ค่ามาตรฐาน หรือ คะแนนมาตรฐาน เป็นค่าที่เราสามารถเอาไว้เปรียบเทียบข้อมูลระหว่างชุดได้ เพราะถ้าเรานำข้อมูลสองชุดมาเปรียบเทียบกัน จะมีปัญหาว่า ค่าเฉลี่ยไม่เท่ากัน ส่วนเบี่ยงเบนไม่เท่ากัน ทำให้ไม่รู้ว่าข้อมูลคนใครดีกว่ากัน แต่ถ้าเราเปลี่ยนข้อมูลของทุกคนให้อยู่ในรูป ค่ามาตรฐาน เราจะบอกได้ทันที เพราะว่าค่ามาตรฐานจะเป็นการเปลี่ยนค่าของข้อมูลให้อยู่ในมาตรฐานเดียวกันทั้งหมด
เส้นโค้งปกติมาตรฐาน
เส้นโค้งปกติมาตรฐาน คือ เส้นโค้งที่มีรูปร่างเป็นรูประฆังคว่ำและพื้นที่ใต้กราฟทั้งหมดเท่ากับ $1$ โดยค่ามาตรฐาน $(z)$ จะเป็นค่าที่แสดงในแนวแกน $x$
โดยที่จะมีเส้นแบ่งตรงกลาง คือ เส้นที่ค่า $z=0$ ซึ่งจะทำให้พื้นที่ทั้งสองข้างเท่ากัน
และรูปนี้เป็นสมาตรกัน นั่นคือ ถ้าห่างออกไปจากแกนตรงกลาง $(z=0)$ เท่ากันจะได้ว่าพื้นที่สองฝั่งเท่ากัน
ความสำคัญอีกอย่างของเส้นโค้งปกติมาตรฐาน คือ ค่าตรงกลางที่ $z=0$ หมายความว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตเท่ากับ $0$ และเท่ากับมัธฐานและฐานนิยม
การอ่านตารางค่ามาตรฐานและพื้นที่ใต้กราฟ
ในเรื่องนี้จะมีตารางค่ามาตรฐานมาเกี่ยวข้องซึ่งตารางค่ามาตรฐานจะมีสิ่งที่เกี่ยวข้องกัน $2$ สิ่ง คือ ค่ามาตรฐาน $z$ และ พื้นที่ที่ได้ เช่น ถ้าตารางบอกว่า ค่า $z=1.96$ ได้พื้นที่ใต้กราฟ $0.4750$ คือ
ถ้าโจทย์ที่ถามให้มาว่าค่า $z$ เท่าไหร่ ได้พื้นที่เท่าไหร่ เราก็จะสามารถนำไปใช้ได้เลย แต่ถ้าเป็นในโรงเรียนทั่วไปจะไม่ได้ให้ค่ามาแต่จะให้เปิดหาค่าจากตาราง ซึ่งพี่จะนำส่วนหนึ่งของตารางมาให้ดู
จากตารางการอ่านค่า $z$ ให้อ่านจากหลักแรกและแถวแรก ซึ่งหลักแรกจะแทนจำนวนและทศนิยมตำแหน่งที่หนึ่ง และแถวบนสุดจะแทนทศนิยมตำแหน่งที่สอง เช่นถ้าต้องการค่า $z=1.12$ ให้ดูแถวที่ หลักแรกเป็นเลข $1.1$ แล้วไปดูหลักที่ แถวแรกเป็น $0.02$ ตามรูป
จะได้ว่าพื้นที่ที่ได้คือ $.3686$ ดังรูป
แต่ถ้าเราต้องการหาว่าค่า $z$ เท่าไหร่ที่จะทำให้ได้พื้นที่เท่ากับ $.4049$ เราก็ต้องต้องไปหาเลข $.4049$ จากส่วนที่มีตัวเลขระบุพื้นที่ให้เจอก่อน เมื่อเจอแล้วเราก็จะอ่านค่า $z$ ได้ ดังนี้
ดังนั้นได้ค่า $z=1.31$
การหาพื้นที่ใต้กราฟจากตารางค่ามาตรฐาน
พื้นที่ใต้กราฟทั้งหมดที่ค่า $z\leq{1.30}$ มีค่าเท่าใด
วาดรูปพื้นที่ที่โจทย์ต้องการ จะได้
เปิดตารางค่ามาตรฐานจะได้
จากตารางที่เปิดได้ยังไม่ได้พื้นที่ทั้งหมดที่โจทย์ถามเพราะพื้นที่ฝั่งที่น้อยกว่า $0$ หายไป แต่เรารู้ว่าพื้นที่ฝั่งที่น้อยกว่า $0$ เป็น $0.5$
ดังนั้นพื้นที่ทั้งหมดที่ต้องการ คือ $0.5+0.4192=0.9192$
