สับเซตและเพาเวอร์เซต (Subset and Powerset)


สับเซตคืออะไร

สับเซต (subset) ถ้าแปลตรงตัวก็คือ เซตย่อย ที่ย่อยออกมากจากอีกเซต เช่น ถ้าบอกว่า $A$ เป็นสับเซตของ $B$ นั้นหมายความว่า เซต $B$ จะต้องใหญ่กว่าหรือเท่ากันกับเซต $A$ และเนื่องจากเซต $A$ ย่อยออกมาจากเซต $B$ สมาชิกทุกตัวใน $A$ จะต้องอยู่ในเซต $B$ ด้วย

สับเซต ใช้สัญลักษณ์ $\subset$

เซต $A$ เป็นสับเซตของเซต $B$ ใช้สัญลักษณ์ $A\subset{B}$ และสมาชิกทุกตัวในเซต $A$ อยู่ในเซต $B$

ไม่เป็นสับเซต ใช้สัญลักษณ์ $\not\subset$

เซต $A$ ไม่เป็นสับเซตของเซต $C$ ใช้สัญลักษณ์ $A\not\subset{C}$ ซึ่งจะต้องมีสมาชิกตัวใดตัวหนึ่งใน $A$ ที่ไม่เป็นสมาชิกของ $C$

เซตว่างเป็นสับเซตของทุกเซต $$\varnothing\subset X$$

ตัวอย่างการเป็นสับเซตและไม่เป็นสับเซตกัน

กำหนดให้ $A=\left\{ 1,2,3,4,5\right\} ,B=\left\{ 2,3,5\right\}$ และ $C=\left\{ 2,4\right\} $

จะเห็นว่าสมาชิกทุกตัวของ $B$ คือ $2,3$ และ $5$ เป็นสมาชิกของ $A$ ด้วย ดังนั้น $B\subset{A}$

และสมาชิกของ $C$ คือ $2$ และ $4$ ก็เป็นสมาชิกของ $A$ ด้วยเช่นกัน ดังนั้น $C\subset{A}$

แต่ในขณะที่สมาชิกของ $C$ ตัวหนึ่ง คือ $4$ ไม่เป็นสมาชิกของ $B$ ดังนั้น $C\not\subset{B}$


ตัวอย่างการตรวจสอบการเป็นสับเซต

ให้ตรวจสอบว่า $\left\{ 1,2 \right\} \subset\left\{ 1,\left\{2 \right\},\left\{ 1,2\right\} \right\} $ เป็นจริงหรือไม่

เริ่มต้นจากการพิจารณาให้ดีว่าสมาชิกของเซตด้านซ้ายมีอะไรบ้าง  เพื่อความชัดเจนพี่จะเขียนรายการสมาชิกในเซตด้านซ้ายซึ่งมีสองตัวให้ดูดังนี้

  • $1$
  • $2$

ในขณะที่เซตด้านขวามีสมาชิกสามตัวดังนี้

  • $1$
  • $\{2\}$
  • $\{1,2\}$

จะเห็นว่าสมาชิกตัวหนึ่งด้านหน้า คือ $2$ ไม่พบว่าเป็นสมาชิกในเซตด้านหลัง (ด้านหลังมีเพียง $\{2\}$ ซึ่งถือว่าเป็นคนละตัวกับ $2$)

ดังนั้นจะได้ว่าข้อความนี้ไม่เป็นจริง

จากตัวอย่างที่แล้วจะเห็นว่าการดูแค่เพียงว่าเซตด้านซ้ายมีตัวเลข $1$ กับเลข $2$ และเซตด้านขวาก็มีเลข $1$ กับเลข $2$ อย่างเดียวนั้นไม่เพียงพอที่จะบอกว่าเซตทั้งสองเป็นสับเซตกัน  น้องๆ จะต้องแยกให้ออกว่าสมาชิกตัวจริงของเซตด้านซ้ายกับสมาชิกของเซตด้านขวามีใครบ้าง และ $2$ กับ $\{2\}$ ก็ไม่ใช่สิ่งเดียวกันเพราะว่า $\{2\}$ คือ เซตที่ประกอบด้วยเลข $2$ ในขณะที่ $2$ เป็นเพียงเลข $2$ เฉยๆ

