การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยการกำจัดตัวแปร
การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยวิธีนี้จะใช้ได้สะดวกที่สุดเมื่อระบบสมการเชิงเส้นมี $2$ ตัวแปรแต่เมื่อระบบสมการเชิงเส้นของเรามีตัวแปรมากกว่า $3$ ตัวแปร ในบางครั้งการแก้ระบบสมการโดยวิธีนี้ค่อนข้างจะยุ่งยากจึงไม่เป็นที่นิยม
การแก้ระบบสมการเชิงเส้น $2$ ตัวแปรโดยการกำจัดตัวแปร
ให้ระบบสมการ
$$\begin{eqnarray}
x-2y&=&3 \qquad\cdots\left(1\right)\\
2x+1y&=&1 \qquad\cdots\left(2\right)\end{eqnarray}$$
นำ $2\times (2)$ จะได้
$$4x+2y=2 \qquad\cdots\left(3\right)$$
นำสมการ $(1) + (3)$ จะได้
$$5x=5$$
ดังนั้นเราได้ $x=1$
เมื่อนำค่า $x=1$ ไปแทนในสมการ $(1)$ จะได้ $y=-1$
ดังนั้น $x=1, y=-1$
การแปลงระบบสมการเชิงเส้นให้อยู่ในรูปสมการเมทริกซ์
ถ้าเรามีระบบสมการเชิงเส้น $2$ ตัวแปร
$$\begin{eqnarray}
a_1x+b_1y&=&d_1\\
a_2x+b_2y&=&d_2
\end{eqnarray}$$
แล้วเราจะแปลงระบบสมการเชิงเส้นให้อยู่ในรูปสมการเมทริกซ์ได้โดยการนำสัมประสิทธิ์ของ $x$ และ $y$ มาเรียงเป็นแถว สองแถวเป็นเมทริกซ์ขนาด $2\times 2$ ได้ดังนี้
$$\begin{bmatrix}a_1&b_1\\a_2&b_2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} d_1\\d_2\end{bmatrix}$$
ซึ่งจะเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ $AX=D$ โดยที่
$$A=\begin{bmatrix}a_1&b_1\\a_2&b_2\end{bmatrix}, X=\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}, D=\begin{bmatrix} d_1\\d_2\end{bmatrix}$$
ตัวอย่างการแปลงระบบสมการเชิงเส้น $2$ ตัวแปรให้อยู่ในรูปเมทริกซ์
ให้ระบบสมการเชิงเส้น
$$\begin{eqnarray}
x+3y&=&1\\
2x+4y&=&2
\end{eqnarray}$$
เพื่อความง่ายเราจะเขียน $x$ เป็น $1x$ ในระบบสมการจะได้
$$\begin{eqnarray}
1x+3y&=&1\\
2x+4y&=&2
\end{eqnarray}$$
สามารถแปลงได้เป็น
$$\begin{bmatrix}1&3\\2&4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1\\2\end{bmatrix}$$
และถ้าเรามีระบบสมการเชิงเส้น $3$ ตัวแปร
$$\begin{eqnarray}
a_1x+b_1y+c_1z&=&d_1\\
a_2x+b_2y+c_2z&=&d_2\\
a_3x+b_3y+c_3z&=&d_3
\end{eqnarray}$$
แล้วเราจะแปลงระบบสมการเชิงเส้นให้อยู่ในรูปสมการเมทริกซ์ได้โดยการนำ สัมประสิทธิ์ของ $x, y$ และ $z$ มาเรียงเป็นแถว สองแถวเป็นเมทริกซ์ขนาด $3\times 3$ ได้ดังนี้
$$\begin{bmatrix}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} d_1\\d_2\\d_3\end{bmatrix}$$
ซึ่งจะเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ $AX=B$ โดยที่
$$A=\begin{bmatrix}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3 \end{bmatrix}, X=\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}, B=\begin{bmatrix} d_1\\d_2\\d_3\end{bmatrix}$$
ตัวอย่างการแปลงระบบสมการเชิงเส้น $3$ ตัวแปรให้อยู่ในรูปเมทริกซ์
ให้ระบบสมการเชิงเส้น$$\begin{eqnarray}
x+z&=&1\\
2x+y&=&2\\
x-y+z&=&3
\end{eqnarray}$$
เพื่อความง่ายเราจะเขียนสมการ
\begin{eqnarray}
x+z&=&1 &\text{เป็น}& 1x+0y+1z&=&1 &\text{และ}&\\
2x+y&=&2 &\text{เป็น}& 2x+1y+0z&=&2 &\text{และ}&\\
x-y+z&=&3 &\text{เป็น}& 1x-1y+1z&=&3
\end{eqnarray}
จะได้
$$\begin{eqnarray}
1x+0y+1z&=&1\\
2x+1y+0z&=&2\\
1x-1y+1z&=&3
\end{eqnarray}$$
สามารถแปลงได้เป็น
$$\begin{bmatrix}1&0&1\\2&1&0\\1&-1&0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1\\2\\3\end{bmatrix}$$
