อนุกรมเทเลสโคป (Telescoping Series)


อนุกรมเทเลสโคปคืออะไร

อนุกรมเทเลสโคป (Telescoping Series) คือ อนุกรมที่สามารถแยกแต่ละพจน์ออกเป็นสองพจน์ย่อยลบกัน และเมื่อหาผลรวมสามารถตัดกันจนเหลือเพียงพจน์แรกและพจน์สุดท้ายเท่านั้น เช่น

\begin{eqnarray*}
{\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k\left(k+1\right)}}  &=&  {\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)}\\
 &=&  \left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right) +\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)  +\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)  +\cdots+\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\\
&=& \left(\frac{1}{1}-\cancel{\frac{1}{2}}\right) +\left(\cancel{\frac{1}{2}}-\bcancel{\frac{1}{3}}\right)  +\left(\bcancel{\frac{1}{3}}-\cancel{\frac{1}{4}}\right)  +\cdots+\left(\cancel{\frac{1}{n}}-\frac{1}{n+1}\right)\\
&=& \frac{1}{1}-\frac{1}{n+1}\\
&=& 1-\frac{1}{n+1}
\end{eqnarray*}

ซึ่งจะเห็นว่าเมื่อตัดกันแล้ว แล้วจะเหลือจำนวนพจน์แค่สองพจน์ คือ $1$ กับ $-\frac{1}{n+1}$

วิธีการสังเกตอนุกรมเทเลสโคป

วิธีการสังเกตว่าอนุกรมใดเป็นอนุกรมเทเลสโคปหรือไม่ ให้ดูที่ตัวส่วนของเทอมที่ $n$ ว่า เมื่อแยกตัวประกอบเรียบร้อยแล้ว  แทนค่า $n+1$ ลงในเทอมที่น้อยกว่าแล้วได้อีกเทอมหรือไม่ เช่น $\sum\frac{1}{(3n-1)(3n+2)}$  เมื่อแทนค่า $n+1$ ลงใน $3n-1$ จะได้

$$3(n+1)-1=3n+3-1 = 3n+2$$

ซึ่งตรงกับอีกเทอมพอดี  ก็พอจะเดาได้ว่าอนุกรม $\sum\frac{1}{(3n-1)(3n+2)}$ เป็นอนุกรมเทเลสโคป

วิธีการแยกเศษส่วนย่อย

การแยกพจน์ของอนุกรมเทเลสโคปเป็น $2$ เทอมเรียกว่าการแยกเศษส่วนย่อย (Partial Fraction) มีขั้นตอนการคำนวณแบบง่ายๆ ดังนี้

ตัวอย่างวิธีการแยกเศษส่วนย่อยของ $\frac{1}{n^2+n}$ ไปเป็น $\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$

  1. แยกตัวประกอบของตัวส่วน $$\frac{1}{n^2+n}=\frac{1}{n(n+1)}$$
  2. เขียนผลลัพธ์ของเศษส่วนย่อยที่ต้องการ เช่น กรณีนี้ผลลัพธ์ที่เราต้องการ คือ $$\frac{1}{n(n+1)} = \frac{A}{n}+\frac{B}{n+1}$$  โดยที่ $A,B$ เป็นจำนวนที่เราต้องการหา
  3. จากนั้นคูณตลอดทั้งสมการด้วยตัวส่วน ตัดส่วนพจน์ที่ซ้ำกันออกไป $$\begin{eqnarray*}
    n\left(n+1\right)\cdot\frac{1}{n\left(n+1\right)} & = & n\left(n+1\right)\cdot\frac{A}{n}+n\left(n+1\right)\cdot\frac{B}{n+1}\\
    \cancel{n\left(n+1\right)}\cdot\frac{1}{\cancel{n\left(n+1\right)}} & = & \bcancel{n}\left(n+1\right)\cdot\frac{A}{\bcancel{n}}+n\cancel{\left(n+1\right)}\cdot\frac{B}{\cancel{n+1}}\\
    1 & = & A\left(n+1\right)+Bn
    \end{eqnarray*}$$
  4. แทนค่า $n$ ด้วยตัวเลขใดๆ ก็ได้เพื่อหาค่า $A$ กับ $B$ เช่น แทนค่า $n=0$ จะได้ $$\begin{eqnarray*}
    1 & = & A\left(0+1\right)+B\left(0\right)\\
    1 & = & A(1) +0\\
    A & = & 1
    \end{eqnarray*}$$ แทนค่า $n=-1$ จะได้ $$\begin{eqnarray*}
    1 & = & A\left(-1+1\right)+B\left(-1\right)\\
    1 & = & A(0) - B\\
    B & = & -1
    \end{eqnarray*}$$
  5. แทนค่า $A,B$ ที่ได้ลงไปในผลลัพธ์ที่เคยเขียนไว้จะได้เศษส่วนย่อยที่เราต้องการ $$\begin{eqnarray*}
    \frac{1}{n\left(n+1\right)} & = & \frac{A}{n}+\frac{B}{n+1}\\
     & = & \frac{\left(1\right)}{n}+\frac{\left(-1\right)}{n+1}\\
     & = & \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}
    \end{eqnarray*}$$

