สัจนิรันดร์และการตรวจสอบสัจนิรันดร์ (Tautology and Verification)


การที่ประพจน์ไหนก็ตามจะถูกเรียกว่าเป็นสัจนิรันดร์นั้น หมายความว่า ไม่ว่าประพจน์ย่อยแต่ละประพจน์ที่เอามาเชื่อมกันในประพจน์นั้น ๆ มีค่าความจริงเป็นอะไรก็ตามค่าความจริงสุดท้ายที่ออกมาจะต้องเป็นจริงเสมอ เช่น 

ถ้าประพจน์ที่กำหนดให้คือ $p\wedge{q}$  จะมีค่าความจริงเป็นจริงเมื่อทั้งสองประพจน์ $p$ และ $q$ มีค่าความจริงเป็นจริงเท่านั้น ไม่ได้มีค่าความจริงเป็นจริงในทุกกรณี ดังนั้น ประพจน์นี้จึง ไม่เป็นสัจนิรันดร์ 

คราวนี้มาดูวิธีการตรวจสอบสัจนิรันดร์ 

การตรวจสอบสัจนิรันดร์โดยการสร้างตารางค่าความจริง

วิธีนี้เป็นวิธีที่ตรงไปตรงมามากที่สุด นั่นคือ การเขียนกรณีที่เป็นไปได้ของประพจน์ทั้งหมด แล้วมาดูกันว่าค่าความจริงที่ได้เป็นจริงทั้งหมดหรือไม่

ตรวจสอบสัจนิรันดร์ โดย การสร้างตารางค่าความจริง

ประพจน์ $(p\vee{q})\wedge{p}$ เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่

จากประพจน์ที่กำหนดให้ จะมีประพจน์ย่อยทั้งหมดสองประพจน์ ดังนั้นสร้างตารางที่มีประพจน์สองประพจน์นี้ขึ้นมา

$p$ $q$

จากนั้นให้เติมกรณีที่เป็นไปได้ทั้งหมด ซึ่ง จำนวนกรณีที่เป็นไปได้ทั้งหมดคือ $2^{n}$ เมื่อ $n$ คือจำนวนประพจน์ วิธีการเติมที่ง่าย และ ได้ครบทุกกรณีโดยไม่ตกหล่น คือ การเติมแบบกลุ่มกลุ่มละครึ่ง

เช่น ในข้อนี้ มีประพจน์ทั้งหมด $2$ ประพจน์ ดังนั้นจะมีทั้งหมด $2^2=4$ กรณี เริ่มแรก เนื่องจากมี $4$ กรณี จะได้ว่าครึ่งหนึ่งคือ $2$ ดังนั้นหลักแรกให้เติม $T$  จำนวนสองตัว และ $F$ จำนวนสองตัว จะได้

$p$ $q$
$T$  

$T$

 
$F$  
$F$  

จากนั้นให้ ให้ดูครึ่งนึงของ $2$ จะได้ $1$ ดังนั้นในหลักที่ $2$ ให้เติม $T$ กับ $F$ สลับกันครั้งละหนึ่งตัว จะได้

$p$ $q$
$T$ $T$

$T$

$F$
$F$ $T$
$F$ $F$

 

เราก็จะได้กรณีที่เป็นไปได้ครบทั้งหมด

จากโจทย์เราต้องการค่าความจริงของประพจน์ $(p\vee{q})\wedge{p}$ จากตารางข้างบนเราไม่มีค่าความจริงของ $p\vee{q}$ ดังนั้นสร้างหลักของ $p\vee{q}$ เพิ่ม และเติมค่าความจริงให้เรียบร้อย จะได้

$p$ $q$ $p\vee{q}$
$T$ $T$ $T$
$T$ $F$ $T$
$F$ $T$ $T$
$F$ $F$ $F$

ตอนนี้เรามีค่าความจริงครบทั้งหมดแล้ว ดังนั้นให้สร้างหลักสุดท้าย เป็นหลักของ ประพจน์ที่เราต้องการตรวจสอบ จะได้

