อัตราส่วนตรีโกณมิติบนสามเหลี่ยมมุมฉาก (Trigonometry on Right Triangles)


อัตราส่วนตรีโกณมิติบนสามเหลี่ยมมุมฉาก

กำหนดรูปสามเหลี่ยม $ABC$ มี $C$ เป็นมุมฉาก ความยาวด้านตรงข้ามมุม $A, B$ และ $C$ เท่ากับ $a, b$ และ $c$ หน่วย ตามลำดับ ดังรูป

เรียกอัตราส่วนต่อไปนี้ว่า อัตราส่วนตรีโกณมิติ ดังนี้

$\displaystyle \sin A = \frac{a}{c}$ $\displaystyle \operatorname{cosec} A = \frac{c}{a}$
$\displaystyle \cos A = \frac{b}{c}$ $\displaystyle \sec A = \frac{c}{b}$
$\displaystyle \tan A = \frac{a}{b}$ $\displaystyle \cot A = \frac{b}{a}$

อัตราส่วน $\sin, \cos$ และ $\tan$ เรามีวิธีท่องจำเพื่อความง่ายคือ

$\displaystyle \sin = \frac{\text{ข้าม}}{\text{ฉาก}} \;\;\;\;\;\;$  $\displaystyle \cos = \frac{\text{ชิด}}{\text{ฉาก}} \;\;\;\;\;\;$  $\displaystyle \tan = \frac{\text{ข้าม}}{\text{ชิด}}$ 

เมื่อ "ข้าม" หมายถึงด้านตรงข้ามมุม "ชิด" หมายถึงด้านประชิดมุม และ "ฉาก" หมายถึงด้านตรงข้ามมุมฉาก

อัตราส่วน $\operatorname{cosec}, \sec$ และ $\cot$ ก็มีความสัมพันธ์กับ $\sin, \cos$ และ $\tan$ คือ

$\displaystyle \operatorname{cosec} = \frac{1}{\sin} \;\;\;\;\;\;$  $\displaystyle \sec = \frac{1}{\cos} \;\;\;\;\;\;$  $\displaystyle \cot = \frac{1}{\tan}$ 

อัตราส่วนตรีโกณมิติของมุมที่ต้องจำ

อัตราส่วน $30^o$ $45^o$ $60^o$
$\sin$ $\displaystyle \frac{1}{2}$ $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\cos$ $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$ $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ $\displaystyle \frac{1}{2}$
$\tan$ $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ $1$ $\sqrt{3}$

ตัวอย่างการใช้อัตราส่วนตรีโกณมิติหาความยาวด้านของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

จากรูป จงหาความยาวด้าน $BC$

จะเห็นว่า เราทราบมุม $A = 60^o$

ต้องการหาความยาวด้าน $BC$ ซึ่งเป็นด้านตรงข้ามมุม $A$ และเราทราบความยาวด้านตรงข้ามมุมฉาก

ดังนั้นเราจึงเลือกใช้อัตราส่วน $\sin A$

\begin{eqnarray*}
\sin A &=& \frac{BC}{AB}\\
\sin 60^o &=& \frac{BC}{10}\\
\frac{\sqrt{3}}{2} &=& \frac{BC}{10}\\
5 \sqrt{3} &=& BC
\end{eqnarray*}

ด้าน $BC$ ยาว $5 \sqrt{3}$ หน่วย

คำคล้าย: 
  • อัตราส่วนตรีโกณมิติบนสามเหลี่ยมมุมฉาก
  • Trigonometry on Right Triangles