ความชันของเส้นโค้ง (Slope of Curve)


ความชันของเส้นโค้ง

กำหนด $y$ กับ $x$ มีความสัมพันธ์คือ $y=f(x)$ หากเป็นความสัมพันธ์เชิงเส้น การหาความชันของเส้นตรง $y=f(x)$ นั้นเราได้ศึกษาในบทเรียนเรื่องเรขาคณิตวิเคราะห์มาแล้ว ตัวอย่าง เช่น ความสัมพันธ์ $y=2x-3$ วาดกราฟได้ดังรูป

ให้เราเลือกจุดสองจุดใดๆ ที่อยู่บนกราฟดังกล่าว จากภาพตัวอย่าง เลือกจุด $(2, 1)$ และจุด $(4, 5)$ สูตรการหาความชัน (slope) คือ

$\displaystyle m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

จากตัวอย่าง จะได้

\begin{eqnarray*}
m &=& \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\\
&=& \frac{5-1}{4-2}\\
&=& \frac{4}{2}\\
&=& 2
\end{eqnarray*}

ปริมาณต่างๆ ในโลกของเราย่อมไม่เพิ่มขึ้นหรือลดลงเป็นเส้นตรงเสมอไป หากความสัมพันธ์ $y=f(x)$ ไม่ใช่ความสัมพันธ์เชิงเส้น กล่าวคือ มีกราฟเป็นเส้นโค้ง ความชันแต่ละจุดบนเส้นโค้งย่อมมีค่าไม่เท่ากัน (สังเกตจากความเอียงของเส้นโค้ง) หากต้องการทราบความชันที่จุดใดจุดหนึ่งบนเส้นโค้งจะมีวิธีการหาอย่างไร

เรานิยามว่าความชันของเส้นโค้ง ณ จุดใดๆ คือ ความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ณ จุดนั้น การหาความชันของเส้นตรงต้องทราบพิกัดของจุดสองจุดใดๆ บนเส้นตรงนั้น แต่ในกรณีนี้เราทราบเพียงจุดเดียวเท่านั้นคือ จุดที่เราต้องการหาความชันของเส้นโค้ง แล้วเราจะหาความชันของเส้นสัมผัสดังกล่าวได้อย่างไร พิจารณากราฟของความสัมพันธ์ต่อไปนี้

จากภาพ กำหนดความสัมพันธ์ $y=f(x)$ เป็นเส้นโค้ง ต้องการหาความชันที่จุด $P(x,y)$ หมายความว่าต้องการหาความชันของเส้นตรง $L$ ซึ่งทราบพิกัดของจุด $P$ เพียงจุดเดียวทำให้ไม่สามารถหาความชันโดยตรงได้

พิจารณาเส้นตรง $L_1$ โดยให้ $Q(x_{1},y_{1})$ เป็นจุดใดๆ บนเส้นโค้ง $y=f(x)$ เราสามารถหาความชันของเส้นตรง $L_1$ ได้ ดังนี้

$\displaystyle m_1=\frac{y_1-y}{x_1-x}$

สมมุติให้ $x_1=x+h$ และ $y_1=f(x_1)=f(x+h)$ จะได้

\begin{eqnarray*}
m_1&=&\frac{y_1-y}{x_1-x}\\
&=&\frac{f(x+h)-f(x)}{x+h-x}\\
&=&\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
\end{eqnarray*}

ถ้าเราเลื่อนจุด $Q$ ให้เข้าใกล้จุด $P$ มากขึ้น เส้นตรง $L_1$ จะมีความชันที่ใกล้เคียงกับความชันของเส้นตรง $L$ ที่ต้องการมากขึ้น ซึ่งจุด $Q$ จะเข้าใกล้จุด $P$ มากขึ้นเมื่อค่า $h$ มีค่าน้อยลง หากเราต้องการให้จุด $Q$ เข้าใกล้จุด $P$ มากๆ จนเกือบจะเป็นจุดเดียวกัน ต้องให้ค่า $h$ มีค่าน้อยจนเข้าใกล้ $0$ การใช้นิยามของลิมิตทำให้สามารถหาความชันของเส้นตรง $L$ ได้ ดังนี้

$\displaystyle m=\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

บทนิยาม  ถ้าเส้นโค้งเป็นกราฟของ $y=f(x)$ เส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด $P(x,y)$ ใดๆ จะเป็นเส้นตรงที่ผ่านจุด $P$ และมีความชันเท่ากับ

$\displaystyle\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$  (ถ้าลิมิตหาค่าได้)

ความชันของเส้นโค้ง ณ จุด $P(x,y)$ หมายถึงความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ณ จุด $P$

 

