การดำเนินการเซต (Set Algebra)


การดำเนินการของเซต เวลาพูดถึงการดำเนินการของอะไรสักอย่างจะเป็นอะไรที่ยากแก่การเข้าใจ แต่จริง ๆ แล้ว การดำเนินการก็คือ การที่เอาของสองสิ่งมาทำอะไรกันสักอย่าง เช่น เวลาเรามีตัวเลขสองตัว แล้วเราเอามาบวกลบกัน การบวก หรือ ลบ นั้นถือเป็นการดำเนินการชนิดนึง

ดังนั้นการดำเนินการของเซตก็คือ การเอาเซตสองเซตมาทำอะไรกันสักอย่าง ทีนี้เราต้องดูว่าถ้าเรามีเซตสองเซต จะทำอะไรกันได้บ้าง

ยูเนียน (Union)

การยูเนียนระหว่างเซตสองเซต คือ การเอาเซตทั้งสองเซตมารวมกันเป็นเซตเดียว นั้นคือ การเอาสมาชิกมารวมกัน สัญลักษณ์ที่ใช้แทนคำว่ายูเนียน คือ $\cup$  เช่น

 $A=\{1,2,3,4,5\} \text{ และ } B=\{2,4,6,8,10\}$ จงหา $A\cup{B}$

เมื่อเอาสมาชิกมารวมกันไว้ในเซตเดียวกันจะได้

$$A\cup{B}=\left\{1,2,3,4,5,2,4,6,8,10\right\}$$

แต่เนื่องจากมีสมาชิกบางตัวซ้ำ เราจะไม่เขียนสมาชิกตัวเดียวกันซ้ำสองครั้ง เราจึงตัดสมาชิกที่เขียนลงไปแล้วออก และเรียงลำดับจากน้อยไปมากให้สวยงามดังนี้

$$A\cup{B}=\left\{1,2,3,4,5,6,8,10\right\}$$

ดังนั้น $A\cup{B}=\left\{1,2,3,4,5,6,8,10\right\}$ 

 ในการเขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิกเราจะไม่เขียนสมาชิกตัวเดียวกันซ้ำสองครั้ง

อินเตอร์เซกชัน (Intersection)

อินเตอร์เซกชัน หรือ การอินเตอร์เซกกันของเซตสองเซต คือ การหาสมาชิกส่วนที่ซ้ำกันจากสองเซตมาเขียนเป็นอีกเซตหนึ่ง สัญลักษณ์ที่ใช้แทนคำว่าอินเตอร์เซก คือ $\cap$

ตัวอย่างการคำนวณอินเตอร์เซกชั่นของสองเซต

$A=\{1,2,3,4,5\} \text{ และ } B=\{2,4,6,8,10\}$ จงหา $A\cap{B}$

สมาชิกที่ซ้ำกันของทั้งสองเซต คือ เลข $2$ และเลข $4$ ดังนั้น

$$A\cap{B} = \left\{2,4\right\}$$

นั่นคือ  $A\cap{B} = \left\{2,4\right\}$


$C=\left\{1,2\right\}$ และ $D=\left\{ 1,\left\{ 2\right\} ,\left\{ 1,2\right\} \right\} $ จงหา $C\cap{D}$

เซต $C$ มีสมาชิกสองตัว คือ เลข $1$ และเลข $2$ ในขณะที่เซต $D$ มีสมาชิกสามตัว คือเลข $1$, เซตของเลขสอง และ เซตของเลขหนึ่งกับเลขสอง ดังนั้นส่วนที่ซ้ำกันของ $C$ กับ $D$ คือ เลข $1$ ตัวเดียว ส่วนเลข $2$ นั้นไม่ได้เป็นสมาชิกของเซต $D$ ตัวที่เป็นสมาชิกของเซต $D$ คือ เซตของเลขสองซึ่งเป็นคนละตัวกัน ดังนั้น

$$C\cap{D}=\left\{1\right\}$$

จะได้ $C\cap{D}=\left\{1\right\}$

ผลต่างหรือการลบกันของเซต (Difference)