$p$ $q$ $p\vee{q}$ $(p\vee{q})\wedge{p}$
$T$ $T$ $T$ $T$
$T$ $F$ $T$ $T$
$F$ $T$ $T$ $F$
$F$ $F$ $F$ $F$

จากตารางด้านบนจะเห็นว่ามีสองกรณีที่ค่าความจริงของประพจน์ที่โจย์ถามนั้นเป็นเท็จ จึง ทำให้ได้ว่า ประพจน์นี้ ไม่เป็นสัจนิรันดร์

ประพจน์ที่กำหนดให้ ไม่เป็นสัจนิรันดร์ 


 

 ตรวจสอบสัจนิรันดร์ โดย การสร้างตารางค่าความจริง

ประพจน์ $(p\wedge{q})\rightarrow(p\vee{q})$ เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ 

ใช้หลักการเดียวกันกับข้อข้างบนสร้างตารางค่าความจริง จะได้ตารางดังนี้

$p$ $q$ $(p\wedge{q})$ $(p\vee{q})$ $(p\wedge{q})\rightarrow(p\vee{q})$
$T$ $T$ $T$ $T$ $T$
$T$ $F$ $F$ $T$ $T$
$F$ $T$ $F$ $T$ $T$
$F$ $T$ $F$ $F$ $T$

 

จากตารางค่าความจริงที่สร้างขึ้น จะเห็นว่า ทุกกรณีที่เป็นไปได้ มีค่าความจริงเป็นจริงทั้งหมด 

ดังนั้นประพจน์ที่กำหนดให้เป็นสัจนิรันดร์

ประพจน์ที่กำหนดให้เป็นสัจนิรันดร์ 

ถ้ามีจำนวนประพจน์ย่อยมากกว่า $2$ ประพจน์ หรือมีตัวเชื่อมประพจน์มากกว่า $2$ ตัว วิธีสร้างตารางค่าความจริงจะต้องใช้เวลานานมาก จึงไม่เป็นที่นิยมในการใช้งานจริง โดยเฉพาะเมื่ออยู่ในห้องสอบ

การตรวจสอบสัจนิรันดร์โดยการสมมุติให้เป็นเท็จ

หลักการการสมมุติให้เป็นเท็จ คือ การหาว่าเป็นไปได้มั้ยที่ประพจน์นั้นจะเป็นเท็จ ถ้ามีแม้แต่กรณีเดียวได้ค่าความจริงเป็นเท็จขึ้นมา แสดงว่าไม่เป็นสัจนิรันดร์ แต่ถ้า

เมื่อสมมุติให้เป็นเท็จแล้วเกิดการขัดแย้งขึ้นเสมอ หมายความว่า ประพจน์นั้นย่อมเป็นสัจนิรันดร์

การตรวจสอบสัจนิรันดร์โดยการสมมุติให้เป็นเท็จ

ประพจน์ $[(p\rightarrow{q})\wedge(q\rightarrow{r})]\rightarrow(p\rightarrow{r})$ เป็นสัจนิรันตร์หรือไม่

สมมุติให้ประพจน์ที่กำหนดให้เป็จเท็จ ดังนั้นเราจะต้องหาว่าตัวเชื่อมหลักของประพจน์นี้คืออะไร ซึ่งตัวเชื่อมหลักคือ 

 

ดังนั้นเราจะกำหนดให้ $\rightarrow$ ที่วงกลมด้านบน มีค่าความจริงเป็นเท็จ จะได้

 

เนื่อง จากตัวเชื่อมประพจน์ $\rightarrow$ มีค่าความจริงเป็นเท็จเพียงกรณีเดียว นั่นคือ ประพจน์ด้านหน้ามีค่าความจริงเป็นจริง และ ประพจน์ด้านหลังมีค่าความจริงเป็นเท็จ

ดังนั้น ตัวเชื่อมหลักของด้านหน้าจะต้องมีค่าความจริงเป็นจริง และ ตัวเชื่อมหลักของด้านหลังจะต้องมีค่าความจริงเป็นเท็จ จะได้

