ดังนั้น

 ดังนั้น
$$\begin{eqnarray}\begin{bmatrix} 2&0\\0&\frac{-1}{3}\end{bmatrix}&\overrightarrow{\frac{1}{2}R_{1}}&&\begin{bmatrix} 1&0\\0&\frac{-1}{3}\end{bmatrix}&\\&\overrightarrow{-3R_{1}}&&\begin{bmatrix} 1&0\\0&1\end{bmatrix}&\end{eqnarray}$$

ดังนั้น
\begin{eqnarray}\begin{bmatrix}1&0&0\\2&1&0\\3&2&1\end{bmatrix}&\overrightarrow{-2R_1+R_2}&&\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\3&2&1\end{bmatrix}&\\
&\overrightarrow{-3R_1+R_3}&&\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&2&1\end{bmatrix}&\\
&\overrightarrow{-2R_2+R_3}&&\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}& \end{eqnarray} 

เพื่อความสะดวกเราจะเขียนสมการ
\begin{eqnarray}
x+3y&=&1   &\text{เป็น}&   1x+3y&=&1   &\text{และ}&\\
2x+y&=&2   &\text{เป็น}&   2x+1y&=&2
\end{eqnarray}
จะได้

$$\begin{eqnarray}
1x+3y&=&1\\
2x+1y&=&2
\end{eqnarray}$$

เราสามารถแปลงระบบสมการเชิงเส้นเป็น เมทริกซ์แต่งเติม (aumented matrix) ของสมการโดยการนำสัมประสิทธิ์ของ $x, y$ และ ค่าอีกฝั่งของสมการ มาเขียนในรูปเมทริกซ์ $2\times 3$ ได้ดังนี้

\[A= \left[ \begin{array}{cc|c} 1&3&1\\
2&1&2
 \end{array} \right] \]

เพื่อความสะดวกเราจะเขียนสมการ

\begin{eqnarray}
x+2y+z&=&1   &\text{เป็น}&   1x+2y+1z&=&1   &\text{และ}&\\
2x+y+3z&=&2   &\text{เป็น}&   2x+1y+3z&=&2   &\text{และ}&\\
x-y+z&=&3  &\text{เป็น}&   1x-1y+1z&=&3  
\end{eqnarray}
จะได้
$$\begin{eqnarray}
1x+2y+1z&=&1\\
2x+1y+3z&=&2\\
1x-1y+1z&=&3
\end{eqnarray}$$

เราสามารถแปลงระบบสมการเชิงเส้นเป็นเมทริกซ์แต่งเติมของสมการโดยการนำสัมประสิทธิ์ของ $x, y, z$ และ ค่าอีกฝั่งของสมการ มาเขียนในรูปเมทริกซ์ $3\times 4$ ได้ดังนี้

\[A= \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&2&1&1\\
2&1&3&2\\
1&-1&1&3\\ \end{array} \right] \]

 เพื่อความง่ายเราจะเขียนสมการ
\begin{eqnarray}
x+z&=&1   &\text{เป็น}&   1x+0y+1z&=&1   &\text{และ}&\\
2x+y&=&2   &\text{เป็น}&   2x+1y+0z&=&2   &\text{และ}&\\
x-y+z&=&3  &\text{เป็น}&   1x-1y+1z&=&3 
\end{eqnarray}
จะได้
$$\begin{eqnarray}
1x+0y+1z&=&1\\
2x+1y+0z&=&2\\
1x-1y+1z&=&3
\end{eqnarray}$$
และเมทริกซ์แต่งเติมของระบบสมการเชิงเส้น
\[A= \left[ \begin{array}{ccc|c} 1&0&1&1\\
2&1&0&2\\
1&-1&1&3\\ \end{array} \right] \]
ดังนั้นเราจะได้ว่า
\begin{eqnarray}\left[ \begin{array}{ccc|c} 1&0&1&1\\2&1&0&2\\1&-1&1&3\\ \end{array} \right]&\overrightarrow{-R_{1}+R_3}&&\left[ \begin{array}{ccc|c} 1&0&1&1\\2&1&0&2\\0&-1&0&2\\ \end{array} \right]&\\
&\overrightarrow{-R_{3}}&&\left[ \begin{array}{ccc|c} 1&0&1&1\\2&1&0&2\\0&1&0&-2\\ \end{array} \right]&\\
&\overrightarrow{-R_{3}+R_2}&&\left[ \begin{array}{ccc|c} 1&0&1&1\\2&0&0&4\\0&1&0&-2\\ \end{array} \right]&\\
&\overrightarrow{-\frac{1}{2}{R_2}}&&\left[ \begin{array}{ccc|c} 1&0&1&1\\1&0&0&2\\0&1&0&-2\\ \end{array} \right]&\\
&\overrightarrow{-R_2+R_1}&&\left[ \begin{array}{ccc|c} 0&0&1&-1\\1&0&0&2\\0&1&0&-2\\ \end{array} \right]&\\
&\overrightarrow{R_{12}}&&\left[ \begin{array}{ccc|c} 1&0&0&2\\0&0&1&-1\\0&1&0&-2\\ \end{array} \right]\\
&\overrightarrow{R_{23}}&&\left[ \begin{array}{ccc|c} 1&0&0&2\\0&1&0&-2\\0&0&1&-1\\ \end{array} \right]&
\end{eqnarray}