วิธีการหาผลบวกย่อยของอนุกรมเทเลสโคป

หลังจากแยกเศษส่วนย่อยของ $\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^2+k} = \sum_{k=1}^{n}\left(\frac1k-\frac{1}{k+1}\right)$ เสร็จแล้ว  ให้เขียนลิสต์แต่ละพจน์ตั้งแต่พจน์ที่ $1$ ไปสัก $3-4$ พจน์ จนพอจะเห็นภาพว่าจะมีการตัดกันแบบไหน  ที่สำคัญอย่าลืมเขียนพจน์สุดท้ายและอาจจะเขียนพจน์ก่อนพจน์สุดท้ายลงไปด้วย เช่น

\begin{eqnarray*}
{\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)}& = & \left(a_{1}\right)+\left(a_{2}\right)+\left(a_{3}\right)+\cdots+\left(a_{n-1}\right)+\left(a_{n}\right)\\
& = & \left(\frac{1}{\left(1\right)}-\frac{1}{\left(1\right)+1}\right)  +\left(\frac{1}{\left(2\right)}-\frac{1}{\left(2\right)+1}\right) +\left(\frac{1}{\left(3\right)}-\frac{1}{\left(3\right)+1}\right) +\cdots\\
&    &+\left(\frac{1}{\left(n-1\right)}-\frac{1}{\left(n-1\right)+1}\right)  +\left(\frac{1}{\left(n\right)}-\frac{1}{\left(n\right)+1}\right)\\
& = &\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right) +\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)  +\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right) +\cdots\\
&    &+\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right) +\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)
\end{eqnarray*}

จากนั้นค่อยๆ ตัดเศษส่วนที่เหมือนกัน แต่เครื่องหมายตรงข้ามกันออกไปทีละคู่ สังเกตรูปแบบการตัดกันไปจนถึง $\cdots$ และพจน์ที่ $n-1$ หรือ พจน์ที่ $n$ ให้ตัดกันในรูปแบบเดียวกันกับด้านหน้า

\begin{eqnarray*}
 & = & \left(\frac{1}{1}-\cancel{\frac{1}{2}}\right)+\left(\cancel{\frac{1}{2}}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right)+\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\\
 & = & \left(\frac{1}{1}-\cancel{\frac{1}{2}}\right)+\left(\cancel{\frac{1}{2}}-\bcancel{\frac{1}{3}}\right)+\left(\bcancel{\frac{1}{3}}-\frac{1}{4}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}\right)+\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\\
 & = & \left(\frac{1}{1}-\cancel{\frac{1}{2}}\right)+\left(\cancel{\frac{1}{2}}-\bcancel{\frac{1}{3}}\right)+\left(\bcancel{\frac{1}{3}}-\cancel{\frac{1}{4}}\right)+\cdots+\left(\cancel{\frac{1}{n-1}}-\frac{1}{n}\right)+\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\\
 & = & \left(\frac{1}{1}-\cancel{\frac{1}{2}}\right)+\left(\cancel{\frac{1}{2}}-\bcancel{\frac{1}{3}}\right)+\left(\bcancel{\frac{1}{3}}-\cancel{\frac{1}{4}}\right)+\cdots+\left(\cancel{\frac{1}{n-1}}-\bcancel{\frac{1}{n}}\right)+\left(\bcancel{\frac{1}{n}}-\frac{1}{n+1}\right)\\
 & = & \frac{1}{1}-\frac{1}{n+1}\\
 & = & 1-\frac{1}{n+1}
\end{eqnarray*}

ดังนั้น

$${\displaystyle \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k^2+k}}={\displaystyle1-\frac{1}{n+1}}$$

สูตรลัดคำนวณผลบวกย่อยอนุกรมเทเลสโคปที่อยู่ในรูป $\sum \frac{1}{a_n\cdot a_{n+1}}$ เมื่อ $\{a_n\}$ เป็นลำดับเลขคณิตที่มีผลต่างร่วมเท่ากับ $d$

$$\sum_{k=1}^n \frac{1}{a_n\cdot a_{n+1}} = \frac{1}{d} \left( \frac{1}{a_1} - \frac{1}{a_{n+1}} \right)$$

ตัวอย่างการหาผลรวมของอนุกรมเทเลสโคป

ให้หาผลรวมของอนุกรม $\displaystyle\sum_{n=1}^{20}\frac{1}{n^2+n}$

จาก

$$\displaystyle \sum_{n=1}^{20}\frac{1}{n^2+n} = \sum_{n=1}^{20}\left(\frac1n-\frac{1}{n+1}\right)$$

