การดำเนินการตามแถว (Row Operation)


การดำเนินการตามแถว

ให้ $A$ เป็นเมทริกซ์มีมิติ $m\times n$ เราเรียกกระบวนการต่อไปนี้ว่าเป็นการดำเนินการตามแถว

1. สลับแถวที่ $i$ กับแถวที่ $j$ (เขียนแทนด้วย $R_{ij}$)

2. คูณแถวที่ $i$ ด้วยค่าคงตัว $c\ne 0$ (เขียนแทนด้วย $cR_i$)

              3. เปลี่ยนแถวที่ $i$ โดยนำค่าคงตัว $c$ คูณกับแถวที่ $j$ แล้วบวกกับแถวที่ $i$ (เขียนแทนด้วย $R_i+cR_j$)   
              4. กระบวนการจะสิ้นสุดเมื่อเราได้เมทริกซ์ในรูปแบบ $\begin{bmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}$        

ตัวอย่างการดำเนินการตามแถวแบบ $R_{ij}$
ให้ $\begin{bmatrix} 0&1\\1&0\end{bmatrix}$

ดังนั้น

$$\begin{bmatrix} 0&1\\1&0\end{bmatrix}\overrightarrow{R_{12}}\begin{bmatrix} 1&0\\0&1\end{bmatrix}$$
เราใช้การดำเนินการตามแถวแบบ $R_{ij}$ เพื่อช่วยสลับตำแหน่งให้เมทริกซ์ มีรูปแบบ $\begin{bmatrix} 1&0\\0&1\end{bmatrix}$
 

 


 

ตัวอย่างการดำเนินการตามแถวแบบ $cR_i$ เมื่อ $c$ เป็นค่าคงตัวที่ไม่ใช่ศูนย์
ให้ $\begin{bmatrix}2&0\\0&\frac{-1}{3}\end{bmatrix}$

 ดังนั้น
$$\begin{eqnarray}\begin{bmatrix} 2&0\\0&\frac{-1}{3}\end{bmatrix}&\overrightarrow{\frac{1}{2}R_{1}}&&\begin{bmatrix} 1&0\\0&\frac{-1}{3}\end{bmatrix}&\\&\overrightarrow{-3R_{1}}&&\begin{bmatrix} 1&0\\0&1\end{bmatrix}&\end{eqnarray}$$

เรานิยมดำเนินการตามแถวแบบ $cR_i$ เพื่อทำให้ตำแหน่งที่เราต้องการมีค่าเท่ากับ $1$

 


 

ตัวอย่างการดำเนินการตามแถวแบบ $R_i+cR_j$
ให้ $\begin{bmatrix}1&0&0\\2&1&0\\3&2&1\end{bmatrix}$

ดังนั้น
\begin{eqnarray}\begin{bmatrix}1&0&0\\2&1&0\\3&2&1\end{bmatrix}&\overrightarrow{-2R_1+R_2}&&\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\3&2&1\end{bmatrix}&\\
&\overrightarrow{-3R_1+R_3}&&\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&2&1\end{bmatrix}&\\
&\overrightarrow{-2R_2+R_3}&&\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}& \end{eqnarray} 

วิธีนี้นิยมใช้เพื่อการกำจัดตัวเลข ในสองขั้นตอนแรก  เรากำจัดตัวเลข $2$ และ $3$ ในหลักที่ $1$ ส่วนในขั้นตอนที่สามเรากำจัดเลข $2$ หลักที่ $2$

การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยการดำเนินการตามแถว

ตัวอย่างการแปลงระบบสมการเชิงเส้นเป็นเมทริกซ์แต่งเติมมีมิติ $2\times 3$

ให้ระบบสมการเชิงเส้น
$$\begin{eqnarray}
x+3y&=&1\\
2x+y&=&2
\end{eqnarray}$$


เพื่อความสะดวกเราจะเขียนสมการ
\begin{eqnarray}
x+3y&=&1   &\text{เป็น}&   1x+3y&=&1   &\text{และ}&\\
2x+y&=&2   &\text{เป็น}&   2x+1y&=&2
\end{eqnarray}
จะได้

$$\begin{eqnarray}
1x+3y&=&1\\
2x+1y&=&2
\end{eqnarray}$$

เราสามารถแปลงระบบสมการเชิงเส้นเป็น เมทริกซ์แต่งเติม (aumented matrix) ของสมการโดยการนำสัมประสิทธิ์ของ $x, y$ และ ค่าอีกฝั่งของสมการ มาเขียนในรูปเมทริกซ์ $2\times 3$ ได้ดังนี้

\[A= \left[ \begin{array}{cc|c} 1&3&1\\
2&1&2
 \end{array} \right] \]

