การแก้อสมการพหุนาม (Solving Polynomial Inequality)


การแก้อสมการพหุนาม

ใช้หลักการแยกตัวประกอบเหมือนการแก้สมการ แล้วพิจารณาว่าพหุนามจะเป็น $0$ เมื่อ $x$ มีค่าเท่าใด

จากนั้นนำค่า $x$ ไปเขียนบนเส้นจำนวนแล้วพิจารณาช่วงคำตอบ

ตัวอย่างการแก้อสมการพหุนาม

จงหาเซตคำตอบของอสมการ $x^2 - x - 2 \geq 0$

แยกตัวประกอบ $x^2 - x - 2 = (x+1)(x-2)$

จะได้ว่า $$(x+1)(x-2) \geq 0$$

ซึ่ง $(x+1)(x-2)$ จะเท่ากับ $0$ เมื่อ $x = -1$ และ $x = 2$ นำ $2$ ค่านี้ไปเขียนเส้นจำนวน

เราจะใช้จุดทึบทั้งสองจุด เนื่องจากอสมการเป็น $\geq$ แสดงว่าสามารถเป็น $0$ ได้

จุดทั้งสองแบ่งเส้นจำนวนออกเป็น $3$ ช่วง

พิจารณาช่วงซ้าย $x \leq -1$

ถ้า $x \leq -1$ จะได้ว่า $x + 1 \leq 0$ และ $x - 2 \leq 0$

เมื่อนำมาคูณกันจึงได้ค่าเป็นบวก หรือ $\geq 0$ จริง

ดังนั้น $x \leq -1$ เป็นคำตอบช่วงหนึ่งของอสมการ

พิจารณาช่วงกลาง $-1 \leq x \leq 2$

ถ้า $-1 \leq x \leq 2$ จะได้ว่า $x+1 \geq 0$ แต่ $x - 2 \leq 0$

เมื่อนำมาคูณกันได้ค่าเป็นลบ ซึ่งไม่สอดคล้องกับ $\geq 0$ ตามอสมการ

ดังนั้น $-1 \leq x \leq 2$ ไม่ใช่คำตอบ

พิจารณาช่วงขวา $x \geq 2$

ถ้า $x \geq 2$ จะได้ว่า $x + 1 \geq 0$ และ $x - 2 \geq 0$

เมื่อนำมาคูณกันได้ค่าบวก ซึ่ง $\geq 0$ จริง

ดังนั้น $x \geq 2$ เป็นคำตอบช่วงหนึ่งของอสมการ

นำคำตอบทั้งหมดมายูเนี่ยนกัน จะได้

เซตคำตอบคือ $x \in \left( -\infty, -1 \right] \cup \left[ 2, \infty \right)$


จงหาเซตคำตอบของอสมการ $\displaystyle \frac{6x+5}{x+2} \leq 0$

ข้อนี้จะเห็นว่ามี $\displaystyle x = -\frac{5}{6}$ และ $x = -2$ มาเขียนบนเส้นจำนวน

ถึงจะเป็นเครื่องหมาย $\leq$ แต่จะเห็นว่า $x = -2$ ไม่ได้ เพราะจะทำให้ส่วนเป็น $0$ ดังนั้นที่ $x = -2$ ต้องเป็นจุดโปร่ง

พิจารณาช่วงลักษณะเดิม ได้คำตอบคือ

เซตคำตอบคือ $\displaystyle x \in \left( -2, -\frac{5}{6} \right]$


จงหาเซตคำตอบของอสมการ $2x^3 - 7x^2 + 7x - 2 < 0$

แยกตัวประกอบพหุนาม $P(x) = 2x^3 - 7x^2 + 7x - 2$

โดยทฤษฎีเศษเหลือ $P(1) = 2 - 7 + 7 - 2 = 0$ แสดงว่า $x-1$ เป็นตัวประกอบของ $P(x)$

นำไปหารสังเคราะห์ด้วย $1$

จะได้

\begin{eqnarray*}
P(x) &=& (x-1)(2x^2 - 5x + 2)\\
&=& (x-1)(2x - 1)(x - 2)
\end{eqnarray*}

อสมการจึงเป็น $$(x-1)(2x-1)(x-2) < 0$$

เนื่องจากเป็นเครื่องหมาย $<$ ทุกจุดจึงเป็นจุดโปร่งเพราะไม่สามารถเท่ากับ $0$ ได้

วาดเส้นจำนวนและพิจารณาช่วงเช่นเดิม จะได้

เซตคำตอบคือ $\displaystyle x \in \left(-\infty, \frac{1}{2} \right) \cup (1,2)$

คำคล้าย: 
  • การแก้อสมการพหุนาม
  • Solving Polynomial Inequality