แทนค่า $n=1,2,3,\cdots,19,20$ ลงในสูตรด้านขวา แล้วคำนวณผลรวมของอนุกรมนี้

\begin{eqnarray*}
{\displaystyle \sum_{n=1}^{20}\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)} & = & \left(a_{1}\right)+\left(a_{2}\right)+\left(a_{3}\right)+\cdots+\left(a_{19}\right)+\left(a_{20}\right)\\
 & = & \left(\frac{1}{\left(1\right)}-\frac{1}{\left(1\right)+1}\right)+\left(\frac{1}{\left(2\right)}-\frac{1}{\left(2\right)+1}\right)+\left(\frac{1}{\left(3\right)}-\frac{1}{\left(3\right)+1}\right)+\cdots\\
 &   & +\left(\frac{1}{\left(19\right)}-\frac{1}{\left(19\right)+1}\right)+\left(\frac{1}{\left(20\right)}-\frac{1}{\left(20\right)+1}\right)\\
 & = & \left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{19}-\frac{1}{20}\right)+\left(\frac{1}{20}-\frac{1}{21}\right)\\
 & = & \left(\frac{1}{1}-\cancel{\frac{1}{2}}\right)+\left(\cancel{\frac{1}{2}}-\bcancel{\frac{1}{3}}\right)+\left(\bcancel{\frac{1}{3}}-\cancel{\frac{1}{4}}\right)+\cdots+\left(\cancel{\frac{1}{19}}-\bcancel{\frac{1}{20}}\right)\\
 &   & +\left(\bcancel{\frac{1}{20}}-\frac{1}{21}\right)\\
 & = & \frac{1}{1}-\frac{1}{21}\\
 & = & \frac{21}{21}-\frac{1}{21}\\
 & = & \frac{21-1}{21}\\
 & = & \frac{20}{21}
\end{eqnarray*}

ดังนั้นข้อนี้มีค่าเท่ากับ $\frac{20}{21}$


 

ตัวอย่างการหาผลรวมอนันต์ของอนุกรมเทเลสโคป

จงหาผลรวมอนันต์ของอนุกรม ${\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{9n^{2}+3n-2}}$

แยกตัวประกอบที่ตัวส่วน แล้วแยกเศษส่วนย่อย

\begin{eqnarray*}
{\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{9n^{2}+3n-2}} & = & {\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\left(3n-1\right)\left(3n+2\right)}}\\
 & = & {\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{\frac{1}{3}}{3n-1}-\frac{\frac{1}{3}}{3n+2}\right)}\\
 & = & \frac{1}{3}\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{3n-1}-\frac{1}{3n+2}\right)
\end{eqnarray*}

เมื่อแทนค่า $n$ ด้วย $n+1$ ใน $3n-1$ จะได้ $3(n+1)-1=3n+2$   ดังนั้น อนุกรม ${\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{9n^{2}+3n-2}}$ เป็นอนุกรมเทเลสโคป

จากนั้นคำนวณรูปทั่วไปของผลบวกย่อย $S_n$

\begin{eqnarray*}
S_{n} & = & \sum_{k=1}^{n}\frac{1}{9k^{2}+3k-2}\\
 & = & \frac{1}{3}\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{3k-1}-\frac{1}{3k+2}\right)\\
 & = & \frac{1}{3}\left[\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{8}\right)+\left(\frac{1}{8}-\frac{1}{11}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{3n-1}-\frac{1}{3n+2}\right)\right]\\
 & = & \frac{1}{3}\left[\left(\frac{1}{2}-\cancel{\frac{1}{5}}\right)+\left(\cancel{\frac{1}{5}}-\bcancel{\frac{1}{8}}\right)+\left(\bcancel{\frac{1}{8}}-\cancel{\frac{1}{11}}\right)+\cdots+\left(\cancel{\frac{1}{3n-1}}-\frac{1}{3n+2}\right)\right]\\
 & = & \frac{1}{3}\left[\frac{1}{2}-\frac{1}{3n+2}\right]
\end{eqnarray*}

นำ $S_n$ ที่ได้ไป take ลิมิต ก็จะได้ผลบวกอนันต์ $S_{\infty}$

\begin{eqnarray*}
S_{\infty} & = & \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{3n-1}-\frac{1}{3n+2}\right)\\
 & = & \lim_{n\rightarrow\infty}S_{n}\\
 & = & \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{3}\left[\frac{1}{2}-\frac{1}{3n+2}\right]\\
 & = & \frac{1}{3}\lim_{n\rightarrow\infty}\left[\frac{1}{2}-\frac{1}{3n+2}\right]\\
 & = & \frac{1}{3}\left[\left(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{2}\right)-\left(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{3n+2}\right)\right]\\
 & = & \frac{1}{3}\left[\left(\frac{1}{2}\right)-\left(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\frac{1}{n}}{3+\frac{2}{n}}\right)\right]\\
 & = & \frac{1}{3}\left[\frac{1}{2}-\frac{\left(0\right)}{3+\left(0\right)}\right]\\
 & = & \frac{1}{3}\left[\frac{1}{2}-0\right]\\
 & = & \frac{1}{3}\cdot\frac{1}{2}\\
 & = & \frac{1}{6}
\end{eqnarray*}

ผลรวมอนันต์เท่ากับ $\frac16$

คำคล้าย: 
  • อนุกรมเทเลสโคป
  • Telescoping Series