 


 

ตัวอย่างการแปลงระบบสมการเชิงเส้นเป็นเมทริกซ์แต่งเติมมีมิติ $3\times 4$

ให้ระบบสมการเชิงเส้น

$$\begin{eqnarray}
x+2y+z&=&1\\
2x+y+3z&=&2\\
x-y+z&=&3
\end{eqnarray}$$


เพื่อความสะดวกเราจะเขียนสมการ

\begin{eqnarray}
x+2y+z&=&1   &\text{เป็น}&   1x+2y+1z&=&1   &\text{และ}&\\
2x+y+3z&=&2   &\text{เป็น}&   2x+1y+3z&=&2   &\text{และ}&\\
x-y+z&=&3  &\text{เป็น}&   1x-1y+1z&=&3  
\end{eqnarray}
จะได้
$$\begin{eqnarray}
1x+2y+1z&=&1\\
2x+1y+3z&=&2\\
1x-1y+1z&=&3
\end{eqnarray}$$

เราสามารถแปลงระบบสมการเชิงเส้นเป็นเมทริกซ์แต่งเติมของสมการโดยการนำสัมประสิทธิ์ของ $x, y, z$ และ ค่าอีกฝั่งของสมการ มาเขียนในรูปเมทริกซ์ $3\times 4$ ได้ดังนี้

\[A= \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&2&1&1\\
2&1&3&2\\
1&-1&1&3\\ \end{array} \right] \]


เมื่อเรามีเมทริกซ์แต่งเติมเราจึงทำการดำเนินการตามแถวไปเรื่อย ๆ ดังในรูป

\begin{eqnarray} &\left[ \begin{array}{ccc|c}*&*&*&*\\*&*&*&*\\*&*&*&*\end{array} \right]&\overrightarrow{} \left[ \begin{array}{ccc|c}*&*&*&*\\0&*&*&*\\*&*&*&*\end{array} \right]\overrightarrow{} \left[ \begin{array}{ccc|c}*&*&*&*\\0&*&*&*\\0&*&*&*\end{array} \right]\overrightarrow{} \left[ \begin{array}{ccc|c}1&*&*&*\\0&*&*&*\\0&*&*&*\end{array} \right]\overrightarrow{}\\
&\left[ \begin{array}{ccc|c}1&0&*&*\\0&*&*&*\\0&*&*&*\end{array} \right]&\overrightarrow{}\left[ \begin{array}{ccc|c}1&0&*&*\\0&*&*&*\\0&0&*&*\end{array} \right]\overrightarrow{}\left[ \begin{array}{ccc|c}1&0&*&*\\0&1&*&*\\0&0&*&*\end{array} \right]\overrightarrow{}\left[ \begin{array}{ccc|c}1&0&0&*\\0&1&*&*\\0&0&*&*\end{array} \right]\overrightarrow{}\\
&\left[ \begin{array}{ccc|c}1&0&0&*\\0&1&0&*\\0&0&*&*\end{array} \right]&\overrightarrow{}\left[ \begin{array}{ccc|c}1&0&0&*\\0&1&0&*\\0&0&1&*\end{array} \right]
\end{eqnarray}

โดยที่ $*$ แทนตัวเลขที่ไม่ใช่ศูนย์

 


 

ตัวอย่างการแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยการดำเนินการตามแถว
ให้ระบบสมการเชิงเส้น
$$\begin{eqnarray}
x+1z&=&1\\
2x+y&=&2\\
x-y+z&=&3
\end{eqnarray}$$

