การแก้สมการเมทริกซ์ (Solving Matrix Equation)


การเท่ากันของเมทริกซ์

เมทริกซ์  $A$  และ  $B$  เท่ากันก็ต่อเมื่อ

  1. $A$ และ $B$ มีมิติเท่ากัน
  2. สมาชิกในตำแหน่งเดียวกันมีค่าเท่ากัน

หรือเขียนสั้น ๆ ได้ว่า  ถ้า  $A=[a_{ij}]_{m\times n}$  และ  $B=[b_{ij}]_{m\times n}$

$A=B$  ก็ต่อเมื่อ  $a_{ij}=b_{ij}$  ทุกค่า $i$ และ $j$

 ตัวอย่างการเท่ากันของเมทริกซ์  

ให้  $$A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix},     B=\begin{bmatrix}x&2\\3&2z\end{bmatrix}$$

  $A=B$  ก็ต่อเมื่อ $x=1$  และ $z=2$


ให้ $A, B,  C,  D$ และ $E$ เป็นเมทริกซ์ที่มีขนาดเหมาะสม และ ให้ $c$ เป็นค่าคงที่ เราจะได้

  1. ถ้า $A=B$ แล้ว   $A+C=B+C$
  2. ถ้า $A=B$ แล้ว   $A-C=B-C$
  3. ถ้า $A=B$ แล้ว   $cA=cB$
  4. ถ้า $A=B$ แล้ว   $AD=BD$
  5. ถ้า $A=B$ แล้ว   $EA=EB$

 กำหนดให้  $\begin{bmatrix} w&x\\y&z \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 1&2\\3&4 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 7&6\\5&8 \end{bmatrix}$  จงหาค่า $\begin{bmatrix} w&x\\y&z \end{bmatrix}$

 

เราต้องการกำจัดเมทริกซ์ $\begin{bmatrix} 1&2\\3&4 \end{bmatrix}$ เราจึงลบทั้งสองข้างของสมการด้วยเมทริกซ์ $\begin{bmatrix} 1&2\\3&4 \end{bmatrix}$
$$\begin{bmatrix} w&x\\y&z \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 1&2\\3&4 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 1&2\\3&4 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 7&6\\5&8 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 1&2\\3&4 \end{bmatrix}$$
ดังนั้นเราจะได้
\begin{eqnarray}
\begin{bmatrix} w&x\\y&z \end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix} 7&6\\5&8 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 1&2\\3&4 \end{bmatrix}\\
&=&\begin{bmatrix} 6&4\\2&4 \end{bmatrix}
\end{eqnarray}

 $\begin{bmatrix} w&x\\y&z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 6&4\\2&4 \end{bmatrix}$


 กำหนดให้  $2\begin{bmatrix} w&x\\y&z \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} -3&5\\7&-6 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -1&-1\\3&0 \end{bmatrix}$   จงหาค่า $\begin{bmatrix} w&x\\y&z \end{bmatrix}$

ดังนั้น

\begin{eqnarray}
2\begin{bmatrix} w&x\\y&z \end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix} -1&-1\\3&0 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} -3&5\\7&-6 \end{bmatrix}\\
&=&\begin{bmatrix} 2&-6\\-4&6 \end{bmatrix}
\end{eqnarray}
นำ $2$ หารทั้งสองข้างของสมการจะได้
$$\begin{eqnarray}
\begin{bmatrix} w&x\\y&z \end{bmatrix}&=&\frac{1}{2}\begin{bmatrix} 2&-6\\-4&6 \end{bmatrix}\\
&=&\begin{bmatrix} 1&-3\\-2&3 \end{bmatrix}
\end{eqnarray}$$

 $\begin{bmatrix} w&x\\y&z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1&-3\\-2&3 \end{bmatrix}$


 

กำหนดให้  $\begin{bmatrix} 1&2\\3&4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} w&x\\y&z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2&-1\\1&3 \end{bmatrix}$   จงหาค่า $\begin{bmatrix} w&x\\y&z \end{bmatrix}$