การหาผลต่างระหว่างเซตหรือจับเซตสองเซตมาลบกัน ให้คิดว่าเอาเซตข้างหน้าเป็นตัวตั้ง จากนั้นถ้าหากมีสมาชิกตัวไหนซ้ำกับในเซตด้านหลังให้ตัดออก สัญลักษณ์แทนการลบ คือ เครื่องหมายลบ $-$ ที่เราใช้กันในการลบเลขทั่วไป

ตัวอย่างการคำนวณผลต่างของเซต

$A=\{1,2,3,4,5\} \text{ และ } B=\{2,4,6,8,10\}$ จงหา $A-B$

เนื่องจากโจทย์สั่งให้หา $A-B$ จึงต้องเอา $A$ ซึ่งเป็นตัวหน้าเป็นตัวตั้ง

$$\{1,2,3,4,5\} $$

จากนั้นตัดสมาชิกที่ซ้ำกับในตัวหลัง หรือที่ซ้ำกับในเซต $B$ ออกไป

\begin{eqnarray*}
A-B & = & \left\{ 1,\cancel{2},3,\cancel{4},5\right\} \\
 & = & \left\{ 1,3,5\right\} 
\end{eqnarray*}

ดังนั้น $A-B= \left\{ 1,3,5\right\} $

คอมพลีเมนต์ (Complement)

คอมพลีเมนต์ของเซต เป็นการดำเนินการที่แตกต่างจากยูเนียน อินเตอร์เซกชันและการลบกันของเซต เพราะคอมพลีเมนต์เป็นการดำเนินการบนเซตเซตเดียว โดยวิธีการคำนวณคอมพลีเมนต์ของเซตหนึ่งๆ ทำได้โดยการเอายูนิเวอร์สหรือเอกภพสัมพัทธ์เป็นตัวตั้งแล้วลบออกด้วยเซตนั้นๆ หรือพูดง่ายๆ ว่าการหาคอมพลีเมนต์ คือ การหาสมาชิกทั้งหมดที่ไม่อยู่ในเซตนั้น (แต่อยู่ในยูนิเวอร์ส)  สัญลักษณ์ของคอมพลีเมนต์ มี $2$ รูปแบบ คือ การเขียนชื่อเซตนั้นๆ ตามด้วยเครื่องหมายไพรม์ $(')$ หรือ อาจจะเขียนชื่อเซตนั้นๆ แล้วเขียนยกกำลังด้วยตัว $c$ เช่น คอมพลีเมนต์ของเซต $A$ เขียนแทนด้วย $A'$ หรือ $A^c$ ก็ได้

ตัวอย่างการคำนวณคอมพลีเมนต์

ถ้ากำหนดเอกภพสัมพัทธ์เป็น $\mathscr{U}=\{0,1,2,3,\cdots,9\}$ และเซต $A=\{0,2,4,6,8\}$ กับ $B=\{2,3,5,7\}$ จงหา $A'$ และ $B^c$

พี่จะแสดงวิธีหา $A'$ โดยนำ $\mathscr{U}$ มาลบออกด้วย $A$ ตามนี้นะครับ

\begin{eqnarray*}
A' & = & \mathscr{U}-A\\
 & = & \left\{ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\right\} -\left\{ 0,2,4,6,8\right\} \\
 & = & \left\{ \cancel{0},1,\cancel{2},3,\cancel{4},5,\cancel{6},7,\cancel{8},9\right\} \\
 & = & \left\{ 1,3,5,7,9\right\} 
\end{eqnarray*}

ดังนั้น $A'=\left\{ 1,3,5,7,9\right\} $

ส่วน $B^c$ พี่จะใช้วิธีดูว่าสมาชิกใดบ้างที่ไม่อยู่ใน $B$ แต่ยังอยู่ในยูนิเวอร์ส
เนื่องจากสมาชิกใน $B$ ประกอบไปด้วยจำนวนเฉพาะบวกที่มีค่าไม่เกิน $10$ ดังนั้นใน $B^c$ จะต้องเป็นตัวเลขใน $\mathscr{U}$ ที่ไม่เป็นจำนวนเฉพาะซึ่งก็คือ

$$0,1,4,6,8\text{ และ } 9$$

ดังนั้น $B^c=\{0,1,4,6,8,9\}$

$A'=\left\{ 1,3,5,7,9\right\} $ และ $B^c=\{0,1,4,6,8,9\}$

คำคล้าย: 
  • การดำเนินการเซต
  • Set Algebra