัน เช่น $\displaystyle s=ut+\frac{1}{2}at^2$ หรือ $v=u+at$ นั้น เคยสงสัยกันบ้างไหมครับว่ามีที่มาอย่างไร เนื่องจากความเร่ง $(a)$ ของวัตถุขณะเวลา $t$ ใดๆ คืออัตราการเปลี่ยนแปลงของความเร็ว $(v)$ เทียบกับเวลา $t$ ถ้าวัตถุเคลื่อนที่ตามสมการ $s=f(t)$ เมื่อ $s$ คือระยะทางที่วัตถุเคลื่อนที่ได้ในเวลา $t$ แล้ว
จะได้ $\displaystyle a=\frac{dv}{dt}$ และ $\displaystyle v=\frac{ds}{dt}$
ดังนั้น $\displaystyle a=\frac{d}{dt} \left( \frac{ds}{dt} \right)=\frac{d^2s}{dt^2}$
นั่นคือ ความเร่งขณะเวลา $t$ ใดๆ คืออนุพันธ์อันดับที่ $2$ ของ $s=f(t)$
เพราะฉะนั้น จากสมการ $\displaystyle s=ut+\frac{1}{2}at^2$
จะได้ $\displaystyle v(t)=s'(t)=u+\frac{1}{2}(2)at=u+at$ นั่นเอง
ตัวอย่างการประยุกต์เรื่องความเร็วและความเร่ง
ตัวอย่างที่ 1
วัตถุหนึ่งเคลื่อนที่ได้ระยะทาง $\displaystyle s=4t^3-2t^2+3t-1$ เมตร เมื่อเวลาผ่านไป $t$ วินาที จงหา
(1) ความเร็วของวัตถุขณะเวลา $t$ ใดๆ
(2) ความเร่งของวัตถุขณะเวลา $t$ ใดๆ
(3) ความเร่งของวัตถุขณะเวลาผ่านไป $2$ วินาที
จาก $\displaystyle s=4t^3-2t^2+3t-1$
(1) ความเร็วของวัตถุขณะเวลา $t$ ใดๆ
\begin{eqnarray*}
v(t) &=& s'(t)\\
&=& \frac{d}{dt}(4t^3-2t^2+3t-1)\\
&=& 12t^2-4t+3
\end{eqnarray*}
(2) ความเร่งของวัตถุขณะเวลา $t$ ใดๆ
\begin{eqnarray*}
a(t) &=& v'(t)\\
&=& \frac{d}{dt}(12t^2-4t+3)\\
&=& 24t-4
\end{eqnarray*}
(3) ความเร่งของวัตถุขณะเวลาผ่านไป $2$ วินาที
\begin{eqnarray*}
a(t) &=& 24t-4\\
a(2) &=& 24(2)-4\\
&=& 44
\end{eqnarray*}
(1) ความเร็วของวัตถุขณะเวลา $t$ ใดๆ เท่ากับ $12t^2 -4t+3$ เมตร/วินาที
(2) ความเร่งของวัตถุขณะเวลา $t$ ใดๆ เท่ากับ $24t-4$ เมตร/$\text{วินาที}^2$
(3) ความเร่งของวัตถุขณะเวลาผ่านไป $2$ วินาที เท่ากับ $44$ เมตร/$\text{วินาที}^2$
ตัวอย่างที่ 2
นักเรียนคนหนึ่งโยนก้อนหินขึ้นไปในอากาศ ก้อนหินเคลื่อนที่ได้ระยะทาง $s=128t-16t^2$ เมตร ในเวลา $t$ วินาที จงหา
(1) ความเร็วเฉลี่ยในช่วงวินาทีที่ $2$ ถึงวินาทีที่ $3$
(2) ระยะทางที่ก้อนหินเคลื่อนที่ได้หลังจากโยนไปแล้ว $5$ วินาที
(3) ความเร็วในการเคลื่อนที่ของก้อนหินขณะวินาทีที่ $4$
(4) ความเร่งของก้อนหินขณะเวลา $t$ ใดๆ
(5) ความเร่งของก้อนหินขณะเวลาผ่านไป $2$ วินาที
(1) ความเร็วเฉลี่ยในช่วงวินาทีที่ $2$ ถึงวินาทีที่ $3$
เนื่องจากความเร็วคืออัตราการเปลี่ยนแปลงของระยะทาง ดังนั้น การหาความเร็วเฉลี่ยในช่วงเวลาใดๆ จึงใช้วิธีเดียวกับการหาอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย โดยในขั้นแรกต้องหาความเร็วขณะเวลา $t$ ใดๆ ก่อน
\begin{eqnarray*}
v(t) &=& s'(t)\\
&=& \frac{d}{dt}(128t-16t^2)\\
&=& 128-32t
\end{eqnarray*}
ความเร็วเฉลี่ยในช่วงวินาทีที่ $2$ ถึง $3$ คือ
\begin{eqnarray*}
\frac{v(3)-v(2)}{3-2} &=& \frac{[128-32(3)]-[128-32(2)]}{1}\\
&=& 128-96-128+64\\
&=& -32
\end{eqnarray*}
ความเร็วมีค่าติดลบ แสดงว่าก้อนหินกำลังลดความเร็วลงนั่นเอง
(2) ระยะทางที่ก้อนหินเคลื่อนที่ได้หลังจากโยนไปแล้ว $5$ วินาที