 

เนื่อง จาก $\begin{bmatrix} 1&2\\3&4 \end{bmatrix}^{-1}=-\frac{1}{2}\begin{bmatrix} 4&-2\\-3&1 \end{bmatrix}$ เมื่อนำมาคูณทั้งสองข้างของสมการจะได้
$$\begin{bmatrix} 1&2\\3&4 \end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix} 1&2\\3&4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} w&x\\y&z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1&2\\3&4 \end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix} 2&-1\\1&3 \end{bmatrix}$$
จะได้ว่า
\begin{eqnarray}
\begin{bmatrix} w&x\\y&z \end{bmatrix}&=&\begin{bmatrix} 1&2\\3&4 \end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix} 2&-1\\1&3 \end{bmatrix}\\
&=&-\frac{1}{2}\begin{bmatrix} 4&-2\\-3&1 \end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix} 2&-1\\1&3 \end{bmatrix}\\
&=&-\frac{1}{2}\begin{bmatrix} 6&-10\\-5&6 \end{bmatrix}\\
&=&\begin{bmatrix} -3&5\\\frac{5}{2}&-3 \end{bmatrix}
\end{eqnarray}

 $\begin{bmatrix} w&x\\y&z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -3&5\\\frac{5}{2}&-3 \end{bmatrix}$


กำหนดให้  $3\begin{bmatrix} 1&2\\3&4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} w&x\\y&z \end{bmatrix}+5\begin{bmatrix} 1&-1\\0&2\end{bmatrix}=2\begin{bmatrix} 2&3\\1&5 \end{bmatrix}$   จงหาค่า $\begin{bmatrix} w&x\\y&z \end{bmatrix}$

 ให้  $A=\begin{bmatrix} 1&2\\3&4 \end{bmatrix}, X=\begin{bmatrix} w&x\\y&z \end{bmatrix}, B=\begin{bmatrix} 1&-1\\0&2\end{bmatrix}, C=\begin{bmatrix} 2&3\\1&5 \end{bmatrix}$

เราเขียนโจทย์ให้อยู่ในรูปของสมการได้ดังนี้ $$3AX+5B=2C$$
นำ $-5B$ บวกทั้งสองข้างของสมการจะได้
$$3AX=2C-5B$$
นำ $A^{-1}$ คูณทางซ้ายทั้งสองข้างของสมการจะได้
$$3X=A^{-1}\left(2C-5B\right)$$
หาร $3$ ทั้งสองข้างของสมการจะได้
$$X=\frac{1}{3}A^{-1}(2C-5B)$$
เนื่อง จาก $A^{-1}=\begin{bmatrix} 1&2\\3&4 \end{bmatrix}^{-1}=-\frac{1}{2}\begin{bmatrix} 4&-2\\-3&1 \end{bmatrix}$ และเมื่อแทนค่าตัวแปรเราได้
\begin{eqnarray}
\begin{bmatrix} w&x\\y&z \end{bmatrix}&=&\frac{1}{3}(-\frac{1}{2})\begin{bmatrix} 4&-2\\-3&1 \end{bmatrix}\left(2\begin{bmatrix} 2&3\\1&5 \end{bmatrix}-5\begin{bmatrix} 1&-1\\0&2\end{bmatrix}\right)\\
&=&\frac{1}{3}(-\frac{1}{2})\begin{bmatrix} 4&-2\\-3&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} -1&11\\2&0\end{bmatrix}\\
&=&(-\frac{1}{6})\begin{bmatrix} -8&44\\5&-33\end{bmatrix}\\
&=&\begin{bmatrix} \frac{8}{6}&\frac{-44}{6}\\\frac{-5}{6}&\frac{33}{6}\end{bmatrix}
\end{eqnarray}

$$\begin{bmatrix} w&x\\y&z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac{4}{3}&\frac{-22}{3}\\\frac{-5}{6}&\frac{11}{2}\end{bmatrix}$$