เพาเวอร์เซต

ถ้า $A$ เป็นเซต เพาวเวอร์เซต (Power Set) ของเซต $A$ คือ เซตที่มีสมาชิกประกอบไปด้วยสับเซตของ $A$ ทั้งหมด เพาเวอร์เซตของ $A$ เขียนแทนด้วย 

$$P(A)=\left\{\text{สับเซตทั้งหมดของ} A \right\}$$

เช่น ถ้า $A=\{1,2\}$ สับเซตของ $A$ คือ

  • $\varnothing$
  • $\{1\}$
  • $\{2\}$
  • $\{1,2\}$ หรือ $A$ 

ดังนั้น 

$$P(A) = \left\{\varnothing,\{1\},\{2\},A\right\}$$

เทคนิคการตรวจสอบการเป็นสับเซตที่ซับซ้อน

สำหรับการเป็นสับเซตที่ซับซ้อน เรามีเทคนิคในการตรวจสอบการเป็นสับเซตโดยการตัดปีกกา $\{\cdots\}$ และตัดตัว $P(\cdots)$ ของเพาเวอร์เซตออกพร้อมๆ กันทั้งสองข้าง เช่น

ให้ตรวจสอบว่า $\left\{ \left\{ \left\{ 2\right\} \right\} \right\}\subset{P}\left(\left\{\left\{ 1,2\right\} \right\}\right)$ เป็นจริงหรือไม่ 

เราเริ่มต้นจากการตัดปีกกาทางซ้ายออก พร้อมกับตัด $P$ ด้านขวาออก และค่อยๆ ตัดปีกกาออกข้างละคู่ๆ พร้อมๆ กันจนได้

\begin{eqnarray*}
\cancel{\{} \left\{ \left\{ 2\right\} \right\} \cancel{\}}  & \subset & \cancel{P(}\left\{ \left\{ 1,2\right\} \right\} \cancel{)}\\
\left\{ \left\{ 2\right\} \right\}  & \subset & \left\{ \left\{ 1,2\right\} \right\} \\
\cancel{\{} \left\{ 2\right\} \cancel{\}}  & \subset & \cancel{\{} \left\{ 1,2\right\} \cancel{\}} \\
\left\{ 2\right\}  & \subset & \left\{ 1,2\right\} 
\end{eqnarray*}

 เหลือเพียงแค่ $\left\{ 2\right\} \subset\left\{ 1,2\right\} $ ซึ่งสามารถตรวจสอบได้โดยง่ายว่าเป็นจริง

ดังนั้นข้อความที่โจทย์ให้ตรวจสอบเป็นจริง 

สมบัติของพาวเวอร์เซต

 กำหนดให้ $A$ และ $B$ เป็นเซตใดๆ

  1. $\emptyset \in P(A)$ เพราะ $\emptyset \subset A$ เสมอ
  2. $\emptyset \subset P(A)$ เพราะเซตว่างเป็นสับเซตของทุกเซต แล้ว $P(A)$ ก็เป็นเซตเช่นกัน
  3. $A \in P(A)$ เพราะ $A \subset A$ เสมอ
  4. ถ้า $A$ เป็นเซตจำกัด และ $n(A)$ คือจำนวนสมาชิกของ $A$ แล้ว $P(A)$ จะมีสมาชิก $2^{n(A)}$ ตัว (เท่ากับจำนวนสับเซตของ $A$)
  5. $A \subset B$ ก็ต่อเมื่อ $P(A) \subset P(B)$
  6. $P(A) \cap P(B) = P(A \cap B)$
  7. $P(A) \cup P(B) \subset P(A \cup B)$
คำคล้าย: 
  • สับเซตและเพาเวอร์เซต
  • ซับเซตและเพาเวอร์เซต
  • Subset and Powerset