ซัมเมชั่น, เครื่องหมายซัม, ซิกม่า, ผลรวม, สูตรผลรวม

(summation)

ซัมเมชั่น หรือ ซิกม่า $\sum$ เป็นเครื่องหมายที่ใช้ในการหาผลรวมของอนุกรมหรือลำดับที่มีรูปทั่วไปเป็นพหุนามกำลังไม่เกินสาม

การเขียนผลบวกในรูปซัมเมชั่น

1 + 2 + 3 + 4 + \dots + 120

$1+2+3+4+\cdots+120$

รูปทั่วไปของพจน์ที่ $n$ คือ $a_n=n$ โดยที่ $n$ เริ่มที่ $n=1$ ไปจนถึง $n=120$ และเขียนแทนด้วย

\sum_{n = 1}^{120} n

$\sum_{n=1}^{120} n$

ซึ่งตัวแปรที่ใช้จะเป็นตัวแปรอะไรก็ได้ ดังนั้นเราสามารถเขียนผลรวมด้านบนใหม่ได้อีกหลายๆ แบบ

\sum_{k = 1}^{120} k = \sum_{i = 1}^{120} i = \sum_{j = 1}^{120} j

$\sum_{k=1}^{120} k = \sum_{i=1}^{120} i = \sum_{j=1}^{120} j$

ตัวอย่างการเขียนผลบวกในรูปซัมเมชั่น

$1+3+5+7+\cdots+(2n-1) = \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\left(2k-1\right)$
$2+4+6+8+\cdots+(2n) = \displaystyle\sum_{k=1}^{n}2k$
$4+6+8+10+\cdots+(2n+2) = \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\left(2k+2\right)$
$1^2+2^2+3^2+4^2+\cdots+n^2 = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^2$
$4+9+14+19+\cdots+(5n-1) = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \left(5k-1\right)$

สูตรซัมเมชั่น

ในสูตรซัมเมชั่น ตัวแปรจะเริ่มที่ $1$ และจบที่ $n$ เสมอ
ให้ $k$ แทนค่าคงตัวใดๆ จะได้

\begin{array}{rcl} \sum_{i = 1}^{n} k & = & n \times k \\ \sum_{i = 1}^{n} i & = & \frac{n (n + 1)}{2} \\ \sum_{i = 1}^{n} i^{2} & = & \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6} \\ \sum_{i = 1}^{n} i^{3} & = & {(\frac{n (n + 1)}{2})}^{2} \end{array}

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{n}k & = & n\times k\\ \sum_{i=1}^{n}i & = & \frac{n\left(n+1\right)}{2}\\ \sum_{i=1}^{n}i^{2} & = & \frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}\\ \sum_{i=1}^{n}i^{3} & = & \left(\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right)^{2} \end{eqnarray*}$

ตัวอย่างการใช้สูตรซัมเมชั่น

$\overbrace{3+3+3+\cdots+3}^{25\text{ ตัว}}$ มีค่าเท่ากับเท่าใด

\begin{array}{rcl} \overset{25 ตัว}{\overset{⏞}{3 + 3 + 3 + \dots + 3}} & = & \sum_{i = 1}^{25} 3 \\ = & 3 \times 25 \\ = & 75 \end{array}

$\begin{eqnarray*} \overbrace{3+3+3+\cdots+3}^{25\text{ ตัว}} & =& \sum_{i=1}^{25}3\\ & =& 3\times25\\ & =& 75 \end{eqnarray*}$

$75$

ให้หาผลบวก $1+2+3+4+\cdots+99+100$

\begin{aligned} 1 + 2 + 3 + 4 & + \dots + 99 + 100 \\ = \sum_{i = 1}^{100} i \\ = \frac{(100) (101)}{2} \\ = 5050 \end{aligned}

$\begin{align*} 1+2+3+4&+\cdots+99+100\\ & = \sum_{i=1}^{100}i\\ & = \frac{\left(100\right)\left(101\right)}{2}\\ & = 5050 \end{align*}$

$5050$

ผลรวม $32+33+34+\cdots+100$ มีค่าเท่ากับเท่าใด

\begin{aligned} 32 + 33 + 34 & + \dots + 99 + 100 \\ = (1 + 2 + 3 + \dots + 100) - (1 + 2 + 3 + \dots + 31) \\ = (\sum_{i = 1}^{100} i) - (\sum_{i = 1}^{31} i) \\ = (\frac{(100) (101)}{2}) - (\frac{(31) (32)}{2}) \\ = 5050 - 496 \\ = 4554 \end{aligned}

$\begin{align*} 32+33+34&+\cdots+99+100 \\ & = \left(1+2+3+\cdots+100\right)-\left(1+2+3+\cdots+31\right)\\ & = \left(\sum_{i=1}^{100}i\right)-\left(\sum_{i=1}^{31}i\right)\\ & = \left(\frac{\left(100\right)\left(101\right)}{2}\right)-\left(\frac{\left(31\right)\left(32\right)}{2}\right)\\ & = 5050-496\\ & = 4554 \end{align*}$

