การเท่ากันของเมทริกซ์
เมทริกซ์ A และ B เท่ากันก็ต่อเมื่อ
- A และ B มีมิติเท่ากัน
- สมาชิกในตำแหน่งเดียวกันมีค่าเท่ากัน
หรือเขียนสั้น ๆ ได้ว่า ถ้า A=[aij]m×n และ B=[bij]m×n
A=B ก็ต่อเมื่อ aij=bij ทุกค่า i และ j
ตัวอย่างการเท่ากันของเมทริกซ์
ให้ A=[1234],B=[x232z]
A=B ก็ต่อเมื่อ x=1 และ z=2
ให้ A,B,C,D และ E เป็นเมทริกซ์ที่มีขนาดเหมาะสม และ ให้ c เป็นค่าคงที่ เราจะได้
- ถ้า A=B แล้ว A+C=B+C
- ถ้า A=B แล้ว A−C=B−C
- ถ้า A=B แล้ว cA=cB
- ถ้า A=B แล้ว AD=BD
- ถ้า A=B แล้ว EA=EB
กำหนดให้ [wxyz]+[1234]=[7658] จงหาค่า [wxyz]
เราต้องการกำจัดเมทริกซ์ [1234] เราจึงลบทั้งสองข้างของสมการด้วยเมทริกซ์ [1234]
[wxyz]+[1234]−[1234]=[7658]−[1234]
ดังนั้นเราจะได้
[wxyz]=[7658]−[1234]=[6424]
[wxyz]=[6424]
กำหนดให้ 2[wxyz]+[−357−6]=[−1−130] จงหาค่า [wxyz]
ดังนั้น
2[wxyz]=[−1−130]−[−357−6]=[2−6−46]
นำ 2 หารทั้งสองข้างของสมการจะได้
[wxyz]=12[2−6−46]=[1−3−23]
[wxyz]=[1−3−23]
เนื่อง จาก [1234]−1=−12[4−2−31] เมื่อนำมาคูณทั้งสองข้างของสมการจะได้
[1234]−1[1234][wxyz]=[1234]−1[2−113]
จะได้ว่า
[wxyz]=[1234]−1[2−113]=−12[4−2−31]−1[2−113]=−12[6−10−56]=[−3552−3]
[wxyz]=[−3552−3]
กำหนดให้ 3[1234][wxyz]+5[1−102]=2[2315] จงหาค่า [wxyz]
ให้ A=[1234],X=[wxyz],B=[1−102],C=[2315]
เราเขียนโจทย์ให้อยู่ในรูปของสมการได้ดังนี้ 3AX+5B=2C
นำ −5B บวกทั้งสองข้างของสมการจะได้
3AX=2C−5B
นำ A−1 คูณทางซ้ายทั้งสองข้างของสมการจะได้
3X=A−1(2C−5B)
หาร 3 ทั้งสองข้างของสมการจะได้
X=13A−1(2C−5B)
เนื่อง จาก A−1=[1234]−1=−12[4−2−31] และเมื่อแทนค่าตัวแปรเราได้
[wxyz]=13(−12)[4−2−31](2[2315]−5[1−102])=13(−12)[4−2−31][−11120]=(−16)[−8445−33]=[86−446−56336]
[wxyz]=[43−223−56112]
ดังในตัวอย่างเราทำการแก้สมการเมทริกซ์ก่อนแล้วค่อยแทนค่าหาคำตอบทีหลัง ซึ่งจะหาคำตอบได้เร็วกว่า
กำหนดให้ [1234][wxyz]+[1234][1112]=−2[1321]
จงหาค่า [wxyz]
ให้ A=[1234],C=[1112] และ D=[1321]
เราเขียนโจทย์ให้อยู่ในรูปของสมการได้ดังนี้ AX+AC=−2D
ดึงตัวร่วม A ออกทางซ้ายจะได้
A(X+C)=−2D
นำ A−1 คูณทางซ้ายทั้งสองข้างของสมการจะได้
X+C=A−1(−2)D=(−2)A−1D
ลบทั้งสองข้างของสมการด้วย C จะได้
X=(−2)A−1D−C
เนื่อง จาก A−1=[1234]−1=−12[4−2−31] เมื่อแทนค่าตัวแปรจะได้
[wxyz]=(−2)(−12)[4−2−31][1321]−[1112]=[4−2−31][1321]−[1112]=[010−1−8]−[1112]=[−19−2−10]
[wxyz]=[−19−2−10]
จากตัวอย่างนี้มีการดึงตัวร่วมของเมทริกซ์ซึ่ง ถ้าเมทริกซ์ที่เป็นตัวร่วมคูณทางซ้าย ก็ต้องดึงออกมาทางซ้ายเท่านั้น และ ถ้าเมทริกซ์ที่เป็นตัวร่วมคูณทางขวา ก็ต้องดึงออกมาทางขวาเท่านั้นเนื่องจากเมทริกซ์ไม่มีคุณสมบัติการสลับที่การคูณ ดังตัวอย่าง
[1234][wxyz]+[1234][1112]=[1234]([wxyz]+[1112])
แต่
[1234][wxyz]+[1234][1112]≠([wxyz]+[1112])[1234]