ซัมเมชั่น (Summation)


ซัมเมชั่น หรือ ซิกม่า $\sum$ เป็นเครื่องหมายที่ใช้ในการหาผลรวมของอนุกรมหรือลำดับที่มีรูปทั่วไปเป็นพหุนามกำลังไม่เกินสาม

การเขียนผลบวกในรูปซัมเมชั่น

$$1+2+3+4+\cdots+120$$

รูปทั่วไปของพจน์ที่ $n$ คือ $a_n=n$  โดยที่ $n$ เริ่มที่ $n=1$ ไปจนถึง $n=120$ และเขียนแทนด้วย

$$\sum_{n=1}^{120} n$$

ซึ่งตัวแปรที่ใช้จะเป็นตัวแปรอะไรก็ได้ ดังนั้นเราสามารถเขียนผลรวมด้านบนใหม่ได้อีกหลายๆ แบบ

$$\sum_{k=1}^{120} k = \sum_{i=1}^{120} i = \sum_{j=1}^{120} j$$

ตัวอย่างการเขียนผลบวกในรูปซัมเมชั่น

  • $1+3+5+7+\cdots+(2n-1) = \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\left(2k-1\right)$
  • $2+4+6+8+\cdots+(2n) = \displaystyle\sum_{k=1}^{n}2k$
  • $4+6+8+10+\cdots+(2n+2) = \displaystyle\sum_{k=1}^{n}\left(2k+2\right)$
  • $1^2+2^2+3^2+4^2+\cdots+n^2 = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^2$
  • $4+9+14+19+\cdots+(5n-1) = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \left(5k-1\right)$

สูตรซัมเมชั่น

ในสูตรซัมเมชั่น ตัวแปรจะเริ่มที่ $1$ และจบที่ $n$ เสมอ
ให้ $k$ แทนค่าคงตัวใดๆ จะได้

\begin{eqnarray*}
\sum_{i=1}^{n}k & = & n\times k\\
\sum_{i=1}^{n}i & = & \frac{n\left(n+1\right)}{2}\\
\sum_{i=1}^{n}i^{2} & = & \frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}\\
\sum_{i=1}^{n}i^{3} & = & \left(\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right)^{2}
\end{eqnarray*}

ตัวอย่างการใช้สูตรซัมเมชั่น

$\overbrace{3+3+3+\cdots+3}^{25\text{ ตัว}}$ มีค่าเท่ากับเท่าใด

\begin{eqnarray*}
\overbrace{3+3+3+\cdots+3}^{25\text{ ตัว}} & =&  \sum_{i=1}^{25}3\\
 & =&  3\times25\\
 & =&  75
\end{eqnarray*}

$75$

 

ให้หาผลบวก $1+2+3+4+\cdots+99+100$

\begin{align*}
1+2+3+4&+\cdots+99+100\\
& =  \sum_{i=1}^{100}i\\
 & =  \frac{\left(100\right)\left(101\right)}{2}\\
 & =  5050
\end{align*}

$5050$

 

ผลรวม $32+33+34+\cdots+100$ มีค่าเท่ากับเท่าใด

\begin{align*}
32+33+34&+\cdots+99+100 \\
& =  \left(1+2+3+\cdots+100\right)-\left(1+2+3+\cdots+31\right)\\
 & =  \left(\sum_{i=1}^{100}i\right)-\left(\sum_{i=1}^{31}i\right)\\
 & =  \left(\frac{\left(100\right)\left(101\right)}{2}\right)-\left(\frac{\left(31\right)\left(32\right)}{2}\right)\\
 & =  5050-496\\
 & =  4554
\end{align*}

ดังนั้นผลรวม $32+33+34+\cdots+100$ มีค่าเท่ากับ $4554$

การแยกบวกลบและการดึงค่าคงตัวของซัมเมชั่น

สมบัติสำคัญของซัมเมชั่นมี $3$ ข้อ คือ

  1. แยกบวกได้
  2. แยกลบได้
  3. และดึงค่าคงตัวมาด้านหน้าได้

โดยเขียนในรูปสมการคณิตศาสตร์ได้ดังนี้ ถ้าให้ $a_n$ และ $b_n$ เป็นลำดับ และ $k$ เป็นค่าคงตัว จะได้

\begin{eqnarray*}
\sum_{i=1}^{n}\left(a_{n}+b_{n}\right) & = & \sum_{i=1}^{n}a_{n}+\sum_{i=1}^{n}b_{n}\\
\sum_{i=1}^{n}\left(a_{n}-b_{n}\right) & = & \sum_{i=1}^{n}a_{n}-\sum_{i=1}^{n}b_{n}\\
\sum_{i=1}^{n}\left(k\cdot a_{n}\right) & = & k\cdot\sum_{i=1}^{n}a_{n}
\end{eqnarray*}

ตัวอย่างการใช้ซัมเมชั่นในโจทย์ทั่วไป

จงหาผลรวม $3+9+15+21+\cdots+303$

หารูปทั่วไปของพจน์ที่ $n$ ของ $3+9+15+21+\cdots+303$ ก่อน โดยพบว่าอนุกรมนี้เป็นอนุกรมเลขคณิตที่มีผลต่างร่วม คือ $d=6$ และมี $a_1=3$  ดังนั้นจึงได้รูปทั่วไปเป็น

\begin{eqnarray*}
a_{n} & = & a_{1}+\left(n-1\right)d\\
 & = & 3+\left(n-1\right)6\\
 & = & 3+6n-6\\
 & = & 6n-3
\end{eqnarray*}

ก่อนนำไปเขียนซัมเมชั่น เราต้องทราบก่อนว่า $303$ เป็นพจน์ที่เท่าใด จึงต้องแก้สมการ $a_n=303$ เพื่อหาค่า $n$ (หาว่าเป็นพจน์ที่เท่าใด)

\begin{eqnarray*}
a_{n} & = & 303\\
6n-3 & = & 303\\
6n & = & 303+3\\
6n & = & 306\\
\frac{\cancel{6}n}{\cancel{6}} & = & \frac{306}{6}\\
n & = & 51
\end{eqnarray*}

ดังนั้นพจน์สุดท้ายจึงเป็นพจน์ที่ $51$ ทำให้สามารถเขียนซัมเมชั่นได้

$$\displaystyle\sum_{n=1}^{51}\left(6n-3\right)$$

และถ้าหากจะเขียนให้ตัวแปรตรงกับสูตรซัมเมชั่นจะได้

\begin{eqnarray*}
\sum_{i=1}^{51}\left(6i-3\right) & = & \sum_{i=1}^{51}6i-\sum_{i=1}^{51}3\\
 & = & 6\sum_{i=1}^{51}i-\sum_{i=1}^{51}3\\
 & = & 6\left(\frac{\left(51\right)\left(52\right)}{2}\right)-\left(3\times51\right)\\
 & = & 7956-153\\
 & = & 7803
\end{eqnarray*}

$7803$

คำคล้าย: 
  • ซัมเมชั่น
  • เครื่องหมายซัม
  • ซิกม่า
  • ผลรวม
  • สูตรผลรวม
  • Summation