ตัวอย่างการหาความชันของเส้นโค้ง ณ จุดใดๆ 

ตัวอย่างที่ 1

จงหาความชันของเส้นโค้ง ซึ่งเป็นกราฟของสมการ $y=x^2+2$ ที่จุดใดๆ

 ให้ $f(x)=x^2+2$ ความชันของเส้นโค้งที่จุด $(x,y)$ ใดๆ คือ

\begin{eqnarray*}
\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} &=& \lim_{h\rightarrow0}\frac{[(x+h)^2+2]-(x^2+2)}{h}\\
&=& \lim_{h\rightarrow0}\frac{(x^2+2xh+h^2)+\cancel{2}-x^2-\cancel{2}}{h}\\
&=& \lim_{h\rightarrow0}\frac{\cancel{x^2}+2xh+h^2-\cancel{x^2}}{h}\\
&=& \lim_{h\rightarrow0}\frac{\cancel{h}(2x+h)}{\cancel{h}}\\
&=& \lim_{h\rightarrow0}(2x+h)\\
&=& 2x
\end{eqnarray*}

ดังนั้น ความชันของเส้นโค้งที่จุดใดๆ คือ $2x$ 


ตัวอย่างที่ 2

จงหาความชันของเส้นโค้ง ซึ่งเป็นกราฟของสมการ $\displaystyle y=\frac{1}{x}$ ที่จุด $(3,4)$ 

ให้ $\displaystyle f(x)=\frac{1}{x}$ ความชันของเส้นโค้งที่จุด $(x,y)$ ใดๆ คือ

\begin{eqnarray*}
 \lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} &=& \lim_{h\rightarrow0}\frac{\frac{1}{x+h}-\frac{1}{x}}{h}\\
&=& \lim_{h\rightarrow0}\frac{1}{h} \cdot \left ( \frac{1}{x+h}-\frac{1}{x} \right )\\
&=& \lim_{h\rightarrow0}\frac{1}{h} \cdot \frac{x-(x+h)}{x(x+h)}\\
&=& \lim_{h\rightarrow0}\frac{1}{h} \cdot \frac{\cancel{x}-\cancel{x}-h}{x(x+h)}\\
&=& \lim_{h\rightarrow0}\frac{1}{\cancel{h}} \cdot \frac{-\cancel{h}}{x(x+h)}\\
&=& \lim_{h\rightarrow0}\frac{-1}{x(x+h)}\\
&=& -\frac{1}{x^2}
\end{eqnarray*}

ดังนั้น ความชันของเส้นโค้งที่จุดใดๆ คือ $\displaystyle -\frac{1}{x^2}$

เพราะฉะนั้น ความชันของเส้นโค้งที่จุด $(3,4)$ คือ $\displaystyle -\frac{1}{3^2} = -\frac{1}{9}$

การหาความชันของเส้นโค้งที่จุด $(3,4)$ เราสามารถหาค่า $\displaystyle \lim_{h\rightarrow0}\frac{f(3+h)-f(3)}{h}$ ได้เลย โดยไม่ต้องหาความชันของเส้นโค้งที่จุดใดๆ ก่อน

 

ตัวอย่างการหาสมการของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง

ตัวอย่างที่ 3

กำหนดสมการเส้นโค้ง $y=x^2+2$ จงหาสมการของเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด $(-1,1)$

ให้ $f(x)=x^2+2$ จาก ตัวอย่างที่ 1 เราทราบแล้วว่าความชันของเส้นโค้งที่จุดใดๆ คือ $2x$

ดังนั้น ความชันของเส้นโค้งที่จุด $(-1,1)$ เท่ากับ $2(-1)=-2$

จะได้ ความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด $(-1,1)$ คือ $-2$ เช่นกัน

สมการทั่วไปของเส้นตรง คือ $y=mx+c$

จะได้ สมการของเส้นสัมผัส คือ $y=-2x+c$               $\ldots (1)$

เส้นสัมผัสผ่านจุด $(-1,1)$ แทนค่า $x=-1$ และ $y=1$ ลงในสมการ $(1)$

\begin{eqnarray*}
y &=& -2x+c\\
1 &=& -2(-1)+c\\
1 &=& 2+c\\
1-2 &=& c\\
-1 &=& c
\end{eqnarray*}

แทนค่าในสมการ $(1)$ จะได้ $y=-2x-1$

 สมการของเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่จุด $(-1,1)$ คือ $y=-2x-1$

 

สำหรับคนที่เรียนเรื่องสูตรการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันต่างๆ แล้ว ความชัน ณ จุดใดๆ ของเส้นโค้ง $y=f(x)$ คือ $m=f'(x)$ 

คำคล้าย: 
  • ความชันของเส้นโค้ง
  • ความชันจากอนุพันธ์
  • ความชันของฟังก์ชันจากอนุพันธ์อันดับหนึ่ง
  • Slope of Curve