การแก้สมการเอกซ์โพเนนเชียล (Solving Exponential Equality)


การแก้สมการเอกซ์โพเนนเชียล

สมการเอกซ์โพเนนเชียลจะมีหลักการแก้ที่สำคัญดังนี้

1. ทำฐานให้เท่ากัน

หลักการคือเมื่อทำฐานทั้งสองข้างได้เท่ากันแล้ว จะได้ว่าเลขชี้กำลังของทั้งสองข้างต้องเท่ากันด้วย

ตัวอย่างการแก้สมการเอกซ์โพเนนเชียลโดยการทำฐานให้เท่ากัน

$2^x = 16$

ทำฐานทั้งสองข้างให้เท่ากัน นั่นคือฐาน $2$ ดังนี้

\begin{eqnarray*}
2^x &=& 16\\
2^x &=& 2^4
\end{eqnarray*}

เมื่อฐานทั้งสองข้างเท่ากัน แสดงว่าเลขชี้กำลังต้องเท่ากันด้วย จะได้

\begin{eqnarray*}
x &=& 4
\end{eqnarray*}

$x = 4$


$\displaystyle 3^x = \frac{1}{27}$

ทำให้เป็นฐาน $3$ เท่ากัน

\begin{eqnarray*}
3^x &=& \frac{1}{27}\\
3^x &=& \frac{1}{3^3}\\
3^x &=& 3^{-3}
\end{eqnarray*}

จะได้ว่า $$x = -3$$

$x = -3$


$8 (2^{9x}) = 64^{x+3}$

ทำฐานให้เป็น $2$ เหมือนกัน

\begin{eqnarray*}
8 (2^{9x}) &=& 64^{x+3}\\
2^3 \cdot 2^{9x} &=& (2^6)^{x+3}\\
2^{3 + 9x} &=& 2^{6(x+3)}
\end{eqnarray*}

จะได้ว่า

\begin{eqnarray*}
3 + 9x &=& 6(x+3)\\
3 + 9x &=& 6x + 18\\
3x &=& 15\\
x &=& 5
\end{eqnarray*}

$x = 5$

 ข้อนี้อาจทำให้ฐานเป็น $8$ ก็ได้เช่นกัน คือเปลี่ยน $$2^{9x} = (2^3)^{3x} = 8^{3x}$$ และ $$64^{x+3} = (8^2)^{x+3}$$

2. ทำเลขชี้กำลังให้เท่ากัน

เมื่อเลขชี้กำลังทั้งสองข้างเท่ากัน แต่ฐานกลับไม่เท่ากัน เช่น $$a^x = b^x$$ จะได้ว่าเป็นจริงเพียงกรณีเดียวคือ $x = 0$ เพราะ $$a^0 = 1 = b^0$$

ตัวอย่างการแก้สมการเอกซ์โพเนนเชียลโดยการทำเลขชี้กำลังให้เท่ากัน

$3^{x-5} = 7^{10 - 2x}$

จะเห็นว่า ฐานเป็นจำนวนเฉพาะไม่สามารถจัดรูปได้แล้ว จึงจัดเลขชี้กำลัง

\begin{eqnarray*}
3^{x-5} &=& 7^{10 - 2x}\\
3^{x-5} &=& 7^{-2(x - 5)}\\
3^{x-5} &=& (7^{-2})^{x-5}\\
3^{x-5} &=& \left( \frac{1}{49} \right)^{x-5}
\end{eqnarray*}

ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
x - 5 &=& 0\\
x &=& 5
\end{eqnarray*}

$x = 5$

3. จัดให้อยู่ในรูปสมการพหุนามกำลังสอง

เราจะทำให้อยู่ในรูปสมการพหุนามกำลังสอง เพื่อแยกตัวประกอบหรือใช้สูตร $\displaystyle x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

