การแก้สมการและอสมการติดค่าสัมบูรณ์ (Solving Absolute Value Involve Equality and Inequality)


สมการค่าสัมบูรณ์

กำหนดให้ $a \geq 0$ จากสมการ $|x| = a$ จะได้ $x = \pm a$

ตัวอย่างการแก้สมการค่าสัมบูรณ์

$|x - 5| = 3$

เราจะได้ว่า $x - 5 = 3$ หรือ $x - 5 = -3$

นั่นคือ $x = 8$ หรือ $x = 2$

$x = 2, 8$


$|x - 2| = 3x + 2$

เราจะได้ว่า $x - 2 = 3x + 2$ หรือ $x - 2 = -(3x + 2)$

แก้ $x - 2 = 3x + 2$ จะได้

\begin{eqnarray*}
x - 2 &=& 3x + 2\\
-2 - 2 &=& 3x - x\\
-4 &=& 2x\\
-2 &=& x
\end{eqnarray*}

แต่ถ้า $x = -2$ แล้ว $3x + 2 = 3(-2) + 2 = -4$ ซึ่งจะได้ว่าค่าสัมบูรณ์ $=$ ติดลบ เป็นไปไม่ได้

ดังนั้น $-2$ ไม่ใช่คำตอบ

แก้ $x - 2 = -(3x + 2)$ จะได้

\begin{eqnarray*}
x - 2 &=& -3x - 2\\
x + 3x &=& -2 + 2\\
4x &=& 0\\
x &=& 0
\end{eqnarray*}

ถ้า $x = 0$ จะได้ว่า $3x + 2 = 3(0) + 2 = 2$ ซึ่งเป็นบวก สามารถใช้ได้

$x = 0$

สิ่งสำคัญในการแก้สมการค่าสัมบูรณ์กรณีที่มีข้างหนึ่งเป็นค่าสัมบูรณ์ อีกข้างหนึ่งไม่เป็นค่าสัมบูรณ์ คือต้องตรวจคำตอบให้ดีว่า ถ้านำค่า $x$ ที่หาได้ ไปแทนค่าในฝั่งที่ไม่เป็นค่าสัมบูรณ์แล้ว จะติดลบหรือไม่ ถ้าติดลบคำตอบนั้นก็ใช้ไม่ได้

สมการค่าสัมบูรณ์ซ้อน

เราจะใช้วิธีถอดค่าสัมบูรณ์ทีละชั้น

ตัวอย่างการแก้สมการค่าสัมบูรณ์ซ้อน

$||4x-1| + 3| = 10$

ถอดค่าสัมบูรณ์นอกสุด จะได้

\begin{eqnarray*}
|4x - 1| + 3 &=& 10\\
|4x - 1| &=& 7
\end{eqnarray*}
หรือ \begin{eqnarray*}
|4x - 1| + 3 &=& -10\\
|4x - 1| &=& -13
\end{eqnarray*}

แต่ $|4x - 1| = -13$ เป็นไปไม่ได้ จึงไม่ต้องแก้ต่อ

แก้ $|4x - 1| = 7$

ถอดค่าสัมบูรณ์ จะได้ $4x - 1 = 7$ หรือ $4x - 1 = -7$

\begin{eqnarray*}
4x - 1 &=& 7\\
4x &=& 8\\
x &=& 2
\end{eqnarray*}

หรือ

\begin{eqnarray*}
4x - 1 &=& -7\\
4x &=& -6\\
x &=& -\frac{6}{4}\\
x &=& -\frac{3}{2}
\end{eqnarray*}

$\displaystyle x = -\frac{3}{2} , 2$

อสมการค่าสัมบูรณ์

กำหนดให้ $a > 0$

ถ้า $|x| < a$ จะได้ $-a < x < a$

ถ้า $|x| \leq a$ จะได้ $-a \leq x \leq a$

ถ้า $|x| > a$ จะได้ $x > a$ หรือ $x < -a$

ถ้า $|x| \geq a$ จะได้ $x \geq a$ หรือ $x \leq -a$

ตัวอย่างการแก้อสมการค่าสัมบูรณ์

$|x - 2| < 7$

จะได้ว่า

\begin{gather*}
-7 &<& x - 2 &<& 7\\
-7 + 2 &<& x &<& 7 + 2\\
-5 &<& x &<& 9
\end{gather*}

$x \in (-5, 9)$


$\displaystyle \left| \frac{3 - 2x}{2 + x} \right| \geq 4$

จะได้ว่า $\displaystyle \frac{3 - 2x}{2 + x} \geq 4$ หรือ $\displaystyle \frac{3 - 2x}{2 + x} \leq -4$

แก้อสมการ $\displaystyle \frac{3 - 2x}{2 + x} \geq 4$

คูณ $(2+x)^2$ ทั้งสองข้าง

\begin{eqnarray*}
(2+x)^2 \left(\frac{3 - 2x}{2 + x}\right) &\geq& (2+x)^2 (4)\\
(2+x)(3-2x) &\geq& 4(2+x)^2\\
(2+x)(3-2x) - 4(2+x)^2 &\geq& 0
\end{eqnarray*}

ดึงตัวร่วม $2+x$ จะได้

\begin{eqnarray*}
(2+x) [(3-2x) - 4(2+x)] &\geq& 0\\
(2+x)(3 - 2x - 8 - 4x) &\geq& 0\\
(x+2)(-6x-5) &\geq& 0
\end{eqnarray*}

นำ $-1$ คูณทั้งสองข้างเพื่อคูณเข้าในวงเล็บ $(-6x-5)$

\begin{eqnarray*}
(-1)(x+2)(-6x-5) &\leq& (-1)(0)\\
(x+2)(6x+5) &\leq& 0
\end{eqnarray*}

จะได้

ที่จุด $x = -2$ เป็นจุดโปร่ง เพราะถ้า $x = -2$ จะทำให้ส่วนเป็น $0$

แก้อสมการ $\displaystyle \frac{3 - 2x}{2 + x} \leq -4$

คูณ $(2+x)^2$ ทั้งสองข้าง

\begin{eqnarray*}
(2+x)^2 \left(\frac{3 - 2x}{2 + x}\right) &\leq& (2+x)^2 (-4)\\
(2+x)(3-2x) &\leq& -4(2+x)^2\\
(2+x)(3-2x) + 4(2+x)^2 &\leq& 0
\end{eqnarray*}

ดึงตัวร่วม $2+x$ จะได้

\begin{eqnarray*}
(2+x)[(3-2x) + 4(2+x)] &\leq& 0\\
(2+x)(3 - 2x + 8 + 4x) &\leq& 0\\
(x+2)(2x+11) &\leq& 0
\end{eqnarray*}

จะได้

นำคำตอบทั้งสองมายูเนี่ยนกัน จะได้

$\displaystyle x \in \left[ -\frac{11}{2} , -2 \right) \cup \left( -2 , -\frac{5}{6} \right]$

คำคล้าย: 
  • การแก้สมการและอสมการติดค่าสัมบูรณ์
  • Solving Absolute Value Involve Equality and Inequality