เทคนิคการตรวจสอบสัจนิรันดร์ด้วยประพจน์ที่สมมูลกัน (Tautology With Equivalence)


เทคนิคการตรวจสอบสัจนิรันดร์ด้วยประพจน์ที่สมมูลกัน

เทคนิคนี้จะใช้กับประพจน์ใหญ่ที่มีประพจน์ย่อยเชื่อมกันอยู่ด้วย "ถ้า...แล้ว..." หรือเชื่อมกันด้วย "ก็ต่อเมื่อ"

เช่น

$$\sim (p \wedge q) \leftrightarrow (\sim p \vee \sim q)$$

มีประพจน์ย่อยคือ $\sim (p \wedge q)$ และ $(\sim p \vee \sim q)$ เชื่อมกันด้วย $\leftrightarrow$

$$\sim (p \rightarrow q) \rightarrow (\sim p \leftrightarrow q)$$

มีประพจน์ย่อยคือ $\sim (p \rightarrow q)$ และ $(\sim p \leftrightarrow q)$ เชื่อมกันด้วย $\rightarrow$

$$\sim{p} \wedge [p \vee \sim (r\wedge{s})]\rightarrow(\sim{r}\vee{s})$$

มีประพจน์ย่อยคือ $\sim{p}\wedge[p\vee\sim(r\wedge{s})]$ และ $(\sim{r}\vee{s})$ เชื่อมกันด้วย $\rightarrow$

หลักการคือ ถ้าประพจน์ย่อยทั้งสองข้างสมมูลกัน จะได้ว่าประพจน์ใหญ่เป็นสัจนิรันดร์

นั่นคือ ถ้า $A \equiv B$ แล้ว $A \rightarrow B$ และ $A \leftrightarrow B$ เป็นสัจนิรันดร์

เหตุผลที่เป็นอย่างนี้คือการเชื่อมด้วย $\rightarrow$ และ $\leftrightarrow$ นั้น ถ้าประพจน์ทั้งสองข้างของเครื่องหมายมีค่าความจริงเหมือนกัน จะได้ค่าความจริงของประพจน์ใหญ่เป็น $T$

ซึ่งประพจน์สองประพจน์สมมูลกัน หมายความว่าประพจน์ทั้งสองมีค่าความจริงตรงกันทุกกรณี เมื่อนำมาเชื่อมด้วย $\rightarrow$ หรือ $\leftrightarrow$ แล้ว ย่อมเป็น $T$ เสมอ จึงเป็นสัจนิรันดร์

เทคนิคนี้มักใช้กับการเชื่อมด้วย ก็ต่อเมื่อ เป็นส่วนใหญ่ เพราะถ้าใช้การสมมุติให้เป็นเท็จแล้ว

เราอาจต้องทำ $2$ กรณี คือ $T \leftrightarrow F$ และ $F \leftrightarrow T$ ซึ่งเสียเวลา

ตัวอย่างการใช้เทคนิคการตรวจสอบสัจนิรันดร์ด้วยประพจน์ที่สมมูลกัน

$\sim (p \wedge q) \leftrightarrow (\sim p \vee \sim q)$ เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่

เราจะตรวจสอบว่าประพจน์ $\sim (p \wedge q)$ และ $(\sim p \vee \sim q)$ สมมูลกันหรือไม่ ถ้าสมมูลกันประพจน์ใหญ่ก็จะเป็นสัจนิรันดร์

ซึ่งจะเห็นว่า ถ้าเราใช้รูปแบบการสมมูลโดยการกระจาย $\sim$ เข้าในวงเล็บ จะได้

\begin{eqnarray*}
\sim (p \wedge q) &\equiv& \sim p \vee \sim q
\end{eqnarray*}

ทั้งสองประพจน์สมมูลกัน

 $\sim (p \wedge q) \leftrightarrow (\sim p \vee \sim q)$ เป็นสัจนิรันดร์

 

$[p \rightarrow (q \vee r)] \leftrightarrow [(p \rightarrow q) \vee r]$ เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่

เราจะตรวจสอบว่าประพจน์ $p \rightarrow (q \vee r)$ และ $(p \rightarrow q) \vee r$ สมมูลกันหรือไม่

จัดรูป $p \rightarrow (q \vee r)$

\begin{eqnarray*}
p \rightarrow (q \vee r) &\equiv& \sim p \vee (q \vee r)\\
&\equiv& \sim p \vee q \vee r
\end{eqnarray*}

จัดรูป $(p \rightarrow q) \vee r$

\begin{eqnarray*}
(p \rightarrow q) \vee r &\equiv& (\sim p \vee q) \vee r\\
&\equiv& \sim p \vee q \vee r
\end{eqnarray*}

จะเห็นว่าทั้ง $2$ ประพจน์ จัดรูปแล้วกลายเป็นประพจน์เดียวกัน จึงสมมูลกัน

$[p \rightarrow (q \vee r)] \leftrightarrow [(p \rightarrow q) \vee r]$ เป็นสัจนิรันดร์

คำคล้าย: 
  • เทคนิคการตรวจสอบสัจนิรันดร์ด้วยประพจน์ที่สมมูลกัน
  • Tautology With Equivalence