จากการที่เราสามารถแปลงระบบสมการเชิงเส้นให้อยู่ในรูป
$$AX=B$$
ดังนั้นการหาค่า $X$ สามารถทำได้โดยนำค่า $A^{-1}$ มาคูณทั้งสองข้างของสมการจะได้
$$X=A^{-1}B$$
เราจึงได้ค่าของ $X$ ตามต้องการ
ถ้า $A^{-1}$ หาค่าไม่ได้ ($\det A=0$) เราสามารถสรุปได้เลยว่าระบบสมการไม่มีคำตอบ (ไม่ว่าหาด้วยวิธีการใหนก็ไม่มีคำตอบ)
น้องๆ สามารถอ่านเรื่อง การแก้สมการเมทริกซ์ เพิ่มเติมได้นะครับ
ตัวอย่างการแก้ระบบสมการเชิงเส้นที่ไม่มีคำตอบ
จงแก้ระบบสมการ
$$\begin{eqnarray}
1x+2y&=&1\\
2x+4y&=&2
\end{eqnarray}$$
ค่า $A=\begin{bmatrix} 1&2\\2&4\end{bmatrix}$ ซึ่ง $\det A=0$ เราจึงสามารถสรุปได้เลยว่า ระบบสมการที่กำหนดให้ไม่มีคำตอบ
การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยเมทริกซ์อินเวอร์ส
ตัวอย่างการแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยการแก้สมการเมทริกซ์
จงแก้ระบบสมการเชิงเส้น
$$\begin{eqnarray}x+z&=&1\\2x+y&=&2\\x-y+z&=&3\end{eqnarray}$$
จากตัวอย่าง เราสามารถแปลงเป็นระบบสมการเชิงเส้นได้เป็น
$$\begin{bmatrix}1&0&1\\2&1&0\\1&-1&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1\\2\\3\end{bmatrix}$$
โดยที่
$$A=\begin{bmatrix}1&0&1\\2&1&0\\1&-1&1 \end{bmatrix}, X=\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix} \text{ และ } B=\begin{bmatrix} 1\\2\\3\end{bmatrix} $$
$$\det A=-2 \text{ และ } A^{-1}=\frac{-1}{2}\begin{bmatrix}1&-1&-1\\-2&0&2\\-3&1&1 \end{bmatrix}$$
ดังนั้น
\begin{eqnarray}\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}1&0&1\\2&1&0\\1&-1&1 \end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix} 1\\2\\3\end{bmatrix}\\
&=&\frac{-1}{2}\begin{bmatrix}1&-1&-1\\-2&0&2\\-3&1&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1\\2\\3\end{bmatrix}\\
&=&\frac{-1}{2}\begin{bmatrix}-4\\4\\2\end{bmatrix}\\
&=&\begin{bmatrix}2\\-2\\-1\end{bmatrix}
\end{eqnarray}
$ \begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}2\\-2\\-1\end{bmatrix}$
การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยการดำเนินการตามแถว
ให้ระบบสมการเชิงเส้น
$$\begin{eqnarray}
1x+2y+1z&=&1\\
2x+1y+3z&=&2\\
1x-1y+1z&=&3
\end{eqnarray}$$
เรา สามารถแปลงระบบสมการเชิงเส้นเป็น เมทริกซ์แต่งเติม (aumented matrix) ของสมการโดยการนำ สัมประสิทธิ์ของ $x, y, z$ และ ค่าอีกฝั่งของสมการ มาเขียนในรูปเมทริกซ์ $3\times 4$ ได้ดังนี้
\[A= \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&2&1&1\\
2&1&3&2\\
1&-1&1&3\\ \end{array} \right] \]
ตัวอย่างการแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยการดำเนินการตามแถว
ให้ระบบสมการเชิงเส้น
$$\begin{eqnarray}x+z&=&1\\2x+y&=&2\\x-y+z&=&3\end{eqnarray}$$
เพื่อความง่ายเราจะเขียนสมการในรูป
$$\begin{eqnarray}
1x+0y+1z&=&1\\
2x+1y+0z&=&2\\
1x-1y+1z&=&3
\end{eqnarray}$$เราสามารถแปลงระบบสมการเชิงเส้นเป็น
\[A= \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&0&1&1\\
2&1&0&2\\
1&-1&1&3\\ \end{array} \right] \]
ดังนั้นเราจะได้ว่า