 เพื่อความง่ายเราจะเขียนสมการ
\begin{eqnarray}
x+z&=&1   &\text{เป็น}&   1x+0y+1z&=&1   &\text{และ}&\\
2x+y&=&2   &\text{เป็น}&   2x+1y+0z&=&2   &\text{และ}&\\
x-y+z&=&3  &\text{เป็น}&   1x-1y+1z&=&3 
\end{eqnarray}
จะได้
$$\begin{eqnarray}
1x+0y+1z&=&1\\
2x+1y+0z&=&2\\
1x-1y+1z&=&3
\end{eqnarray}$$
และเมทริกซ์แต่งเติมของระบบสมการเชิงเส้น
\[A= \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&0&1&1\\
2&1&0&2\\
1&-1&1&3\\ \end{array} \right] \]
ดังนั้นเราจะได้ว่า
\begin{eqnarray}\left[ \begin{array}{ccc|c} 1&0&1&1\\2&1&0&2\\1&-1&1&3\\ \end{array} \right]&\overrightarrow{-R_{1}+R_3}&&\left[ \begin{array}{ccc|c} 1&0&1&1\\2&1&0&2\\0&-1&0&2\\ \end{array} \right]&\\
&\overrightarrow{-R_{3}}&&\left[ \begin{array}{ccc|c} 1&0&1&1\\2&1&0&2\\0&1&0&-2\\ \end{array} \right]&\\
&\overrightarrow{-R_{3}+R_2}&&\left[ \begin{array}{ccc|c} 1&0&1&1\\2&0&0&4\\0&1&0&-2\\ \end{array} \right]&\\
&\overrightarrow{-\frac{1}{2}{R_2}}&&\left[ \begin{array}{ccc|c} 1&0&1&1\\1&0&0&2\\0&1&0&-2\\ \end{array} \right]&\\
&\overrightarrow{-R_2+R_1}&&\left[ \begin{array}{ccc|c} 0&0&1&-1\\1&0&0&2\\0&1&0&-2\\ \end{array} \right]&\\
&\overrightarrow{R_{12}}&&\left[ \begin{array}{ccc|c} 1&0&0&2\\0&0&1&-1\\0&1&0&-2\\ \end{array} \right]\\
&\overrightarrow{R_{23}}&&\left[ \begin{array}{ccc|c} 1&0&0&2\\0&1&0&-2\\0&0&1&-1\\ \end{array} \right]&
\end{eqnarray}

 ดังนั้น $x=2, y=-2, z=-1$

 

ผลของการดำเนินการตามแถวกับดีเทอร์มิแนนท์

เราจะกล่าวถึงความสัมพันธ์ระหว่างการดำเนินการตามแถวและค่าของดิเทอร์มิแนนท์หลังจากการดำเนินการตามแถว

1. สลับสองแถวใด ๆ ของ $A$
   ให้เมทริกซ์ $B$ เป็นเมทริกซ์ที่เกิดจากการสลับสองแถวใด ๆ ของเมทริกซ์ $A$ ดังนั้น
$$\det B=-\det A$$

              2. คูณแถวที่ $i$ ด้วยค่าคงตัว $c≠0$
                  ให้เมทริกซ์ $B$ เป็นเมทริกซ์ที่เกิดจากการคูณแถวที่ $i$ ด้วยค่าคงตัว $c≠0$ ของเมทริกซ์ $A$ ดังนั้น
$$\det B=c\times \det A$$

              3. เปลี่ยนแถวที่ $i$ โดยนำค่าคงตัว $c$ คูณกับแถวที่ $j$ แล้วบวกกับแถวที่ $i$
                 ให้ เมทริกซ์ $B$ เป็นเมทริกซ์ที่เกิดจากการเปลี่ยนแถวที่ $i$ โดยนำค่าคงตัว $c$ คูณกับแถวที่ $j$
                 แล้วบวกกับแถวที่ $i$ ของเมทริกซ์ $A$ ดังนั้น
$$\det B=\det A$$

ให้ $A$ เป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐานมีมิติ $3\times 3$ ถ้า $A=\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i \end{bmatrix}$ เมื่อ $a, b, c, d, e, f, g, h, i$ และ $k\neq 0$ เป็นจำนวนจริง

