การแก้สมการพหุนามกำลังสอง (Solving Second Degree Polynomial Equation)


การแก้สมการพหุนามกำลังสอง

1. ใช้การแยกตัวประกอบ

จงหาคำตอบของสมการ $x^2 - 2x - 3 = 0$

แยกตัวประกอบพหุนาม $x^2 - 2x - 3$ จะได้

\begin{eqnarray*}
(x + 1)(x - 3) &=& 0
\end{eqnarray*}

ด้วยสมบัติของจำนวนจริง $2$ ตัว คูณกันได้ $0$ แสดงว่าต้องมีอย่างน้อยตัวใดตัวหนึ่งเป็น $0$ ดังนั้น

ถ้า $x + 1 = 0$ จะได้ $x = -1$

ถ้า $x - 3 = 0$ จะได้ $x = 3$

 $x = -1$ หรือ $x = 3$

2. ใช้สมบัติของรากที่สอง

จงหาคำตอบของสมการ $x^2 + 8x + 16 = 4$

จะเห็นว่า $x^2 + 8x + 16$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์คือ

\begin{eqnarray*}
x^2 + 8x + 16 &=& x^2 + 2(x)(4) + 4^2\\
&=& (x + 4)^2
\end{eqnarray*}

ดังนั้น สมการจึงเป็น $$(x+4)^2 = 4$$

ถอดรากที่สองทั้งสองข้าง

\begin{eqnarray*}
x + 4 &=& 2, -2\\
x &=& -2, -6
\end{eqnarray*}

$x = -2$ หรือ $x = -6$

3. ทำให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์

จงหาคำตอบของสมการ $x^2 + 2x - 7 = 0$

จะเห็นว่าพหุนาม $x^2 + 2x - 7$ ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ และไม่อยู่ในรูปกำลังสองสมบูรณ์

เราจะจัดให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ดังนี้

\begin{eqnarray*}
x^2 + 2x - 7 &=& x^2 + 2x -7 + 1^2 - 1^2\\
&=& [x^2 + 2(x)(1) + 1^2] - 7 - 1\\
&=& (x + 1)^2 - 8
\end{eqnarray*}

ดังนั้น สมการคือ

\begin{eqnarray*}
(x+1)^2 - 8 &=& 0\\
(x+1)^2 &=& 8
\end{eqnarray*}

ถอดรากที่สองทั้งสองข้าง

\begin{eqnarray*}
x + 1 &=& 2\sqrt{2} , -2 \sqrt{2}\\
x &=& 2 \sqrt{2} - 1, -2 \sqrt{2} - 1
\end{eqnarray*}

$x = 2 \sqrt{2} - 1$ หรือ $x = -2 \sqrt{2} - 1$

4. ใช้สูตรหาคำตอบ

กำหนดสมการ $ax^2 + bx + c = 0$ จะได้ $\displaystyle x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ 

 จงหาคำตอบของสมการ $x^2 + 2x - 7 = 0$

จากสมการ จะได้ว่า $a = 1, b = 2$ และ $c = -7$

จากสูตร จะได้

\begin{eqnarray*}
x &=& \frac{-2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-7)}}{2(1)}\\
&=& \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 28}}{2}\\
&=& \frac{-2 \pm \sqrt{32}}{2}
\end{eqnarray*}

ซึ่ง $\sqrt{32} = 4 \sqrt{2}$ จะได้

\begin{eqnarray*}
x &=& \frac{-2 \pm 4 \sqrt{2}}{2}\\
&=& \frac{\cancel{2}(-1 \pm 2 \sqrt{2})}{\cancel{2}}\\
&=& \pm 2\sqrt{2} - 1
\end{eqnarray*}

$x = 2 \sqrt{2} - 1$ หรือ $x = -2 \sqrt{2} - 1$

ข้อควรรู้เกี่ยวกับสูตรหาคำตอบของสมการพหุนามกำลังสอง

จากสูตร $\displaystyle x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

ถ้า $b^2 - 4ac > 0$ สมการมี $2$ คำตอบ

ถ้า $b^2 - 4ac = 0$ สมการมี $1$ คำตอบ

ถ้า $b^2 - 4ac < 0$ สมการไม่มีคำตอบในระบบจำนวนจริง

ตัวอย่างการพิจารณาคำตอบของสมการพหุนามกำลังสอง

กำหนดให้สมการ $x^2 - mx + 9 = 0$ มีคำตอบเดียว จงหา $m$

จากสมการจะได้ว่า $a = 1, b = -m$ และ $c = 9$

สมการมีคำตอบเดียว นั่นคือ $b^2 - 4ac = 0$

\begin{eqnarray*}
(-m)^2 - 4(1)(9) &=& 0\\
m^2 - 36 &=& 0\\
m^2 &=& 36\\
m &=& 6, -6
\end{eqnarray*}

$m = 6$ หรือ $m = -6$

คำคล้าย: 
  • การแก้สมการพหุนามกำลังสอง
  • Solving Second Degree Polynomial Equation