การที่ประพจน์ไหนก็ตามจะถูกเรียกว่าเป็นสัจนิรันดร์นั้น หมายความว่า ไม่ว่าประพจน์ย่อยแต่ละประพจน์ที่เอามาเชื่อมกันในประพจน์นั้น ๆ มีค่าความจริงเป็นอะไรก็ตามค่าความจริงสุดท้ายที่ออกมาจะต้องเป็นจริงเสมอ เช่น
ถ้าประพจน์ที่กำหนดให้คือ จะมีค่าความจริงเป็นจริงเมื่อทั้งสองประพจน์ และ มีค่าความจริงเป็นจริงเท่านั้น ไม่ได้มีค่าความจริงเป็นจริงในทุกกรณี ดังนั้น ประพจน์นี้จึง ไม่เป็นสัจนิรันดร์
คราวนี้มาดูวิธีการตรวจสอบสัจนิรันดร์
การตรวจสอบสัจนิรันดร์โดยการสร้างตารางค่าความจริง
วิธีนี้เป็นวิธีที่ตรงไปตรงมามากที่สุด นั่นคือ การเขียนกรณีที่เป็นไปได้ของประพจน์ทั้งหมด แล้วมาดูกันว่าค่าความจริงที่ได้เป็นจริงทั้งหมดหรือไม่
ตรวจสอบสัจนิรันดร์ โดย การสร้างตารางค่าความจริง
ประพจน์ เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่
จากประพจน์ที่กำหนดให้ จะมีประพจน์ย่อยทั้งหมดสองประพจน์ ดังนั้นสร้างตารางที่มีประพจน์สองประพจน์นี้ขึ้นมา
จากนั้นให้เติมกรณีที่เป็นไปได้ทั้งหมด ซึ่ง จำนวนกรณีที่เป็นไปได้ทั้งหมดคือ เมื่อ คือจำนวนประพจน์ วิธีการเติมที่ง่าย และ ได้ครบทุกกรณีโดยไม่ตกหล่น คือ การเติมแบบกลุ่มกลุ่มละครึ่ง
เช่น ในข้อนี้ มีประพจน์ทั้งหมด ประพจน์ ดังนั้นจะมีทั้งหมด กรณี เริ่มแรก เนื่องจากมี กรณี จะได้ว่าครึ่งหนึ่งคือ ดังนั้นหลักแรกให้เติม จำนวนสองตัว และ จำนวนสองตัว จะได้
|
|
จากนั้นให้ ให้ดูครึ่งนึงของ จะได้ ดังนั้นในหลักที่ ให้เติม กับ สลับกันครั้งละหนึ่งตัว จะได้
|
|
เราก็จะได้กรณีที่เป็นไปได้ครบทั้งหมด
จากโจทย์เราต้องการค่าความจริงของประพจน์ จากตารางข้างบนเราไม่มีค่าความจริงของ ดังนั้นสร้างหลักของ เพิ่ม และเติมค่าความจริงให้เรียบร้อย จะได้
ตอนนี้เรามีค่าความจริงครบทั้งหมดแล้ว ดังนั้นให้สร้างหลักสุดท้าย เป็นหลักของ ประพจน์ที่เราต้องการตรวจสอบ จะได้
จากตารางด้านบนจะเห็นว่ามีสองกรณีที่ค่าความจริงของประพจน์ที่โจย์ถามนั้นเป็นเท็จ จึง ทำให้ได้ว่า ประพจน์นี้ ไม่เป็นสัจนิรันดร์
ประพจน์ที่กำหนดให้ ไม่เป็นสัจนิรันดร์
ตรวจสอบสัจนิรันดร์ โดย การสร้างตารางค่าความจริง
ประพจน์ เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่
ใช้หลักการเดียวกันกับข้อข้างบนสร้างตารางค่าความจริง จะได้ตารางดังนี้
จากตารางค่าความจริงที่สร้างขึ้น จะเห็นว่า ทุกกรณีที่เป็นไปได้ มีค่าความจริงเป็นจริงทั้งหมด
ดังนั้นประพจน์ที่กำหนดให้เป็นสัจนิรันดร์
ประพจน์ที่กำหนดให้เป็นสัจนิรันดร์
ถ้ามีจำนวนประพจน์ย่อยมากกว่า ประพจน์ หรือมีตัวเชื่อมประพจน์มากกว่า ตัว วิธีสร้างตารางค่าความจริงจะต้องใช้เวลานานมาก จึงไม่เป็นที่นิยมในการใช้งานจริง โดยเฉพาะเมื่ออยู่ในห้องสอบ
