การแก้อสมการพหุนาม
ใช้หลักการแยกตัวประกอบเหมือนการแก้สมการ แล้วพิจารณาว่าพหุนามจะเป็น $0$ เมื่อ $x$ มีค่าเท่าใด
จากนั้นนำค่า $x$ ไปเขียนบนเส้นจำนวนแล้วพิจารณาช่วงคำตอบ
ตัวอย่างการแก้อสมการพหุนาม
จงหาเซตคำตอบของอสมการ $x^2 - x - 2 \geq 0$
แยกตัวประกอบ $x^2 - x - 2 = (x+1)(x-2)$
จะได้ว่า $$(x+1)(x-2) \geq 0$$
ซึ่ง $(x+1)(x-2)$ จะเท่ากับ $0$ เมื่อ $x = -1$ และ $x = 2$ นำ $2$ ค่านี้ไปเขียนเส้นจำนวน
เราจะใช้จุดทึบทั้งสองจุด เนื่องจากอสมการเป็น $\geq$ แสดงว่าสามารถเป็น $0$ ได้
จุดทั้งสองแบ่งเส้นจำนวนออกเป็น $3$ ช่วง
พิจารณาช่วงซ้าย $x \leq -1$
ถ้า $x \leq -1$ จะได้ว่า $x + 1 \leq 0$ และ $x - 2 \leq 0$
เมื่อนำมาคูณกันจึงได้ค่าเป็นบวก หรือ $\geq 0$ จริง
ดังนั้น $x \leq -1$ เป็นคำตอบช่วงหนึ่งของอสมการ
พิจารณาช่วงกลาง $-1 \leq x \leq 2$
ถ้า $-1 \leq x \leq 2$ จะได้ว่า $x+1 \geq 0$ แต่ $x - 2 \leq 0$
เมื่อนำมาคูณกันได้ค่าเป็นลบ ซึ่งไม่สอดคล้องกับ $\geq 0$ ตามอสมการ
ดังนั้น $-1 \leq x \leq 2$ ไม่ใช่คำตอบ
พิจารณาช่วงขวา $x \geq 2$
ถ้า $x \geq 2$ จะได้ว่า $x + 1 \geq 0$ และ $x - 2 \geq 0$
เมื่อนำมาคูณกันได้ค่าบวก ซึ่ง $\geq 0$ จริง
ดังนั้น $x \geq 2$ เป็นคำตอบช่วงหนึ่งของอสมการ
นำคำตอบทั้งหมดมายูเนี่ยนกัน จะได้
เซตคำตอบคือ $x \in \left( -\infty, -1 \right] \cup \left[ 2, \infty \right)$
จงหาเซตคำตอบของอสมการ $\displaystyle \frac{6x+5}{x+2} \leq 0$
ข้อนี้จะเห็นว่ามี $\displaystyle x = -\frac{5}{6}$ และ $x = -2$ มาเขียนบนเส้นจำนวน
ถึงจะเป็นเครื่องหมาย $\leq$ แต่จะเห็นว่า $x = -2$ ไม่ได้ เพราะจะทำให้ส่วนเป็น $0$ ดังนั้นที่ $x = -2$ ต้องเป็นจุดโปร่ง
พิจารณาช่วงลักษณะเดิม ได้คำตอบคือ
เซตคำตอบคือ $\displaystyle x \in \left( -2, -\frac{5}{6} \right]$
จงหาเซตคำตอบของอสมการ $2x^3 - 7x^2 + 7x - 2 < 0$
แยกตัวประกอบพหุนาม $P(x) = 2x^3 - 7x^2 + 7x - 2$
โดยทฤษฎีเศษเหลือ $P(1) = 2 - 7 + 7 - 2 = 0$ แสดงว่า $x-1$ เป็นตัวประกอบของ $P(x)$
นำไปหารสังเคราะห์ด้วย $1$
จะได้
\begin{eqnarray*}
P(x) &=& (x-1)(2x^2 - 5x + 2)\\
&=& (x-1)(2x - 1)(x - 2)
\end{eqnarray*}
อสมการจึงเป็น $$(x-1)(2x-1)(x-2) < 0$$
เนื่องจากเป็นเครื่องหมาย $<$ ทุกจุดจึงเป็นจุดโปร่งเพราะไม่สามารถเท่ากับ $0$ ได้
วาดเส้นจำนวนและพิจารณาช่วงเช่นเดิม จะได้
เซตคำตอบคือ $\displaystyle x \in \left(-\infty, \frac{1}{2} \right) \cup (1,2)$