ในข้อนี้ถามระยะทางขณะ $t=5$ แสดงว่าเราเพียงแค่แทนค่าใน $s(t)$ เท่านั้น
\begin{eqnarray*}
s(5) &=& 128(5)-16(5)^2\\
&=& 640-400\\
&=& 240
\end{eqnarray*}
(3) ความเร็วในการเคลื่อนที่ของก้อนหินขณะวินาทีที่ $4$
จาก $v(t)=128-32t$ จะได้
\begin{eqnarray*}
v(4) &=& 128-32(4)\\
&=& 0
\end{eqnarray*}
ความเร็วเป็น 0 แสดงว่าก้อนหินขึ้นถึงจุดสูงสุดที่สามารถไปถึงได้ และกำลังจะเคลื่อนที่หล่นลงมา
(4) ความเร่งของก้อนหินขณะเวลา $t$ ใดๆ
จาก $v(t)=128-32t$ จะได้
\begin{eqnarray*}
a(t) &=& v'(t)\\
&=& \frac{d}{dt}(128-32t)\\
&=& -32
\end{eqnarray*}
ความเร่งมีค่าติดลบ แสดงว่าก้อนหินมีความเร็วลดลงเรื่อยๆ
(5) ความเร่งของก้อนหินขณะเวลาผ่านไป $2$ วินาที
เนื่องจากความเร่งขณะเวลา $t$ ใดๆ เป็นค่าคงที่เท่ากับ $-32$ เมตร/$\text{วินาที}^2$ จะได้ $a(2)=-32$ เช่นกัน
(1) ความเร็วเฉลี่ยในช่วงวินาทีที่ $2$ ถึงวินาทีที่ $3$ เท่ากับ $-32$ เมตร/วินาที
(2) ระยะทางที่ก้อนหินเคลื่อนที่ได้หลังจากโยนไปแล้ว $5$ วินาที เท่ากับ $240$ เมตร
(3) ความเร็วในการเคลื่อนที่ของก้อนหินขณะวินาทีที่ $4$ เท่ากับ $0$ เมตร/วินาที
(4) ความเร่งของก้อนหินขณะเวลา $t$ ใดๆ เท่ากับ $-32$ เมตร/$\text{วินาที}^2$
(5) ความเร่งของก้อนหินขณะเวลาผ่านไป $2$ วินาที เท่ากับ $-32$ เมตร/$\text{วินาที}^2$
ตัวอย่างที่ 3
ลูกบอลลูกหนึ่งถูกโยนขึ้นไปในแนวดิ่ง โดยมีสมการการเคลื่อนที่คือ $s=96t-16t^2$ เมื่อ $s$ คือระยะทาง (ฟุต) และ $t$ คือเวลา (วินาที) จงหา
(1) ความเร็วของลูกบอล ณ เวลา $2$ วินาที
(2) ความเร็วของลูกบอล ณ เวลา $4$ วินาที
(3) ระยะทางที่ลูกบอลขึ้นไปได้สูงสุด
(1) ความเร็วของลูกบอล ณ เวลา $2$ วินาที
จาก $s=96t-16t^2$
\begin{eqnarray*}
v(t) &=& s'(t)\\
&=& \frac{d}{dt}(96t-16t^2)\\
&=& 96-32t
\end{eqnarray*}
ความเร็วของลูกบอลขณะเวลา $t$ ใดๆ เท่ากับ $96-32t$ เมตร/วินาที จะได้
$v(2)=96-32(2)=32$ เมตร/วินาที
(2) ความเร็วของลูกบอล ณ เวลา $4$ วินาที
จาก $v(t)=96-32t$ จะได้
$v(4)=96-32(4)=-32$ เมตร/วินาที
จะสังเกตได้ว่า อัตราเร็วขณะวินาทีที่ $2$ และ $4$ มีค่าเท่ากัน คือ $32$ เมตร/วินาที แต่ความเร็วของทั้งสองเวลามีทิศทางต่างกัน นั่นคือ ขณะเวลา $2$ วินาที ลูกบอลมีความเร็วเป็นบวก แสดงว่ากำลังเคลื่อนที่ขึ้น แต่ขณะเวลา $4$ วินาที ความเร็วติดลบ แสดงว่าลูกบอลกำลังเคลื่อนที่ตกลงมา
(3) ระยะทางที่ลูกบอลขึ้นไปได้สูงสุด
จาก $s=96t-16t^2$ เรายังไม่ทราบว่าเมื่อเวลาใดที่ลูกบอลจะขึ้นสูงที่สุด แต่ขณะที่ลูกบอลขึ้นไปถึงจุดสูงสุดนั้น ลูกบอลจะหยุดนิ่ง กล่าวคือมีความเร็วเป็น $0$ เมตร/วินาที เราจึงสามารถหาเวลาได้ ดังนี้
จาก $v=96-32t$ ให้ $v=0$
\begin{eqnarray*}
0 &=& 96-32t\\
32t &=& 96\\
t &=& 3
\end{eqnarray*}
นั่นคือ ขณะเวลา $t=3$ วินาที ลูกบอลจะขึ้นไปสูงที่สุด ดังนั้น
$s(3)=96(3)-16(3)^2=288-144=144$ เมตร
(1) ความเร็วของลูกบอล ณ เวลา $2$ วินาที เท่ากับ $32$ เมตร/วินาที
(2) ความเร็วของลูกบอล ณ เวลา $4$ วินาที เท่ากับ $-32$ เมตร/วินาที
(3) ระยะทางที่ลูกบอลขึ้นไปได้สูงสุด เท่ากับ $144$ เมตร