การตรวจสอบสัจนิรันดร์โดยการสมมุติให้เป็นเท็จ
หลักการการสมมุติให้เป็นเท็จ คือ การหาว่าเป็นไปได้มั้ยที่ประพจน์นั้นจะเป็นเท็จ ถ้ามีแม้แต่กรณีเดียวได้ค่าความจริงเป็นเท็จขึ้นมา แสดงว่าไม่เป็นสัจนิรันดร์ แต่ถ้า
เมื่อสมมุติให้เป็นเท็จแล้วเกิดการขัดแย้งขึ้นเสมอ หมายความว่า ประพจน์นั้นย่อมเป็นสัจนิรันดร์
การตรวจสอบสัจนิรันดร์โดยการสมมุติให้เป็นเท็จ
ประพจน์ เป็นสัจนิรันตร์หรือไม่
สมมุติให้ประพจน์ที่กำหนดให้เป็จเท็จ ดังนั้นเราจะต้องหาว่าตัวเชื่อมหลักของประพจน์นี้คืออะไร ซึ่งตัวเชื่อมหลักคือ
ดังนั้นเราจะกำหนดให้ ที่วงกลมด้านบน มีค่าความจริงเป็นเท็จ จะได้
เนื่อง จากตัวเชื่อมประพจน์ มีค่าความจริงเป็นเท็จเพียงกรณีเดียว นั่นคือ ประพจน์ด้านหน้ามีค่าความจริงเป็นจริง และ ประพจน์ด้านหลังมีค่าความจริงเป็นเท็จ
ดังนั้น ตัวเชื่อมหลักของด้านหน้าจะต้องมีค่าความจริงเป็นจริง และ ตัวเชื่อมหลักของด้านหลังจะต้องมีค่าความจริงเป็นเท็จ จะได้
จาก ด้านบนจะได้ว่า มีค่าความจริงเป็นเท็จ ซึ่งมีกรณีเดียวคือ มีค่าความจริงเป็นจริง และ มีค่าความจริงเป็นเท็จ
จากแผนภาพประพจน์ก้อนด้านหน้ามีค่าความจริงเป็นจริง ซึ่งตัวเชื่อมประพจน์คือ ซึ่งมีกรณีเดียวคือ หน้าจริง หลังจริง จะได้
สังเกตเครื่องหมาย มีค่าความจริงนั้นมีได้หลายกรณี เราจึงสรุปค่าความจริงจากเครื่องหมาย ไม่ได้
เมื่อเจอเหตุการณ์อย่างนี้ ให้เราเอาค่าความจริงของประพจน์ที่เรารู้แล้วมาใส่
ซึ่งในข้อนี้เรารูปค่าความจริงของประพจน์ และ จะได้
จากแผนภาพด้านบนจะได้ มีค่าความจริงเป็นจริง ดังนั้น จะต้องมีค่าความจริงเป็นจริงเท่านั้น
และจะได้ มีค่าความจริงเป็นจริง ดังนั้น จะต้องมีค่าความจริงเป็นเท็จเท่านั้น จะได้แผนภาพดังนี้
จะเห็นว่า ค่าความจริงของ นั้น เป็นจริง และ เป็นเท็จ พร้อมกัน ซึ่งไม่สามารถเกิดขึ้นได้
เราเรียกสิ่งที่เกิดขึ้นนี้ว่า ข้อขัดแย้ง และเมื่อเกิดข้อขัดแย้งแสดงว่าสิ่งที่สมมุติไว้ตั้งแต่ต้นไม่มีทางเกิดขึ้นได้ นั่นคือ ไม่มีทางที่ประพจน์นี้จะเป็นเท็จ
จึงสรุปได้ว่าประพจน์นี้เป็นสัจนิรันดร์
ประพจน์ เป็นสัจนิรันดร์
การตรวจสอบสัจนิรันดร์โดยการสมมุติให้เป็นเท็จ
ประพจน์ เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่
ใช้หลักการเดียวกันกับตัวอย่างแรก จะได้แผนภาพคือ
ประพจน์ที่กำหนดให้เป็นสัจนิรันดร์
การตรวจสอบสัจนิรันดร์โดยการสมมุติให้เป็นเท็จ
ประพจน์ เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่
วาดแผนภาพโดยใช้หลักการเดียวกับตัวอย่างข้อแรก จะได้
จากแผนภาพจะได้ว่า ไม่มีข้อขัดแย้งใด ๆ เกิดขึ้น แสดงว่า ประพจน์ที่กำหนดให้สามารถเกิดกรณีที่เป็นเท็จขึ้นได้
ดังนั้นประพจน์ที่กำหนดให้ไม่เป็นสัจนิรันดร์
ประพจน์ ไม่เป็นสัจนิรันดร์