การหาค่าคงตัวจากการอินทิเกรต (Solving for Constant of Function in Indefinite Integral)


การหาค่าคงตัวจากการหาปริพันธ์ไม่จำกัดเขต

 

ในการหาปริพันธ์ไม่จำกัดเขตของฟังก์ชัน จะเห็นว่าคำตอบที่ได้มี $c$ ซึ่งเป็นค่าคงตัวใดๆ ด้วยเสมอ เราไม่อาจทราบได้ว่า $c$ จะมีค่าเท่าใด นอกเสียจากโจทย์ได้มการกำหนดเงื่อนไขบางอย่างของฟังก์ชันมาให้ ดังตัวอย่างต่อไปนี้

 

ตัวอย่างการหาค่าคงตัวจากการหาปริพันธ์ไม่จำกัดเขต

ตัวอย่างที่ 1

กำหนดให้ $f'(x)=3x^2 - 4x - 2$ และ $f(2)=8$ จงหา $f(x)$

\begin{eqnarray*}
f(x) &=& \int (3x^2-4x-2) dx\\
&=& x^3-2x^2-2x+c \;\;\;\;\;\; \text{เมื่อ $c$ เป็นค่าคงตัว}
\end{eqnarray*}

จาก $f(2)=8$ จะได้

\begin{eqnarray*}
f(2) &=& 2^3-2(2)^2-2(2)+c\\
8 &=& \cancel{8}-\cancel{8}-4+c\\
8 &=& -4+c\\
12 &=& c
\end{eqnarray*}

 ดังนั้น $f(x)=x^3-2x^2-2x+12$


 

ตัวอย่างที่ 2

กำหนดให้ $f'(x)=x^2-\sqrt{x}$ และ $f(1)=0$ จงหาค่าของ $f(0)

 \begin{eqnarray*}
f(x) &=& \int(x^2-\sqrt{x})dx\\
&=& \int(x^2-x^\frac{1}{2})dx\\
&=& \frac{x^3}{3}-\frac{x^\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}}+c \;\;\;\;\;\; \text{เมื่อ $c$ เป็นค่าคงตัว}\\
&=& \frac{x^3}{3}-\frac{2}{3}x^\frac{3}{2}+c
\end{eqnarray*}

จาก $f(1)=0$ จะได้

\begin{eqnarray*}
f(1) &=& \frac{1^3}{3}-\frac{2}{3}(1)^\frac{3}{2}+c\\
0 &=& \frac{1}{3}-\frac{2}{3}+c\\
0 &=& -\frac{1}{3}+c\\
\frac{1}{3} &=& c
\end{eqnarray*}

ดังนั้น $\displaystyle f(x)=\frac{x^3}{3}-\frac{2}{3}x^\frac{3}{2}+\frac{1}{3}$

จะได้ $\displaystyle f(0)=\frac{0^3}{3}-\frac{2}{3}(0)^\frac{3}{2}+\frac{1}{3}=\frac{1}{3}$

$\displaystyle f(0)=\frac{1}{3}$


 

ตัวอย่างที่ 3

 กำหนดให้ $\displaystyle f'(x)=x^3+\frac{6}{x^4}$ และ $\displaystyle f(2)=\frac{3}{4}$ จงหา $f(1)$

\begin{eqnarray*}
f(x) &=& \int \left( x^3+\frac{6}{x^4} \right) dx\\
&=& \int (x^3+6x^{-4}) dx\\
&=& \frac{x^4}{4} + \frac{6x^{-3}}{-3} + c \;\;\;\;\;\; \text{เมื่อ $c$ เป็นค่าคงตัว}\\
&=& \frac{x^4}{4} - \frac{6}{3x^3} + c
\end{eqnarray*}

จาก $\displaystyle f(2)=\frac{3}{4}$

\begin{eqnarray*}
f(2) &=& \frac{2^4}{4} - \frac{6}{3(2)^3} + c\\
\frac{3}{4} &=& \frac{16}{4} - \frac{6}{24} + c\\
\frac{3}{4} &=& 4 - \frac{1}{4} + c\\
\frac{3}{4}+\frac{1}{4}-4 &=& c\\
-3 &=& c
\end{eqnarray*}

ดังนั้น $\displaystyle f(x)=\frac{x^4}{4} - \frac{6}{3x^3} - 3$

จะได้ $\displaystyle f(1)=\frac{1^4}{4} - \frac{6}{3(1)^3} - 3=-\frac{19}{4}$

$\displaystyle f(1)=-\frac{19}{4}$

 

