นำ $2\times (2)$ จะได้  

$$4x+2y=2 \qquad\cdots\left(3\right)$$

นำสมการ $(1) + (3)$ จะได้

 

$$5x=5$$

ดังนั้นเราได้ $x=1$

เมื่อนำค่า $x=1$ ไปแทนในสมการ $(1)$ จะได้  $y=-1$

  เพื่อความง่ายเราจะเขียน $x$ เป็น $1x$ ในระบบสมการจะได้

$$\begin{eqnarray} 1x+3y&=&1\\ 2x+4y&=&2 \end{eqnarray}$$
สามารถแปลงได้เป็น
$$\begin{bmatrix}1&3\\2&4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1\\2\end{bmatrix}$$

  เพื่อความง่ายเราจะเขียนสมการ

$$\begin{eqnarray} x+z&=&1   &\text{เป็น}&   1x+0y+1z&=&1   &\text{และ}&\\ 2x+y&=&2   &\text{เป็น}&   2x+1y+0z&=&2   &\text{และ}&\\ x-y+z&=&3  &\text{เป็น}&   1x-1y+1z&=&3  \end{eqnarray}$$
จะได้
$$\begin{eqnarray} 1x+0y+1z&=&1\\ 2x+1y+0z&=&2\\ 1x-1y+1z&=&3 \end{eqnarray}$$

 จากตัวอย่าง เราสามารถแปลงเป็นระบบสมการเชิงเส้นได้เป็น

$$\begin{bmatrix}1&0&1\\2&1&0\\1&-1&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1\\2\\3\end{bmatrix}$$

โดยที่

$$A=\begin{bmatrix}1&0&1\\2&1&0\\1&-1&1 \end{bmatrix},  X=\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}     \text{   และ   }     B=\begin{bmatrix} 1\\2\\3\end{bmatrix}$$

$$\det A=-2  \text{     และ     }  A^{-1}=\frac{-1}{2}\begin{bmatrix}1&-1&-1\\-2&0&2\\-3&1&1 \end{bmatrix}$$

ดังนั้น

$$\begin{eqnarray}\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix}1&0&1\\2&1&0\\1&-1&1 \end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix} 1\\2\\3\end{bmatrix}\\ &=&\frac{-1}{2}\begin{bmatrix}1&-1&-1\\-2&0&2\\-3&1&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1\\2\\3\end{bmatrix}\\ &=&\frac{-1}{2}\begin{bmatrix}-4\\4\\2\end{bmatrix}\\ &=&\begin{bmatrix}2\\-2\\-1\end{bmatrix} \end{eqnarray}$$

  เพื่อความง่ายเราจะเขียนสมการในรูป

$$\begin{eqnarray} 1x+0y+1z&=&1\\ 2x+1y+0z&=&2\\ 1x-1y+1z&=&3 \end{eqnarray}$$ เราสามารถแปลงระบบสมการเชิงเส้นเป็น
\ $$A= \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&0&1&1\\ 2&1&0&2\\ 1&-1&1&3\\ \end{array} \right$$ \]
ดังนั้นเราจะได้ว่า
$$\begin{eqnarray}A&=&\left[ \begin{array}{ccc|c} 1&0&1&1\\2&1&0&2\\1&-1&1&3\\ \end{array} \right] & \overrightarrow{-R_{1}+R_3}&\left[ \begin{array}{ccc|c} 1&0&1&1\\2&1&0&2\\0&-1&0&2\\ \end{array} \right]\\&\overrightarrow{-R_{3}}&\left[ \begin{array}{ccc|c} 1&0&1&1\\2&1&0&2\\0&1&0&-2\\ \end{array} \right]&\overrightarrow{-R_{3}+R_2}&\left[ \begin{array}{ccc|c} 1&0&1&1\\2&0&0&4\\0&1&0&-2\\ \end{array} \right]\\&\overrightarrow{-\frac{1}{2}{R_2}}&\left[ \begin{array}{ccc|c} 1&0&1&1\\1&0&0&2\\0&1&0&-2\\ \end{array} \right]&\overrightarrow{-R_2+R_1}&\left[ \begin{array}{ccc|c} 0&0&1&-1\\1&0&0&2\\0&1&0&-2\\ \end{array} \right]\\&\overrightarrow{R_{12}}&\left[ \begin{array}{ccc|c} 1&0&0&2\\0&0&1&-1\\0&1&0&-2\\ \end{array} \right] &\overrightarrow{R_{23}}& \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&0&0&2\\0&1&0&-2\\0&0&1&-1\\ \end{array} \right] \end{eqnarray}$$

 เพื่อความง่ายเราจะเขียนสมการในรูป

$$\begin{eqnarray} 1x+0y+1z&=&1\\ 2x+1y+0z&=&2\\ 1x-1y+1z&=&3 \end{eqnarray}$$
เราเขียนเป็น
$$\begin{bmatrix}1&0&1\\2&1&0\\1&-1&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\\2\\3\end{bmatrix}$$
นั่น คือ $A=\begin{bmatrix}1&0&1\\2&1&0\\1&-1&1 \end{bmatrix}$ และ $\begin{bmatrix}{\color{blue}1}\\{\color{blue}2}\\{\color{blue}3}\end{bmatrix}$
ดังนั้นคำตอบของสมการเชิงเส้นคือ
การ หาค่า $x$ ทำได้โดยการนำเมทริกซ์ $\begin{bmatrix}{\color{blue}1}\\{\color{blue}2}\\{\color{blue}3}\end{bmatrix}$ ไปแทนค่าในหลักที่ $1$ ของเมทริกซ์ $A=\begin{bmatrix}1&0&1\\2&1&0\\1&-1&1 \end{bmatrix}$ และหลังจากนั้น
$$x=\frac{\det\begin{bmatrix}{\color{blue}1}&0&1\\{\color{blue}2}&1&0\\{\color{blue}3}&-1&1 \end{bmatrix}}{\det A}=\frac{-4}{2}=-2$$
การหาค่า $y$ ทำได้โดยการนำเมทริกซ์ $\begin{bmatrix}{\color{blue}1}\\{\color{blue}2}\\{\color{blue}3}\end{bmatrix}$ ไปแทนค่าในหลักที่ $2$ ของเมทริกซ์ $A=\begin{bmatrix}1&0&1\\2&1&0\\1&-1&1 \end{bmatrix}$ และหลังจากนั้น
$$y=\frac{\det\begin{bmatrix}1&{\color{blue}1}&1\\2&{\color{blue}2}&0\\1&{\color{blue}3}&1 \end{bmatrix}}{\det A}=\frac{4}{2}=2$$
การหาค่า $z$ ทำได้โดยการนำเมทริกซ์ $\begin{bmatrix}{\color{blue}1}\\{\color{blue}2}\\{\color{blue}3}\end{bmatrix}$ ไปแทนค่าในหลักที่ $3$ ของเมทริกซ์ $A=\begin{bmatrix}1&0&1\\2&1&0\\1&-1&1 \end{bmatrix}$ และหลังจากนั้น
$$z=\frac{\det\begin{bmatrix}1&0&{\color{blue}1}\\2&1&{\color{blue}2}\\1&-1&{\color{blue}3} \end{bmatrix}}{\det A}=\frac{2}{2}=1$$