\begin{eqnarray}A&=&\left[ \begin{array}{ccc|c} 1&0&1&1\\2&1&0&2\\1&-1&1&3\\ \end{array} \right] & \overrightarrow{-R_{1}+R_3}&\left[ \begin{array}{ccc|c} 1&0&1&1\\2&1&0&2\\0&-1&0&2\\ \end{array} \right]\\&\overrightarrow{-R_{3}}&\left[ \begin{array}{ccc|c} 1&0&1&1\\2&1&0&2\\0&1&0&-2\\ \end{array} \right]&\overrightarrow{-R_{3}+R_2}&\left[ \begin{array}{ccc|c} 1&0&1&1\\2&0&0&4\\0&1&0&-2\\ \end{array} \right]\\&\overrightarrow{-\frac{1}{2}{R_2}}&\left[ \begin{array}{ccc|c} 1&0&1&1\\1&0&0&2\\0&1&0&-2\\ \end{array} \right]&\overrightarrow{-R_2+R_1}&\left[ \begin{array}{ccc|c} 0&0&1&-1\\1&0&0&2\\0&1&0&-2\\ \end{array} \right]\\&\overrightarrow{R_{12}}&\left[ \begin{array}{ccc|c} 1&0&0&2\\0&0&1&-1\\0&1&0&-2\\ \end{array} \right]
&\overrightarrow{R_{23}}& \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&0&0&2\\0&1&0&-2\\0&0&1&-1\\ \end{array} \right]
\end{eqnarray}
ดังนั้น $x=2, y=-2, z=-1$
น้องๆ สามารถอ่านเรื่อง การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยการดำเนินการตามแถว เพิ่มเติมได้นะครับ
การแก้โดยใช้กฏของคราเมอร์
ตัวอย่างการแก้ระบบสมการโดยใช้กฏของคราเมอร์
ให้ระบบสมการเชิงเส้น
$$\begin{eqnarray}x+z&=&1\\2x+y&=&2\\x-y+z&=&3\end{eqnarray}$$
เพื่อความง่ายเราจะเขียนสมการในรูป
$$\begin{eqnarray}
1x+0y+1z&=&1\\
2x+1y+0z&=&2\\
1x-1y+1z&=&3
\end{eqnarray}$$
เราเขียนเป็น
$$\begin{bmatrix}1&0&1\\2&1&0\\1&-1&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}$$
นั่น คือ $A=\begin{bmatrix}1&0&1\\2&1&0\\1&-1&1 \end{bmatrix}$ และ $\begin{bmatrix}{\color{blue}1}\\{\color{blue}2}\\{\color{blue}3}\end{bmatrix}$
ดังนั้นคำตอบของสมการเชิงเส้นคือ
การ หาค่า $x$ ทำได้โดยการนำเมทริกซ์ $\begin{bmatrix}{\color{blue}1}\\{\color{blue}2}\\{\color{blue}3}\end{bmatrix}$ ไปแทนค่าในหลักที่ $1$ ของเมทริกซ์ $A=\begin{bmatrix}1&0&1\\2&1&0\\1&-1&1 \end{bmatrix}$ และหลังจากนั้น
$$x=\frac{\det\begin{bmatrix}{\color{blue}1}&0&1\\{\color{blue}2}&1&0\\{\color{blue}3}&-1&1 \end{bmatrix}}{\det A}=\frac{-4}{2}=-2$$
การหาค่า $y$ ทำได้โดยการนำเมทริกซ์ $\begin{bmatrix}{\color{blue}1}\\{\color{blue}2}\\{\color{blue}3}\end{bmatrix}$ ไปแทนค่าในหลักที่ $2$ ของเมทริกซ์ $A=\begin{bmatrix}1&0&1\\2&1&0\\1&-1&1 \end{bmatrix}$ และหลังจากนั้น
$$y=\frac{\det\begin{bmatrix}1&{\color{blue}1}&1\\2&{\color{blue}2}&0\\1&{\color{blue}3}&1 \end{bmatrix}}{\det A}=\frac{4}{2}=2$$
การหาค่า $z$ ทำได้โดยการนำเมทริกซ์ $\begin{bmatrix}{\color{blue}1}\\{\color{blue}2}\\{\color{blue}3}\end{bmatrix}$ ไปแทนค่าในหลักที่ $3$ ของเมทริกซ์ $A=\begin{bmatrix}1&0&1\\2&1&0\\1&-1&1 \end{bmatrix}$ และหลังจากนั้น
$$z=\frac{\det\begin{bmatrix}1&0&{\color{blue}1}\\2&1&{\color{blue}2}\\1&-1&{\color{blue}3} \end{bmatrix}}{\det A}=\frac{2}{2}=1$$
ดังนั้น $x=-2, y=2$ และ $z=1$
น้องๆ สามารถอ่านเรื่อง การแก้โดยใช้กฏของคราเมอร์ เพิ่มเติมได้นะครับ
เทคนิคการเลือกใช้วิธีแก้ระบบสมการ
- ให้กฎของคราเมอร์เมื่อโจทย์ถามหาค่าแค่ตัวแปรเดียว
- ใช้การคูณด้วยเมทริกซ์อินเวอร์ส ถ้าโจทย์ให้ค่าของเมทริกซ์อินเวอร์สมาแล้วเท่านั้นไม่งั้นเสียเวลาหาอินเวอร์สไม่คุ้ม
- ใช้วิธีการกำจัดตัวแปรกรณีที่เห็นชัดๆ ว่ากำจัดตัวแปรง่าย
- ใช้วิธีการดำเนินการตามแถวถ้าไม่เหมาะที่จะใช้วิธีอื่น ๆ