 

จาก ด้านบนจะได้ว่า $p\rightarrow{r}$ มีค่าความจริงเป็นเท็จ ซึ่งมีกรณีเดียวคือ $p$ มีค่าความจริงเป็นจริง และ $r$ มีค่าความจริงเป็นเท็จ

 

จากแผนภาพประพจน์ก้อนด้านหน้ามีค่าความจริงเป็นจริง ซึ่งตัวเชื่อมประพจน์คือ $\wedge$ ซึ่งมีกรณีเดียวคือ หน้าจริง หลังจริง จะได้

 

สังเกตเครื่องหมาย $\rightarrow$ มีค่าความจริงนั้นมีได้หลายกรณี เราจึงสรุปค่าความจริงจากเครื่องหมาย  $\rightarrow$ ไม่ได้

เมื่อเจอเหตุการณ์อย่างนี้ ให้เราเอาค่าความจริงของประพจน์ที่เรารู้แล้วมาใส่

ซึ่งในข้อนี้เรารูปค่าความจริงของประพจน์ $p$ และ $r$ จะได้

 

จากแผนภาพด้านบนจะได้ $T\rightarrow{q}$ มีค่าความจริงเป็นจริง ดังนั้น $q$ จะต้องมีค่าความจริงเป็นจริงเท่านั้น

และจะได้ $q\rightarrow{F}$ มีค่าความจริงเป็นจริง ดังนั้น $q$ จะต้องมีค่าความจริงเป็นเท็จเท่านั้น จะได้แผนภาพดังนี้

จะเห็นว่า ค่าความจริงของ $q$ นั้น เป็นจริง และ เป็นเท็จ พร้อมกัน ซึ่งไม่สามารถเกิดขึ้นได้

เราเรียกสิ่งที่เกิดขึ้นนี้ว่า ข้อขัดแย้ง และเมื่อเกิดข้อขัดแย้งแสดงว่าสิ่งที่สมมุติไว้ตั้งแต่ต้นไม่มีทางเกิดขึ้นได้ นั่นคือ ไม่มีทางที่ประพจน์นี้จะเป็นเท็จ

จึงสรุปได้ว่าประพจน์นี้เป็นสัจนิรันดร์

ประพจน์ $[(p\rightarrow{q})\wedge(q\rightarrow{r})]\rightarrow(p\rightarrow{r})$ เป็นสัจนิรันดร์ 

การตรวจสอบสัจนิรันดร์โดยการสมมุติให้เป็นเท็จ

ประพจน์ $[\sim(p\rightarrow{q})]\rightarrow[(\sim{p}\leftrightarrow{q})]$ เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่

ใช้หลักการเดียวกันกับตัวอย่างแรก จะได้แผนภาพคือ

ประพจน์ที่กำหนดให้เป็นสัจนิรันดร์

การตรวจสอบสัจนิรันดร์โดยการสมมุติให้เป็นเท็จ

ประพจน์ $\sim{p}\wedge(p\vee\sim(r\wedge{s}))]\rightarrow(\sim{r}\vee{s})$ เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่

วาดแผนภาพโดยใช้หลักการเดียวกับตัวอย่างข้อแรก จะได้

จากแผนภาพจะได้ว่า ไม่มีข้อขัดแย้งใด ๆ เกิดขึ้น แสดงว่า ประพจน์ที่กำหนดให้สามารถเกิดกรณีที่เป็นเท็จขึ้นได้

ดังนั้นประพจน์ที่กำหนดให้ไม่เป็นสัจนิรันดร์

ประพจน์ $\sim{p}\wedge(p\vee\not(r\wedge{s}))]\rightarrow(\sim{r}\vee{s})$ ไม่เป็นสัจนิรันดร์

คำคล้าย: 
  • สัจนิรันดร์และการตรวจสอบสัจนิรันดร์
  • Tautology and Verification