 

$$A=\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i \end{bmatrix}\overrightarrow{R_{12}} \begin{bmatrix}d&e&f\\a&b&c\\g&h&i \end{bmatrix}=B$$

 ดังนั้น $\det B=-\det A$
$$A=\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i \end{bmatrix}\overrightarrow{kR_{2}} \begin{bmatrix}a&b&c\\kd&ke&kf\\g&h&i \end{bmatrix}=C$$
ดังนั้น $\det C=k\cdot \det A$
$$A=\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i \end{bmatrix}\overrightarrow{kR_{2}+R_3} \begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\kd+g&ke+h&kf+i \end{bmatrix}=D$$
ดังนั้น $\det D=\det A$

 

การหาอินเวอร์สการคูณโดยการดำเนินการตามแถว 

การดำเนินการตามแถวของเมทริกซ์ นอกจากสามารถใช้แก้สมการเชิงเส้นแล้ว ยังสามารถใช้หาอินเวอร์สการคูณของเมทริกซ์ได้เช่นกันดังต่อไปนี้

ให้ $A$ เป็นเมทริกซ์มิติ $n\times n$ โดยที่ $\det A\ne 0$

1. เขียน $A$ ในรูปของ

$$\begin{bmatrix}A|I_n\end{bmatrix}~~~~~~\text{(เขียนเฉพาะสมาชิกใน $A$ นะ)}$$

             2. ดำเนินการตามแถวกับเมทริกซ์ $\begin{bmatrix}A|I_n\end{bmatrix}$ จนกระทั่งได้

$$\begin{bmatrix}I_n|A^{-1}\end{bmatrix}$$

\begin{eqnarray} &\left[ \begin{array}{ccc|ccc}*&*&*&+&+&+\\*&*&*&+&+&+\\*&*&*&+&+&+\end{array} \right]&\overrightarrow{}&\left[ \begin{array}{ccc|ccc}*&*&*&+&+&+\\0&*&*&+&+&+\\*&*&*&+&+&+\end{array} \right]&\overrightarrow{}&\left[ \begin{array}{ccc|ccc}*&*&*&+&+&+\\0&*&*&+&+&+\\0&*&*&+&+&+\end{array} \right]&\overrightarrow{}\\
&\left[ \begin{array}{ccc|ccc}1&*&*&+&+&+\\0&*&*&+&+&+\\0&*&*&+&+&+\end{array} \right]&\overrightarrow{}&\left[ \begin{array}{ccc|ccc}1&0&*&+&+&+\\0&*&*&+&+&+\\0&*&*&+&+&+\end{array} \right]&\overrightarrow{}&\left[ \begin{array}{ccc|ccc}1&0&*&+&+&+\\0&*&*&+&+&+\\0&0&*&+&+&+\end{array} \right]&\overrightarrow{}\\
&\left[ \begin{array}{ccc|ccc}1&0&*&+&+&+\\0&1&*&+&+&+\\0&0&*&+&+&+\end{array} \right]&\overrightarrow{}&\left[ \begin{array}{ccc|ccc}1&0&0&+&+&+\\0&1&*&+&+&+\\0&0&*&+&+&+\end{array} \right]&\overrightarrow{}
&\left[ \begin{array}{ccc|ccc}1&0&0&+&+&+\\0&1&0&+&+&+\\0&0&*&+&+&+\end{array} \right]&\overrightarrow{}\\
&\left[ \begin{array}{ccc|ccc}1&0&0&+&+&+\\0&1&0&+&+&+\\0&0&1&+&+&+\end{array} \right]&\overrightarrow{}&\left[ \begin{array}{ccc|ccc}1&0&0&+&+&+\\0&1&0&+&+&+\\0&0&1&+&+&+\end{array} \right]&=&\left[ \begin{array}{ccc|ccc}&&&&&\\&I_3&&&A^{-1}&\\&&&&&\end{array} \right]
\end{eqnarray} 

โดยที่ $*$ แทนตัวเลขที่ไม่ใช่ศูนย์

 

