การแก้สมการและอสมการติดค่าสัมบูรณ์โดยการยกกำลังสองทั้งสองข้าง (Solving by Square Absolute Value Involve Eqaulity and Inequality)


การแก้สมการค่าสัมบูรณ์โดยการยกกำลังสองทั้งสองข้าง

การยกกำลังสองทั้งสองข้างของสมการช่วยให้ค่าสัมบูรณ์หลุดออกได้ เพราะเมื่อยกกำลังสองแล้วจะได้ค่าเป็นบวกเสมอ ค่าสัมบูรณ์จึงไม่จำเป็นต้องใส่

แต่สิ่งสำคัญในการแก้สมการโดยวิธีนี้คือต้องตรวจคำตอบด้วย เพราะอาจเกิดกรณีเช่น

$|x| = -5$

ถ้าเรายกกำลังสองทั้งสองข้างจะได้

\begin{eqnarray*}
x^2 &=& (-5)^2\\
x^2 &=& 25\\
x &=& 5, -5
\end{eqnarray*}

ซึ่งเมื่อยกกำลังสองแล้วเราสามารถหาคำตอบได้ ทั้งที่สมการนี้เป็นไปไม่ได้แต่แรกอยู่แล้ว

ตัวอย่างการแก้สมการค่าสัมบูรณ์โดยการยกกำลังสองทั้งสองข้าง

$|x-2| = 3x + 2$

ยกกำลังสองทั้งสองข้าง จะได้

\begin{eqnarray*}
(x-2)^2 &=& (3x+2)^2\\
x^2 - 4x + 4 &=& 9x^2 + 12x + 4\\
0 &=& 8x^2 + 16x
\end{eqnarray*}

นำ $8$ หารตลอด จะได้

\begin{eqnarray*}
0 &=& x^2 + 2x\\
0 &=& x(x+2)\\
x &=& -2, 0
\end{eqnarray*}

ตรวจคำตอบจะเห็นว่า ถ้า $x = -2$ จะทำให้ $3x + 2 = 3(-2) + 2 = -4$

ซึ่งส่งผลให้ค่าสัมบูรณ์ $=$ ติดลบ จึงใช้ไม่ได้

$x = 0$

การแก้อสมการค่าสัมบูรณ์โดยการยกกำลังสองทั้งสองข้าง

มีหลักการเช่นเดียวกับการแก้สมการเลย

ตัวอย่างการแก้อสมการค่าสัมบูรณ์โดยการยกกำลังสองทั้งสองข้าง

$|5x-1| \leq |x+3|$

ยกกำลังสองทั้งสองข้าง จะได้

\begin{eqnarray*}
(5x-1)^2 &\leq& (x+3)^2\\
25x^2 - 10x + 1 &\leq& x^2 + 6x + 9\\
24x^2 - 16x - 8 &\leq& 0
\end{eqnarray*}

นำ $8$ หารตลอด จะได้

\begin{eqnarray*}
3x^2 - 2x - 1 &\leq& 0\\
(3x + 1)(x - 1) &\leq& 0
\end{eqnarray*}

ดังนั้น

$\displaystyle x \in \left[ -\frac{1}{3} , 1 \right]$

การยกกำลังสองทั้งสองข้างไม่นิยมใช้ในกรณีที่มีกำลังมากกว่า $1$ อยู่แล้ว เช่น หากมี $x^2$ แล้วเรายกกำลังสองจะกลายเป็น $x^4$ ซึ่งจะแก้สมการได้ยากขึ้น

คำคล้าย: 
  • การแก้สมการและอสมการติดค่าสัมบูรณ์โดยการยกกำลังสองทั้งสองข้าง
  • Solving by Square Absolute Value Involve Eqaulity and Inequality