ลำดับคงตัว
ลำดับคงตัว คือ ลำดับที่มีค่าเท่าเดิมตลอด เช่น
รูปทั่วไปของลำดับคงตัว คือ ค่าของตัวเลขในลำดับนั้นๆ นั่นคือ
ลำดับ จะมีรูปทั่วไปเป็น ทุก
ลำดับเลขคณิตและลำดับเรขาคณิต
น้องๆ สามารถอ่านรายละเอียดเพิ่มเติมเกี่ยวกับลำดับเลขคณิตและลำดับเรขาคณิตได้ที่แต่ละหัวข้อได้เลยครับ
ลำดับพหุนามดีกรีสอง
ลำดับพหุนามดีกรีสอง คือ ลำดับที่มีรูปทั่วไปเป็นพหุนามในรูป เช่น ซึ่งมี พจน์แรกเป็น
วิธีการสังเกตุลำดับพหุนาม คือ เมื่อหาผลต่างของสองพจน์ติดกันไปสองชั้นแล้วชั้นที่สองจะมีค่าเท่ากันทุกชั้น
จะเห็นว่าผลต่างในชั้นที่สองมีค่าเท่ากันและเท่ากับ ทำให้เราทราบว่าเป็นลำดับพหุนาม และจำนวนชั้นของผลต่างเป็นตัวบอกดีกรีของลำดับพหุนามนี้ ซึ่งในที่นี้ คือ ลำดับพหุนามที่มีดีกรีสอง นั่นคือ ลำดับนี้มีรูปทั่วไปเป็น
ทริก ก็คือ สัมประสิทธิ์ตัวแรกของลำดับพหุนามจะมีค่าเท่ากับครึ่งหนึ่งของค่าที่เท่ากันในผลต่างชั้นที่สอง
ในที่นี้ก็คือ ดังนั้นเราจึงสามารถทราบได้เลยว่าลำดับพหุนามนี้มีรูปทั่วไปเป็น
วิธีที่ง่ายที่สุดในการหารูปทั่วไปของลำดับพหุนามกำลังสอง คือ ใช้สูตร
เมื่อ
คือ ตัวแรกในลำดับ
คือ ผลต่างตัวแรกของชั้นแรก
คือ ผลต่างตัวแรกในชั้นที่สอง (ชั้นที่ผลต่างเท่ากัน)
ในกรณีข้างบน จะได้ว่า ดังนั้นจึงได้รูปทั่วไปเป็น
นอกจากการใช้สูตรนี้แล้ว กรณีที่จำสูตรไม่ได้ เราสามารถนำรูปทั่วไป มาแทนค่า ลงไปแล้วแก้ระบบสมการต่อไปนี้แทนก็ได้
หรือในข้อนี้ เมื่อแทนค่า และ ลงไปเราจะได้ระบบสมการเป็น
แก้ระบบสมการแล้วก็จะได้ และ เช่นเดียวกับวิธีการใช้สูตร
รูปทั่วไปของสูตรลำดับพหุนามดีกรี
ผลต่างเป็นลำดับเรขาคณิต
กรณีผลต่างชั้นแรกเป็นลำดับเรขาคณิต เช่น
มีผลต่างชั้นแรกเป็น ซึ่งเป็นลำดับเรขาคณิตที่มีอัตราส่วนร่วมเป็น จะได้ว่ารูปทั่วไปของอนุกรม คือ ลำดับเรขาคณิตบวกด้วยค่าคงตัว มีรูปทั่วไปเป็น
โดยที่ เป็นลำดับเรขาคณิตที่มี และ เป็นค่าคงตัว
จากนั้นเราสามารถนำข้อมูลที่เราทราบ คือ
มาแก้ระบบสมการหาค่าของ และ ซึ่งจะได้ และ
เราจึงได้รูปทั่วไปของลำดับ เป็น
กรณีผลต่างชั้นที่สองเป็นลำดับเรขาคณิต รูปทั่วไปของลำดับก็จะอยู่ในรูป เมื่อ และ เป็นค่าคงตัว และหลักการในการแก้หารูปทั่วไปก็ทำคล้ายกันกับวิธีด้านบน
แยกคิดรูปทั่วไปเป็นส่วน
กรณีที่ลำดับมีความซับซ้อนมา บางครั้งการแยกคิดเป็นส่วนๆ จะช่วยได้ดี เช่น การแบ่งคิดเศษกับส่วนแยกกัน
ซึ่งค่อนข้างชัดเจนว่าตัวเลขตรงเศษ เป็นลำดับของเลขคี่
ในขณะที่ลำดับที่ตัวส่วน เป็นลำดับเรขาคณิตมีรูปทั่วไปเป็น
นั่นคือ รูปทั่วไปของลำดับที่ให้มาตั้งแต่แรก คือ