ค่าสูงสุดสัมพัทธ์และค่าต่ำสุดสัมพัทธ์
จากหัวข้อที่แล้วเรื่องฟังก์ชันเพิ่มและฟังก์ชันลด พิจารณากราฟของฟังก์ชันต่อไปนี้
จากกราฟ และ เป็นจุดที่กราฟเกิดการเปลี่ยนลักษณะระหว่างฟังก์ชันเพิ่มกับฟังก์ชันลด ซึ่งเราเรียก และ ว่าเป็น จุดวกกลับ ของกราฟ จะสังเกตเห็นว่า เส้นสัมผัสของเส้นโค้งที่จุดวกกลับทั้งสองจุดมีลักษณะขนานกับแกน นั่นคือมีความชันเป็น หรืออาจกล่าวว่า และ
เราเรียกค่า และ ว่า ค่าวิกฤต (critical value) ของฟังก์ชัน ซึ่งนำไปสู่บทนิยามต่อไปนี้
ให้ เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้บนช่วง ค่าของ ซึ่งทำให้ เรียกว่า ค่าวิกฤต ของฟังก์ชัน
สำหรับจุดวกกลับนั้น เราเรียกอีกชื่อหนึ่งว่า จุดวิกฤต (critical point) เป็นจุดบนกราฟที่มีค่าของ เท่ากับค่าวิกฤต กล่าวคือ จุดวิกฤตของฟังก์ชัน จะมีพิกัดที่ สรุปเป็นบทนิยามคือ
บทนิยาม
ให้ เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้บนช่วง และมี เป็นค่าวิกฤตของฟังก์ชัน จะได้ เป็น จุดวิกฤต ของฟังก์ชัน
ตัวอย่างการหาค่าวิกฤตและจุดวิกฤต
กำหนดฟังก์ชัน จงหาจุดวิกฤตของฟังก์ชันนี้
จาก จะได้
ให้ เป็นค่าวิกฤตของฟังก์ชัน จะได้ว่า
ดังนั้น ค่าวิกฤตมีสองค่า คือ และ
จุดวิกฤตของฟังก์ชันคือ และ
สำหรับจุดวิกฤตของฟังก์ชัน มี 2 ลักษณะ คือเป็นจุดสูงสุดหรือจุดต่ำสุดของฟังก์ชันในช่วงใดช่วงหนึ่ง เราเรียก จุดสูงสุดสัมพัทธ์ และ จุดต่ำสุดสัมพัทธ์ สังเกตกราฟต่อไปนี้
ให้ กราฟมีจุด เป็นจุดวิกฤต จุด เป็นจุดที่อยู่ทางซ้ายมือของ และจุด เป็นจุดที่อยู่ทางขวามือของ จากรูป ถ้า เป็นจุดสูงสุดสัมพัทธ์แล้ว ความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ณ จุดทางซ้ายมือของ มีค่าเป็นบวก และความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ณ จุดทางขวามือของ มีค่าติดลบ
ในทำนองเดียวกัน หากจุด เป็นจุดต่ำสุดสัมพัทธ์ ความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ณ จุดทางซ้ายมือของ มีค่าติดลบ และความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ณ จุดทางขวามือของ มีค่าเป็นบวก
เราสามารถสรุปเป็นทฤษฎีบทในการตรวจสอบจุดวิกฤตว่ามีลักษณะเป็นอย่างไรได้ ดังนี้
ทฤษฎีบท
ให้ เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้บนช่วง และมี เป็นค่าวิกฤตของฟังก์ชัน สำหรับทุกๆ โดยที่
1. ถ้า และ แล้ว เป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์และ เป็นจุดสูงสุดสัมพัทธ์ของฟังก์ชัน
2. ถ้า และ แล้ว เป็นค่าต่ำสุดสัมพัทธ์และ เป็นจุดต่ำสุดสัมพัทธ์ของฟังก์ชัน
ตัวอย่างการหาจุดสูงสุดสัมพัทธ์และจุดต่ำสุดสัมพัทธ์
ตัวอย่างที่ 2
กำหนดฟังก์ชัน จงหาจุดสูงสุดสัมพัทธ์และจุดต่ำสุดสัมพัทธ์ของฟังก์ชันนี้
จาก ตัวอย่างที่ 1 เราได้ว่าจุดวิกฤตของฟังก์ชันมี 2 จุดคือ และ
- ตรวจสอบจุด
กำหนด และ ซึ่ง
ดังนั้น เป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์ และ เป็นจุดสูงสุดสัมพัทธ์
- ตรวจสอบจุด
กำหนด และ ซึ่ง
ดังนั้น เป็นค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ และ เป็นจุดต่ำสุดสัมพัทธ์
จุดสูงสุดสัมพัทธ์ของฟังก์ชันคือ จุดต่ำสุดสัมพัทธ์ของฟังก์ชันคือ
ตัวอย่างที่กล่าวมาเป็นวิธีการตรวจสอบจุดสูงสุดสัมพัทธ์และจุดต่ำสุดสัมพัทธ์วิธีที่ 1 ซึ่งอาจเสียเวลาเพราะต้องหาค่าของอนุพันธ์ถึง 2 จุด อีกวิธีหนึ่งที่สามารถใช้ตรวจสอบได้เช่นกันและสะดวกกว่าคือการใช้อนุพันธ์อันดับที่ 2 ตามทฤษฎีบทต่อไปนี้
