การแก้สมการและอสมการติดค่าสัมบูรณ์โดยการแบ่งกรณี (Solving by Cases Absolute Value Involve Equality and Inequality)


การแก้สมการติดค่าสัมบูรณ์โดยการแบ่งกรณี

การแบ่งกรณีมักใช้เมื่อมีค่าสัมบูรณ์มากกว่า $1$ พจน์ และการยกกำลังสองเพื่อให้ค่าสัมบูรณ์หลุดนั้นมีความยุ่งยาก ซึ่งเราจะแบ่งกรณีเพื่อให้สามารถถอดค่าสัมบูรณ์ได้

แต่หลังจากแยกช่วงและหาคำตอบได้แล้ว เราต้องตรวจสอบด้วยว่าคำตอบที่ได้มาอยู่ในช่วงที่เราสนใจหรือไม่

ตัวอย่างการแก้สมการติดค่าสัมบูรณ์โดยการแบ่งกรณี

$|x - 4| + |x - 3| = 1$

วิธีพิจารณาช่วงที่จะแบ่ง ให้เราพิจารณาค่าสัมบูรณ์ทั้งสองพจน์

พิจารณา $|x-4|$ ถูกแบ่งช่วงด้วย $4$

จะเป็นบวกเมื่อ $x \geq 4$ สามารถถอดค่าสัมบูรณ์ได้เลย

จะเป็นลบเมื่อ $x < 4$ เมื่อถอดค่าสัมบูรณ์แล้วต้องเติมเครื่องหมายลบ

พิจารณา $|x-3|$ ถูกแบ่งช่วงด้วย $3$

จะเป็นบวกเมื่อ $x \geq 3$ สามารถถอดค่าสัมบูรณ์ได้เลย

จะเป็นลบเมื่อ $x < 3$ เมื่อถอดค่าสัมบูรณ์แล้วต้องเติมเครื่องหมายลบ

ดังนั้น เราจะแบ่งช่วงดังนี้

พิจารณาช่วงขวาสุด $x \geq 4$

ช่วงนี้จะได้ว่าทั้ง $x-3$ และ $x-4$ ไม่ติดลบ สามารถถอดค่าสัมบูรณ์ได้เลย ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
x - 4 + x - 3 &=& 1\\
2x - 7 &=& 1\\
2x &=& 8\\
x &=& 4
\end{eqnarray*}

ซึ่ง $x=4$ อยู่ในช่วงที่กำลังพิจารณา จึงเป็นคำตอบหนึ่งของสมการ

 พิจารณาช่วงกลาง $3 \leq x < 4$

ช่วงนี้จะเห็นว่า $x - 4$ นั้นมีค่าติดลบ เมื่อถอดค่าสัมบูรณ์จะต้องเติมเครื่องหมายลบ ส่วน $x-3$ ยังคงไม่ติดลบเหมือนเดิม ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
-(x-4) + x - 3 &=& 1\\
-x + 4 + x - 3 &=& 1\\
1 &=& 1
\end{eqnarray*}

ซึ่งเป็นจริงเสมอ จะได้ว่า $x \in R$

แต่ช่วงที่เราสนใจคือ $\left [ 3, 4 \right)$ ดังนั้น คำตอบที่ได้คือ $R \cap \left [ 3, 4 \right) = \left [ 3, 4 \right)$

พิจารณาช่วงซ้ายสุด $x < 3$

ช่วงนี้ ทั้ง $x - 4$ และ $x - 3$ ติดลบทั้งคู่ เมื่อถอดค่าสัมบูรณ์จึงต้องเติมเครื่องหมายลบ ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
-(x - 4) - (x - 3) &=& 1\\
-x + 4 - x + 3 &=& 1\\
-2x + 7 &=& 1\\
6 &=& 2x\\
3 &=& x
\end{eqnarray*}

แต่ $3$ ไม่อยู่ในช่วงที่เราสนใจ ดังนั้น ช่วงนี้จึงไม่มีคำตอบ

นำคำตอบทั้ง $3$ ช่วง มายูเนี่ยนกัน จะได้

\begin{eqnarray*}
\{ 4 \} \cup \left [ 3, 4 \right) \cup \emptyset &=& \left [ 3, 4 \right]
\end{eqnarray*}

$x \in \left [ 3, 4 \right]$

การแก้อสมการติดค่าสัมบูรณ์โดยการแบ่งกรณี

จะใช้หลักการเดียวกับการแก้สมการ

ตัวอย่างการแก้สมการติดค่าสัมบูรณ์โดยการแบ่งกรณี

$\displaystyle \frac{|3x - 2|}{|x+1| - 1} > 5$

เมื่อพิจารณาค่าสัมบูรณ์ทั้งสองพจน์ จะเห็นว่าถูกแบ่งช่วงที่ $\displaystyle x = \frac{2}{3}$ และ $x = -1$ เราจึงแบ่งช่วงดังนี้