$$A=\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i \end{bmatrix}\overrightarrow{R_{12}} \begin{bmatrix}d&e&f\\a&b&c\\g&h&i \end{bmatrix}=B$$

 ดังนั้น $\det B=-\det A$
$$A=\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i \end{bmatrix}\overrightarrow{kR_{2}} \begin{bmatrix}a&b&c\\kd&ke&kf\\g&h&i \end{bmatrix}=C$$
ดังนั้น $\det C=k\cdot \det A$
$$A=\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i \end{bmatrix}\overrightarrow{kR_{2}+R_3} \begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\kd+g&ke+h&kf+i \end{bmatrix}=D$$
ดังนั้น $\det D=\det A$

 ดังนั้น
$$\begin{eqnarray}
\begin{bmatrix}A|I_2 \end{bmatrix}&=&&\left[ \begin{array}{cc|cc} 1&2&1&0\\3&4&0&1\\ \end{array} \right]&\\
&\overrightarrow{-3R_1+R_2}&&\left[ \begin{array}{cc|cc} 1&2&1&0\\0&-2&-3&1\\ \end{array} \right]&\\
&\overrightarrow{R_2+R_1}&&\left[ \begin{array}{cc|cc} 1&0&-2&1\\0&-2&-3&1\\ \end{array} \right]&\\
&\overrightarrow{R_2+R_1}&&\left[ \begin{array}{cc|cc} 1&0&-2&1\\0&1&\frac{3}{2}&\frac{-1}{2}\\ \end{array} \right]&\\
&=&&\begin{bmatrix}I_2|A^{-1} \end{bmatrix}&
\end{eqnarray}$$

 ดังนั้น
$$\begin{eqnarray}
\begin{bmatrix}A|I_3 \end{bmatrix}&=&&\left[ \begin{array}{ccc|ccc} 1&0&1&1&0&0\\ 2&1&0&0&1&0\\1&-1&1&0&0&1\\\end{array} \right]&\\
&\overrightarrow{-R_1+R_3}&&\left[ \begin{array}{ccc|ccc} 1&0&1&1&0&0\\ 2&1&0&0&1&0\\0&-1&0&-1&0&1\\\end{array} \right]&\\
&\overrightarrow{-R_3+R_2}&&\left[ \begin{array}{ccc|ccc} 1&0&1&1&0&0\\ 2&0&0&-1&1&1\\0&-1&0&-1&0&1\\\end{array} \right]&\\
&\overrightarrow{\frac{1}{2}R_2}&&\left[ \begin{array}{ccc|ccc} 1&0&1&1&0&0\\ 1&0&0&\frac{-1}{2}&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\0&-1&0&-1&0&1\\\end{array} \right]&\\
&\overrightarrow{-R_3}&&\left[ \begin{array}{ccc|ccc} 1&0&1&1&0&0\\ 1&0&0&\frac{-1}{2}&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\0&1&0&1&0&-1\\\end{array} \right]&\\
&\overrightarrow{-R_2+R_1}&&\left[ \begin{array}{ccc|ccc} 0&0&1&\frac{3}{2}&\frac{-1}{2}&\frac{-1}{2}\\ 1&0&0&\frac{-1}{2}&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\0&1&0&1&0&-1\\\end{array} \right]&\\
&\overrightarrow{R_{12}}&&\left[ \begin{array}{ccc|ccc}  1&0&0&\frac{-1}{2}&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\0&0&1&\frac{3}{2}&\frac{-1}{2}&\frac{-1}{2}\\0&1&0&1&0&-1\\\end{array} \right]&\\
&\overrightarrow{R_{23}}&&\left[ \begin{array}{ccc|ccc}  1&0&0&\frac{-1}{2}&\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\0&1&0&1&0&-1\\0&0&1&\frac{3}{2}&\frac{-1}{2}&\frac{-1}{2}\\\end{array} \right]&\\
&=&&\begin{bmatrix}I_3|A^{-1} \end{bmatrix}&
\end{eqnarray}$$