ทฤษฎีบท
ให้ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนช่วง และมี เป็นค่าวิกฤตของฟังก์ชัน
1. ถ้า แล้ว เป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์และ เป็นจุดสูงสุดสัมพัทธ์ของฟังก์ชัน
2. ถ้า แล้ว เป็นค่าต่ำสุดสัมพัทธ์และ เป็นจุดต่ำสุดสัมพัทธ์ของฟังก์ชัน
สาเหตุที่ใช้อนุพันธ์อันดับที่สอง เพราะ หมายถึงความชัน และอนุพันธ์หมายถึงอัตราการเปลี่ยนแปลง ซึ่งอัตราการเปลี่ยนแปลงของความชันก็คือ หากมีค่าเป็นบวก แสดงว่าความชันของกราฟมีค่าเพิ่มขึ้นเรื่อยๆ กราฟมีลักษณะโค้งขึ้น จุดวิกฤตจึงเป็นจุดต่ำสุดสัมพัทธ์ และในทางตรงกันข้าม ถ้าอัตราการเปลี่ยนแปลงของความชันมีค่าติดลบ แสดงว่าความชันของกราฟมีค่าลดลง กราฟมีลักษณะโค้งลง จุดวิกฤตจึงเป็นจุดสูงสุดสัมพัทธ์นั่นเอง
ตัวอย่างการหาจุดสูงสุดสัมพัทธ์และจุดต่ำสุดสัมพัทธ์โดยการใช้อนุพันธ์อันดับที่สอง
ตัวอย่างที่ 3
กำหนดฟังก์ชัน จงหาจุดสูงสุดสัมพัทธ์และจุดต่ำสุดสัมพัทธ์ของฟังก์ชันนี้โดยการใช้อนุพันธ์อันดับที่สอง
จาก ตัวอย่างที่ 1 เราได้ว่าจุดวิกฤตของฟังก์ชันมี 2 จุดคือ และ
- ตรวจสอบจุด
แสดงว่า เป็นจุดสูงสุดสัมพัทธ์
- ตรวจสอบจุด
แสดงว่า เป็นจุดต่ำสุดสัมพัทธ์
จุดสูงสุดสัมพัทธ์ของฟังก์ชันคือ จุดต่ำสุดสัมพัทธ์ของฟังก์ชันคือ
การหาค่าสูงสุดสัมพัทธ์และค่าต่ำสุดสัมพัทธ์โดยใช้อนุพันธ์อันดับที่สอง หาก แล้ว เราไม่สามารถสรุปได้ว่าเป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์หรือค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ ต้องกลับไปใช้อนุพันธ์อันดับที่หนึ่งในการตรวจสอบแทน
สรุปหลักการหาจุดสูงสุดสัมพัทธ์และจุดต่ำสุดสัมพัทธ์
- หา
- หาค่าวิกฤตโดยการกำหนด แล้วแก้สมการหาค่า
- ตรวจสอบค่าวิกฤตที่ได้โดยการใช้อนุพันธ์อันดับที่สอง หา แล้วแทนค่า ลงไป หาก
แสดงว่า เป็นค่าต่ำสุดสัมพัทธ์
แสดงว่า เป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์
ไม่สามารถสรุปได้ ต้องตรวจสอบด้วยอนุพันธ์อันดับที่หนึ่ง
การตรวจสอบด้วยอนุพันธ์อันดับที่หนึ่ง คือ หาค่า และ โดยกำหนด เป็นเท่าไรก็ได้ที่ มักเลือกค่าที่หาได้ไม่ยาก เช่น ถ้า กำหนด และ หาก
และ แสดงว่า เป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์
และ แสดงว่า เป็นค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ - เราจะได้ เป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์หรือค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ของฟังก์ชัน หากต้องการจุดสูงสุดสัมพัทธ์หรือจุดต่ำสุดสัมพัทธ์ ให้ตอบในรูปของคู่อันดับ
ตัวอย่างการหาจุดสูงสุดสัมพัทธ์และจุดต่ำสุดสัมพัทธ์
ตัวอย่างที่ 4
กำหนดฟังก์ชัน จงหาจุดสูงสุดสัมพัทธ์และจุดต่ำสุดสัมพัทธ์ของฟังก์ชัน
จาก
จะได้
กำหนดให้ เป็นค่าวิกฤต หาค่าวิกฤต
ตรวจสอบค่าวิกฤตโดยใช้อนุพันธ์อันดับที่สอง
- ตรวจสอบ
แสดงว่า เป็นค่าสูงสุดสัมพัทธ์
- ตรวจสอบ
แสดงว่า เป็นค่าต่ำสุดสัมพัทธ์
จุดสูงสุดสัมพัทธ์ของฟังก์ชันคือ และจุดต่ำสุดสัมพัทธ์ของฟังก์ชันคือ
ตัวอย่างที่ 5
กำหนด ถ้า มีค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ของฟังก์ชันเท่ากับ แล้ว จงหา
จาก
จะได้
ให้ เป็นค่าวิกฤต หาค่าวิกฤต
ตรวจสอบค่าวิกฤตโดยใช้อนุพันธ์อันดับที่สอง
จะได้
แสดงว่า เป็นค่าต่ำสุดของฟังก์ชัน
ดังนั้น