$$\begin{eqnarray*} f(x) &=& \int (3x^2-4x-2) dx\\ &=& x^3-2x^2-2x+c \;\;\;\;\;\; \text{เมื่อ $c$ เป็นค่าคงตัว} \end{eqnarray*}$$

จาก $f(2)=8$ จะได้

$$\begin{eqnarray*} f(2) &=& 2^3-2(2)^2-2(2)+c\\ 8 &=& \require{cancel}\cancel{8}-\cancel{8}-4+c\\ 8 &=& -4+c\\ 12 &=& c \end{eqnarray*}$$

 

$$\begin{eqnarray*} f(x) &=& \int(x^2-\sqrt{x})dx\\ &=& \int(x^2-x^\frac{1}{2})dx\\ &=& \frac{x^3}{3}-\frac{x^\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}}+c \;\;\;\;\;\; \text{เมื่อ $c$ เป็นค่าคงตัว}\\ &=& \frac{x^3}{3}-\frac{2}{3}x^\frac{3}{2}+c \end{eqnarray*}$$

จาก $f(1)=0$ จะได้

$$\begin{eqnarray*} f(1) &=& \frac{1^3}{3}-\frac{2}{3}(1)^\frac{3}{2}+c\\ 0 &=& \frac{1}{3}-\frac{2}{3}+c\\ 0 &=& -\frac{1}{3}+c\\ \frac{1}{3} &=& c \end{eqnarray*}$$

ดังนั้น $\displaystyle f(x)=\frac{x^3}{3}-\frac{2}{3}x^\frac{3}{2}+\frac{1}{3}$

จะได้ $\displaystyle f(0)=\frac{0^3}{3}-\frac{2}{3}(0)^\frac{3}{2}+\frac{1}{3}=\frac{1}{3}$

$$\begin{eqnarray*} f(x) &=& \int \left( x^3+\frac{6}{x^4} \right) dx\\ &=& \int (x^3+6x^{-4}) dx\\ &=& \frac{x^4}{4} + \frac{6x^{-3}}{-3} + c \;\;\;\;\;\; \text{เมื่อ $c$ เป็นค่าคงตัว}\\ &=& \frac{x^4}{4} - \frac{6}{3x^3} + c \end{eqnarray*}$$

จาก $\displaystyle f(2)=\frac{3}{4}$

$$\begin{eqnarray*} f(2) &=& \frac{2^4}{4} - \frac{6}{3(2)^3} + c\\ \frac{3}{4} &=& \frac{16}{4} - \frac{6}{24} + c\\ \frac{3}{4} &=& 4 - \frac{1}{4} + c\\ \frac{3}{4}+\frac{1}{4}-4 &=& c\\ -3 &=& c \end{eqnarray*}$$

ดังนั้น $\displaystyle f(x)=\frac{x^4}{4} - \frac{6}{3x^3} - 3$

จะได้ $\displaystyle f(1)=\frac{1^4}{4} - \frac{6}{3(1)^3} - 3=-\frac{19}{4}$

$$\begin{eqnarray*} f'(x) &=& \int(18x-8)dx\\ &=& 18\left( \frac{x^2}{2} \right)-8x+c_{1} \;\;\;\;\;\; \text{เมื่อ $c_{1}$ เป็นค่าคงตัว}\\ &=& 9x^2-8x+c_{1} \end{eqnarray*}$$

จาก $f'(1)=3$ จะได้

$$\begin{eqnarray*} f'(1) &=& 9(1)^2-8(1)+c_{1}\\ 3 &=& 9-8+c_{1}\\ 2 &=& c_{1} \end{eqnarray*}$$

ดังนั้น $f'(x)=9x^2-8x+2$

$$\begin{eqnarray*} f(x) &=& \int(9x^2-8x+2)dx\\ &=& 9 \left( \frac{x^3}{3} \right) - 8 \left( \frac{x^2}{2} \right) + 2x + c_{2} \;\;\;\;\;\; \text{เมื่อ $c_{2}$ เป็นค่าคงตัว}\\ &=& 3x^3-4x^2+2x+c_{2} \end{eqnarray*}$$

จาก $f(1)=7$ จะได้

$$\begin{eqnarray*} f(1) &=& 3(1)^3-4(1)^2+2(1)+c_{2}\\ 7 &=& 3-4+2+c_{2}\\ 7 &=& 1+c_{2}\\ 6 &=& c_{2} \end{eqnarray*}$$

ดังนั้น $f(x)=3x^3-4x^2+2x+6$

จะได้ $f(2)=3(2)^3-4(2)^2+2(2)+6=18$

$$\begin{eqnarray*} f'(x) &=& \int \left( x^2+\frac{4}{x^3} \right) dx\\ &=& \int (x^2+4x^{-3}) dx\\ &=& \frac{x^3}{3}+4\left(\frac{x^-2}{-2}\right)+c_1 \;\;\;\;\;\; \text{เมื่อ $c_{1}$ เป็นค่าคงตัว}\\ &=& \frac{x^3}{3}-\frac{2}{x^2}+c_1 \end{eqnarray*}$$

จาก $\displaystyle f'(1)=\frac{1}{3}$ จะได้

$$\begin{eqnarray*} f'(1) &=& \frac{1^3}{3}-\frac{2}{1^2}+c_1\\ \frac{1}{3} &=& \frac{1}{3}-2+c_1\\ 2 &=& c_1 \end{eqnarray*}$$

จะได้ $\displaystyle f'(x)=\frac{x^3}{3}-\frac{2}{x^2}+2$

$$\begin{eqnarray*} f(x) &=& \int\left(\frac{x^3}{3}-\frac{2}{x^2}+2\right)dx\\ &=& \int\left(\frac{x^3}{3}-2x^{-2}+2\right)dx\\ &=& \frac{x^4}{(3)(4)}-2\left(\frac{x^{-1}}{-1}\right)+2x+c_2 \;\;\;\;\;\; \text{เมื่อ $c_{2}$ เป็นค่าคงตัว}\\ &=& \frac{x^4}{12}+\frac{2}{x}+2x+c_2 \end{eqnarray*}$$

จาก $\displaystyle f(2)=\frac{4}{3}$ จะได้

$$\begin{eqnarray*} f(2) &=& \frac{2^4}{12}+\frac{2}{2}+2(2)+c_2\\ \frac{4}{3} &=& \frac{16}{12}+1+4+c_2\\ \frac{4}{3} &=& \frac{4}{3}+5+c_2\\ -5 &=& c_2 \end{eqnarray*}$$

จะได้ $\displaystyle f(x)=\frac{x^4}{12}+\frac{2}{x}+2x-5$

ดังนั้น $\displaystyle f(-2)=\frac{(-2)^4}{12}+\frac{2}{-2}+2(-2)-5=-\frac{34}{3}$