พื้นที่ใต้กราฟทั้งหมดที่ค่า $z\leq{1.30}$ เท่ากับ $0.9192$
การหาพื้นที่ใต้กราฟจากตารางค่ามาตรฐาน
พื้นที่ใต้กราฟทั้งหมดที่ค่า $z\leq{-1.3}$ มีค่าเท่าใด
จากตัวอย่างแรกจะได้
เนื่องจากกราฟสมมาตรจะได้
วาดรูปพื้นที่ที่ต้องการ จะได้
เนื่องจากพื้นที่ทั้งหมดที่ค่า $z<0$ เท่ากับ $0.5$
ดังนั้นพื้นที่ที่ต้องการ คือ $0.5-0.4192=0.0808$
พื้นที่ใต้กราฟทั้งหมดที่ค่า $z\leq{-1.3}$ คือ $0.0808$
การแปลความหมายของพื้นที่ใต้กราฟ
เราจะนำเรื่องพื้นที่ใต้กราฟมาช่วยในการทำโจทย์สถิติที่เกี่ยวกับจำนวนข้อมูล และเงื่อนไขต่าง ๆ โดยที่รู้ค่าเฉลี่ยเลขคณิต และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน สิ่งที่เราจะต้องเข้าใจเกี่ยวกับพื้นที่ใต้กราฟ คือ
สิ่งที่จะต้องรู้เกี่ยวกับพื้นที่ใต้กราฟของเส้นโค้งปกติมาตรฐาน
- พื้นที่ใต้กราฟใช้อ้างอิงถึงเปอร์เซ็นของข้อมูลทั้งหมด
- พื้นที่ใต้กราฟทั้งหมด คือ $1$ ซึ่งหมายถึงจำนวนข้อมูลทั้งหมด $100\%$
- จุด $z=0$ จะแบ่งข้อมูลออกเป็นสองส่วนเท่า ๆ กัน ซึ่งพื้นที่แต่ละส่วน คือ $0.5$ นั่นคือ แต่ละส่วนมีจำนวนข้อมูลอยู่ $50\%$ ของข้อมูลทั้งหมด
- ตำแหน่งเปอร์เซ็นไทล์ที่ $k$ ของข้อมูล คือค่า $z=a$ ที่ทำให้พื้นที่ใต้กราฟของ $z\leq{a}$ มีค่าเป็น $k\%$
ถ้าเราหาพื้นที่ใต้กราฟได้ $0.2$ หมายความว่าภายใต้เงื่อนไขที่เราต้องการจะมีจำนวนข้อมูลอยู่ $20\%$ ของข้อมูลทั้งหมด
ค่ามาตรฐานกับการทำโจทย์สถิติ
เมื่อเรามีข้อมูลหนึ่งชุด มีค่าของข้อมูลที่เราสนใจหนึ่งค่า จะรู้ได้ยังไงว่าถ้าเปลี่ยนเป็นค่ามาตรฐานแล้วจะได้เท่าไหร่
ถ้าข้อมูลที่ต้องการหาค่ามาตรฐาน คือ $x$ ค่าเฉลี่ยเลขคณิตของข้อมูล คือ $\bar{x}$ และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานของข้อมูล คือ $sd$ จะได้ $$z=\frac{x-\bar{x}}{sd}$$
หาค่ามาตรฐาน
จากการสอบวิชาคณิตศาสตร์ของนักเรียนกลุ่มหนึ่ง ปรากฎว่า ค่าเฉลี่ยเลบคณิตเท่ากับ $53.4$ และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเท่ากับ $4$ ถ้านาย ก. สอบได้คะแนน $46.4$ จงหาว่านาย ก. อยู่ เปอร์เซ็นไทล์ที่เท่าใด
1. หาค่ามาตรฐานของคะแนนของนาย ก. $$z=\frac{46.4-53.4}{4}=-1.75$$
2. เปิดตารางค่ามาตรฐานว่าที่ค่า $z=1.75$ ได้พื้นที่เป็นเท่าไหร่ อันนี้น้อง ๆ ลองเปิดดูนะคะ จะได้พื้นที่เท่ากับ $.4599$
3. ดังนั้นจะได้
4. จากรูปจะได้ว่าพื้นที่ใต้กราฟของ $z\leq{-1.75}$ เท่ากับ $0.0401=4.01\%$
ดังนั้นนาย ก. อยู่เปอร์เซ็นไทล์ที่ $4.01$
นาย ก. อยู่เปอร์เซ็นไทล์ที่ $4.01$