ตัวอย่างการหาอินเวอร์สการคูณโดยการดำเนินการตามแถวของเมทริกซ์มิติ $2\times 2$

ให้ $A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4 \end{bmatrix}$

 ดังนั้น
$$\begin{eqnarray}
\begin{bmatrix}A|I_2 \end{bmatrix}&=&&\left[ \begin{array}{cc|cc} 1&2&1&0\\3&4&0&1\\ \end{array} \right]&\\
&\overrightarrow{-3R_1+R_2}&&\left[ \begin{array}{cc|cc} 1&2&1&0\\0&-2&-3&1\\ \end{array} \right]&\\
&\overrightarrow{R_2+R_1}&&\left[ \begin{array}{cc|cc} 1&0&-2&1\\0&-2&-3&1\\ \end{array} \right]&\\
&\overrightarrow{R_2+R_1}&&\left[ \begin{array}{cc|cc} 1&0&-2&1\\0&1&\frac{3}{2}&\frac{-1}{2}\\ \end{array} \right]&\\
&=&&\begin{bmatrix}I_2|A^{-1} \end{bmatrix}&
\end{eqnarray}$$

 ดังนั้น $A^{-1}=\begin{bmatrix}-2&1\\\frac{3}{2}&\frac{-1}{2} \end{bmatrix}$

 


 

ตัวอย่างการหาอินเวอร์สการคูณโดยการดำเนินการตามแถวของเมทริกซ์มิติ $3\times 3$
ให้ $A=\begin{bmatrix}1&0&1\\2&1&0\\1&-1&1 \end{bmatrix}$

 ดังนั้น
$$\begin{eqnarray}
\begin{bmatrix}A|I_3 \end{bmatrix}&=&&\left[ \begin{array}{ccc|ccc} 1&0&1&1&0&0\\ 2&1&0&0&1&0\\1&-1&1&0&0&1\\\end{array} \right]&\\
&\overrightarrow{-R_1+R_3}&&\left[ \begin{array}{ccc|ccc} 1&0&1&1&0&0\\ 2&1&0&0&1&0\\0&-1&0&-1&0&1\\\end{array} \right]&\\
&\overrightarrow{-R_3+R_2}&&\left[ \begin{array}{ccc|ccc} 1&0&1&1&0&0\\ 2&0&0&-1&1&1\\0&-1&0&-1&0&1\\\end{array} \right]&\\
&\overrightarrow{\frac{1}{2}R_2}&&\left[ \begin{array}{ccc|ccc} 1&0&1&1&0&0\\ 1&0&0&\frac{-1}{2}&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\0&-1&0&-1&0&1\\\end{array} \right]&\\
&\overrightarrow{-R_3}&&\left[ \begin{array}{ccc|ccc} 1&0&1&1&0&0\\ 1&0&0&\frac{-1}{2}&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\0&1&0&1&0&-1\\\end{array} \right]&\\
&\overrightarrow{-R_2+R_1}&&\left[ \begin{array}{ccc|ccc} 0&0&1&\frac{3}{2}&\frac{-1}{2}&\frac{-1}{2}\\ 1&0&0&\frac{-1}{2}&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\0&1&0&1&0&-1\\\end{array} \right]&\\
&\overrightarrow{R_{12}}&&\left[ \begin{array}{ccc|ccc}  1&0&0&\frac{-1}{2}&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\0&0&1&\frac{3}{2}&\frac{-1}{2}&\frac{-1}{2}\\0&1&0&1&0&-1\\\end{array} \right]&\\
&\overrightarrow{R_{23}}&&\left[ \begin{array}{ccc|ccc}  1&0&0&\frac{-1}{2}&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\0&1&0&1&0&-1\\0&0&1&\frac{3}{2}&\frac{-1}{2}&\frac{-1}{2}\\\end{array} \right]&\\
&=&&\begin{bmatrix}I_3|A^{-1} \end{bmatrix}&
\end{eqnarray}$$

ดังนั้น $A^{-1}=\begin{bmatrix}\frac{-1}{2}&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\1&0&-1\\\frac{3}{2}&\frac{-1}{2}&\frac{-1}{2}\end{bmatrix}$


 

 

 

 

คำคล้าย: 
  • การดำเนินการตามแถว
  • Row Operation