ตัวอย่างการหาปริพันธ์ไม่จำกัดเขตมากกว่า 1 ขั้นตอน

ตัวอย่างที่ 4

กำหนดให้ $f''(x)=18x-8$ โดยที่ $f'(1)=3$ และ $f(1)=7$ จงหาค่าของ $f(2)$

\begin{eqnarray*}
f'(x) &=& \int(18x-8)dx\\
&=& 18\left( \frac{x^2}{2} \right)-8x+c_{1} \;\;\;\;\;\; \text{เมื่อ $c_{1}$ เป็นค่าคงตัว}\\
&=& 9x^2-8x+c_{1}
\end{eqnarray*}

จาก $f'(1)=3$ จะได้

\begin{eqnarray*}
f'(1) &=& 9(1)^2-8(1)+c_{1}\\
3 &=& 9-8+c_{1}\\
2 &=& c_{1}
\end{eqnarray*}

ดังนั้น $f'(x)=9x^2-8x+2$

\begin{eqnarray*}
f(x) &=& \int(9x^2-8x+2)dx\\
&=& 9 \left( \frac{x^3}{3} \right) - 8 \left( \frac{x^2}{2} \right) + 2x + c_{2} \;\;\;\;\;\; \text{เมื่อ $c_{2}$ เป็นค่าคงตัว}\\
&=& 3x^3-4x^2+2x+c_{2}
\end{eqnarray*}

จาก $f(1)=7$ จะได้

\begin{eqnarray*}
f(1) &=& 3(1)^3-4(1)^2+2(1)+c_{2}\\
7 &=& 3-4+2+c_{2}\\
7 &=& 1+c_{2}\\
6 &=& c_{2}
\end{eqnarray*}

ดังนั้น $f(x)=3x^3-4x^2+2x+6$

จะได้ $f(2)=3(2)^3-4(2)^2+2(2)+6=18$

$f(2)=18$ 


 

ตัวอย่างที่ 5

กำหนดให้ $\displaystyle f''(x)= x^2+\frac{4}{x^3}$ โดยที่ $\displaystyle f'(1)=\frac{1}{3}$ และ $\displaystyle f(2)=\frac{4}{3}$ จงหาค่าของ $f(-2)$

\begin{eqnarray*}
f'(x) &=& \int \left( x^2+\frac{4}{x^3} \right) dx\\
&=& \int (x^2+4x^{-3}) dx\\
&=& \frac{x^3}{3}+4\left(\frac{x^-2}{-2}\right)+c_1 \;\;\;\;\;\; \text{เมื่อ $c_{1}$ เป็นค่าคงตัว}\\
&=& \frac{x^3}{3}-\frac{2}{x^2}+c_1
\end{eqnarray*}

จาก $\displaystyle f'(1)=\frac{1}{3}$ จะได้

\begin{eqnarray*}
f'(1) &=& \frac{1^3}{3}-\frac{2}{1^2}+c_1\\
\frac{1}{3} &=& \frac{1}{3}-2+c_1\\
2 &=& c_1
\end{eqnarray*}

จะได้ $\displaystyle f'(x)=\frac{x^3}{3}-\frac{2}{x^2}+2$

\begin{eqnarray*}
f(x) &=& \int\left(\frac{x^3}{3}-\frac{2}{x^2}+2\right)dx\\
&=& \int\left(\frac{x^3}{3}-2x^{-2}+2\right)dx\\
&=& \frac{x^4}{(3)(4)}-2\left(\frac{x^{-1}}{-1}\right)+2x+c_2 \;\;\;\;\;\; \text{เมื่อ $c_{2}$ เป็นค่าคงตัว}\\
&=& \frac{x^4}{12}+\frac{2}{x}+2x+c_2
\end{eqnarray*}

จาก $\displaystyle f(2)=\frac{4}{3}$ จะได้

\begin{eqnarray*}
f(2) &=& \frac{2^4}{12}+\frac{2}{2}+2(2)+c_2\\
\frac{4}{3} &=& \frac{16}{12}+1+4+c_2\\
\frac{4}{3} &=& \frac{4}{3}+5+c_2\\
-5 &=& c_2
\end{eqnarray*}

จะได้ $\displaystyle f(x)=\frac{x^4}{12}+\frac{2}{x}+2x-5$

ดังนั้น $\displaystyle f(-2)=\frac{(-2)^4}{12}+\frac{2}{-2}+2(-2)-5=-\frac{34}{3}$

$\displaystyle f(-2)=-\frac{34}{3}$ 

 

คำคล้าย: 
  • การหาค่าคงตัวจากการอินทิเกรต
  • การหาค่าคงตัวจากปริพันธ์ไม่จำกัดเขต
  • Solving for Constant of Function in Indefinite Integral