ตัวอย่างการแก้สมการเอกซ์โพเนนเชียลโดยการทำให้อยู่ในรูปสมการพหุนามกำลังสอง

$2^{2x} + 4 \cdot 2^x - 5 = 0$

จะเห็นว่า $2^{2x}$ สามารถจัดให้อยู๋ในรูป $(2^x)^2$ ได้ ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
(2^x)^2 + 4 \cdot 2^x - 5 &=& 0\\
(2^x + 5) (2^x - 1) &=& 0\\
2^x &=& -5 , 1
\end{eqnarray*}

แต่ $2^x$ ติดลบไม่ได้ ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
2^x &=& 1\\
x &=& 0
\end{eqnarray*}

$x = 0$

เทคนิคการแยกตัวประกอบคือถ้าใครไม่ถนัดแยกในรูป $2^x$ ก็สามารถกำหนดสัญลักษณ์ เช่นให้ $2^x = A$ จะได้สมการ

$A^2 + 4 A - 5 = 0$

ซึ่งสามารถแยกตัวประกอบได้ง่ายกว่า แต่ข้อควรระวังคือเมื่อแก้หา $A$ ได้แล้ว ยังไม่ใช่คำตอบ ต้องแทนค่า $A$ ด้วย $2^x$ กลับไป แล้วหา $x$ อีกครั้ง


$3^{2x+3} - 55 = 28 (3^x - 2)$

ข้อนี้เราเห็นว่ามี $3^{2x}$ และ $3^x$ อยู่ จึงจัดรูปโดยการแยกเลขชี้กำลังดังนี้

\begin{eqnarray*}
3^{2x} \cdot 3^3 - 55 &=& 28 \cdot 3^x - 56\\
27 \cdot (3^x)^2 - 28 \cdot 3^x + 1 &=& 0\\
(27 \cdot 3^x -1)(3^x - 1) &=& 0\\
3^x &=& \frac{1}{27} , 1
\end{eqnarray*}

จาก $\displaystyle 3^x = \frac{1}{27}$ จะได้

\begin{eqnarray*}
3^x &=& \frac{1}{3^3}\\
3^x &=& 3^{-3}\\
x &=& -3
\end{eqnarray*}

จาก $3^x = 1$ จะได้

\begin{eqnarray*}
x &=& 0
\end{eqnarray*}

$x = -3$ หรือ $x = 0$

4. ใช้การ take log

จะใช้วิธีนี้เมื่อไม่สามารถจัดทั้งฐานและเลขชี้กำลังให้เท่ากันได้เลย แต่วิธีนี้จำเป็นต้องรู้ค่า $\log$ ด้วย

ตัวอย่างการแก้สมการเอกซ์โพเนนเชียลโดยการ take log

$3^x = 7^{x+2}$

จะเห็นว่า เราไม่สามารถจัดฐานให้เท่ากันได้ และไม่สามารถจัดเลขชี้กำลังให้เท่ากันได้เช่นกัน

จึงทำการ take log ทั้งสองข้าง เพื่อให้ $x$ ลงมาอยู่ด้านล่าง

\begin{eqnarray*}
\log 3^x &=& \log 7^{x+2}\\
x \log 3 &=& (x+2) \log 7\\
(\log 3)x &=& (\log 7) x + 2 \log 7\\
-2 \log 7 &=& (\log 7 - \log 3) x
\end{eqnarray*}

แทนค่า $\log 3 = 0.4771$ และ $\log 7 = 0.8451$

\begin{eqnarray*}
-2 (0.8451) &=& (0.8451 - 0.4771) x\\
-1.6902 &=& 0.3680 x\\
-4.5929 &=& x
\end{eqnarray*}

$x = -4.5929$

ค่า $\log$ เราหาได้จากการเปิดตารางลอการิทึม หรือการใช้เครื่องคำนวณเช่นเครื่องคิดเลขวิทยาศาสตร์ เป็นต้น

ในกรณีของการสอบ ถ้าต้องใช้โจทย์จะกำหนดมาให้ หรือไม่ก็ให้เราตอบในรูปติด $\log$

คำคล้าย: 
  • การแก้สมการเอกซ์โพเนนเชียล
  • การแก้สมการเลขยกกำลัง
  • Solving Exponential Equality