ดังนั้นผลรวม $32+33+34+\cdots+100$ มีค่าเท่ากับ $4554$

การแยกบวกลบและการดึงค่าคงตัวของซัมเมชั่น

สมบัติสำคัญของซัมเมชั่นมี $3$ ข้อ คือ

แยกบวกได้
แยกลบได้
และดึงค่าคงตัวมาด้านหน้าได้

โดยเขียนในรูปสมการคณิตศาสตร์ได้ดังนี้ ถ้าให้ $a_n$ และ $b_n$ เป็นลำดับ และ $k$ เป็นค่าคงตัว จะได้

\begin{array}{rcl} \sum_{i = 1}^{n} (a_{n} + b_{n}) & = & \sum_{i = 1}^{n} a_{n} + \sum_{i = 1}^{n} b_{n} \\ \sum_{i = 1}^{n} (a_{n} - b_{n}) & = & \sum_{i = 1}^{n} a_{n} - \sum_{i = 1}^{n} b_{n} \\ \sum_{i = 1}^{n} (k \cdot a_{n}) & = & k \cdot \sum_{i = 1}^{n} a_{n} \end{array}

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{n}\left(a_{n}+b_{n}\right) & = & \sum_{i=1}^{n}a_{n}+\sum_{i=1}^{n}b_{n}\\ \sum_{i=1}^{n}\left(a_{n}-b_{n}\right) & = & \sum_{i=1}^{n}a_{n}-\sum_{i=1}^{n}b_{n}\\ \sum_{i=1}^{n}\left(k\cdot a_{n}\right) & = & k\cdot\sum_{i=1}^{n}a_{n} \end{eqnarray*}$

ตัวอย่างการใช้ซัมเมชั่นในโจทย์ทั่วไป

จงหาผลรวม $3+9+15+21+\cdots+303$

หารูปทั่วไปของพจน์ที่ $n$ ของ $3+9+15+21+\cdots+303$ ก่อน โดยพบว่าอนุกรมนี้เป็นอนุกรมเลขคณิตที่มีผลต่างร่วม คือ $d=6$ และมี $a_1=3$ ดังนั้นจึงได้รูปทั่วไปเป็น

\begin{array}{rcl} a_{n} & = & a_{1} + (n - 1) d \\ = & 3 + (n - 1) 6 \\ = & 3 + 6 n - 6 \\ = & 6 n - 3 \end{array}

$\begin{eqnarray*} a_{n} & = & a_{1}+\left(n-1\right)d\\ & = & 3+\left(n-1\right)6\\ & = & 3+6n-6\\ & = & 6n-3 \end{eqnarray*}$

ก่อนนำไปเขียนซัมเมชั่น เราต้องทราบก่อนว่า $303$ เป็นพจน์ที่เท่าใด จึงต้องแก้สมการ $a_n=303$ เพื่อหาค่า $n$ (หาว่าเป็นพจน์ที่เท่าใด)

\begin{array}{rcl} a_{n} & = & 303 \\ 6 n - 3 & = & 303 \\ 6 n & = & 303 + 3 \\ 6 n & = & 306 \\ \frac{6 n}{6} & = & \frac{306}{6} \\ n & = & 51 \end{array}

$\begin{eqnarray*} a_{n} & = & 303\\ 6n-3 & = & 303\\ 6n & = & 303+3\\ 6n & = & 306\\ \require{cancel}\frac{\cancel{6}n}{\cancel{6}} & = & \frac{306}{6}\\ n & = & 51 \end{eqnarray*}$

ดังนั้นพจน์สุดท้ายจึงเป็นพจน์ที่ $51$ ทำให้สามารถเขียนซัมเมชั่นได้

\sum_{n = 1}^{51} (6 n - 3)

$\displaystyle\sum_{n=1}^{51}\left(6n-3\right)$

และถ้าหากจะเขียนให้ตัวแปรตรงกับสูตรซัมเมชั่นจะได้

\begin{array}{rcl} \sum_{i = 1}^{51} (6 i - 3) & = & \sum_{i = 1}^{51} 6 i - \sum_{i = 1}^{51} 3 \\ = & 6 \sum_{i = 1}^{51} i - \sum_{i = 1}^{51} 3 \\ = & 6 (\frac{(51) (52)}{2}) - (3 \times 51) \\ = & 7956 - 153 \\ = & 7803 \end{array}

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{51}\left(6i-3\right) & = & \sum_{i=1}^{51}6i-\sum_{i=1}^{51}3\\ & = & 6\sum_{i=1}^{51}i-\sum_{i=1}^{51}3\\ & = & 6\left(\frac{\left(51\right)\left(52\right)}{2}\right)-\left(3\times51\right)\\ & = & 7956-153\\ & = & 7803 \end{eqnarray*}$

$7803$

คำคล้าย : ซัมเมชั่น, เครื่องหมายซัม, ซิกม่า, ผลรวม, สูตรผลรวม

Under Growing

"คลังความรู้" กำลังอยู่ในระหว่างการพัฒนา พี่ๆ กำลังทยอยเพิ่มบทความและปรับปรุงรูปแบบให้อ่านง่าย ใช้ทบทวนความรู้ได้จริง รีเควสหัวข้อ หรือมีข้อเสนอแนะ ทวีตมาคุยกับพี่ๆ ได้เลยจ้า

@Opendurian

คอร์สแนะนำ

หนังสือแนะนำ