พิจารณาช่วงขวาสุด $\displaystyle x \geq \frac{2}{3}$

ช่วงนี้สามารถถอดค่าสัมบูรณ์ได้เลยทั้งคู่ จะได้

\begin{eqnarray*}
\frac{3x - 2}{x + 1 - 1} &>& 5\\
\frac{3x - 2}{x} &>& 5
\end{eqnarray*}

เราสามารถนำ $x$ คูณตลอดได้เลย เพราะช่วงที่กำลังพิจารณานั้น $x$ ไม่ติดลบ

\begin{eqnarray*}
x \left( \frac{3x - 2}{x} \right) &>& 5x\\
3x - 2 &>& 5x\\
-2 &>& 2x\\
-1 &>& x
\end{eqnarray*}

เมื่อได้คำตอบแล้ว เราต้องนำไปพิจารณาเพื่อเลือกเฉพาะคำตอบที่อยู่ในช่วงที่สนใจ หรือเอาไปอินเตอร์เซกกันนั่นเอง

จะได้คำตอบของช่วงนี้คือ $\displaystyle (-\infty , -1) \cap \left[ \frac{2}{3} , \infty \right) = \emptyset$

พิจารณาช่วงกลาง $\displaystyle -1 \leq x < \frac{2}{3}$

ช่วงนี้ $3x - 2$ จะติดลบ เราจึงต้องเติมเครื่องหมายลบเมื่อถอดค่าสัมบูรณ์

\begin{eqnarray*}
\frac{-(3x - 2)}{x + 1 - 1} &>& 5\\
\frac{-3x + 2}{x} &>& 5
\end{eqnarray*}

ในช่วงนี้ $x$ มีทั้งค่าบวกและลบ เราจึงต้องคูณตลอดด้วย $x^2$

\begin{eqnarray*}
x^2 \left(\frac{-3x + 2}{x}\right) &>& 5x^2\\
x(-3x + 2) &>& 5x^2\\
-3x^2 + 2x &>& 5x^2\\
0 &>& 8x^2 - 2x
\end{eqnarray*}

นำ $2$ หารตลอด จะได้

\begin{eqnarray*}
4x^2 - x &<& 0\\
x(4x - 1) &<& 0
\end{eqnarray*}

ดังนั้น

นำไปอินเตอร์เซกกับช่วงที่กำลังพิจารณา

\begin{eqnarray*}
\left( 0, \frac{1}{4} \right) \cap \left[ -1, \frac{2}{3} \right) &=& \left( 0, \frac{1}{4} \right)
\end{eqnarray*}

พิจารณาช่วงซ้ายสุด $x < -1$

ช่วงนี้จะต้องเติมเครื่องหมายลบทั้ง $2$ พจน์ จะได้

\begin{eqnarray*}
\frac{-(3x - 2)}{-(x+1) - 1} &>& 5\\
\frac{-3x + 2}{-x - 1 - 1} &>& 5\\
\frac{-3x + 2}{-x - 2} &>& 5
\end{eqnarray*}

ดึง $-1$ ออกเพื่อตัดกัน

\begin{eqnarray*}
\frac{(-1)(3x - 2)}{(-1)(x+2)} &>& 5\\
\frac{3x - 2}{x + 2} &>& 5
\end{eqnarray*}

คูณตลอดด้วย $(x+2)^2$ จะได้

\begin{eqnarray*}
(x+2)^2 \left( \frac{3x - 2}{x+2} \right) &>& 5(x+2)^2\\
(x+2)(3x-2) &>& 5(x+2)^2\\
(x+2) (3x-2) - 5(x+2)^2 &>& 0
\end{eqnarray*}

ดึงตัวร่วม $(x+2)$ จะได้

\begin{eqnarray*}
(x+2)[3x-2 - 5(x+2)] &>& 0\\
(x+2)(3x - 2 - 5x - 10) &>& 0\\
(x+2)(-2x - 12) &>& 0
\end{eqnarray*}

นำ $-2$ หารตลอด กลับเครื่องหมาย

\begin{eqnarray*}
\frac{(x+2)(-2x-12)}{-2} &<& \frac{0}{-2}\\
(x+2)(x+6) &<& 0
\end{eqnarray*}

จะได้

ซึ่งอยู่ในช่วงที่กำลังพิจารณาทั้งหมด ดังนั้นจึงสามารถเป็นคำตอบของช่วงนี้ได้เลย

นำคำตอบทั้ง $3$ ช่วง มายูเนี่ยนกัน จะได้ $\displaystyle \emptyset \cup \left( 0, \frac{1}{4} \right) \cup (-6, -2) = (-6, -2) \cup \left( 0, \frac{1}{4} \right)$

$\displaystyle x \in (-6, -2) \cup \left( 0, \frac{1}{4} \right)$

คำคล้าย: 
  • การแก้สมการและอสมการติดค่าสัมบูรณ์โดยการแบ่งกรณี
  • Solving by Cases Absolute Value Involve Equality and Inequality