 

ดังในตัวอย่างเราทำการแก้สมการเมทริกซ์ก่อนแล้วค่อยแทนค่าหาคำตอบทีหลัง ซึ่งจะหาคำตอบได้เร็วกว่า


กำหนดให้  $\begin{bmatrix} 1&2\\3&4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} w&x\\y&z \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 1&2\\3&4\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1&1\\1&2\end{bmatrix}=-2\begin{bmatrix} 1&3\\2&1 \end{bmatrix}$
  จงหาค่า $\begin{bmatrix} w&x\\y&z \end{bmatrix}$

 ให้ $A=\begin{bmatrix} 1&2\\3&4 \end{bmatrix}, C=\begin{bmatrix} 1&1\\1&2\end{bmatrix}$ และ $D=\begin{bmatrix} 1&3\\2&1 \end{bmatrix}$

เราเขียนโจทย์ให้อยู่ในรูปของสมการได้ดังนี้ $$AX+AC=-2D$$
ดึงตัวร่วม $A$ ออกทางซ้ายจะได้
$$A(X+C)=-2D$$
นำ $A^{-1}$ คูณทางซ้ายทั้งสองข้างของสมการจะได้
$$\begin{eqnarray}X+C&=&A^{-1}(-2)D\\
&=&(-2)A^{-1}D
\end{eqnarray}
$$
ลบทั้งสองข้างของสมการด้วย $C$ จะได้
$$X=(-2)A^{-1}D-C$$
เนื่อง จาก $A^{-1}=\begin{bmatrix} 1&2\\3&4 \end{bmatrix}^{-1}=-\frac{1}{2}\begin{bmatrix} 4&-2\\-3&1 \end{bmatrix}$ เมื่อแทนค่าตัวแปรจะได้
$$\begin{eqnarray}
\begin{bmatrix} w&x\\y&z \end{bmatrix}&=&(-2)(-\frac{1}{2})\begin{bmatrix} 4&-2\\-3&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1&3\\2&1 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 1&1\\1&2\end{bmatrix}\\
&=&\begin{bmatrix} 4&-2\\-3&1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1&3\\2&1 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 1&1\\1&2\end{bmatrix}\\
&=&\begin{bmatrix} 0&10\\-1&-8 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 1&1\\1&2\end{bmatrix}\\
&=&\begin{bmatrix}-1&9\\-2&-10 \end{bmatrix}\\
\end{eqnarray}$$

$\begin{bmatrix} w&x\\y&z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-1&9\\-2&-10 \end{bmatrix}$

 

จากตัวอย่างนี้มีการดึงตัวร่วมของเมทริกซ์ซึ่ง ถ้าเมทริกซ์ที่เป็นตัวร่วมคูณทางซ้าย ก็ต้องดึงออกมาทางซ้ายเท่านั้น   และ ถ้าเมทริกซ์ที่เป็นตัวร่วมคูณทางขวา ก็ต้องดึงออกมาทางขวาเท่านั้นเนื่องจากเมทริกซ์ไม่มีคุณสมบัติการสลับที่การคูณ ดังตัวอย่าง
$$\begin{bmatrix} 1&2\\3&4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} w&x\\y&z \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 1&2\\3&4\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1&1\\1&2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1&2\\3&4 \end{bmatrix}\left(\begin{bmatrix} w&x\\y&z \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 1&1\\1&2\end{bmatrix}\right)$$
แต่
$$\begin{bmatrix} 1&2\\3&4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} w&x\\y&z \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 1&2\\3&4\end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1&1\\1&2\end{bmatrix}\neq\left(\begin{bmatrix} w&x\\y&z \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 1&1\\1&2\end{bmatrix}\right)\begin{bmatrix} 1&2\\3&4 \end{bmatrix}$$

คำคล้าย: 
  • การแก้สมการเมทริกซ์
  • Solving Matrix Equation