ลำดับเวียนเกิดคืออะไร
ลำดับเวียนเกิด คือ ลำดับที่อาศัยพจน์ก่อนหน้าในการคำนวณ เช่น ลำดับฟิโบนักชีที่เกิดจากผลรวมของสองพจน์ก่อนหน้า โดยกำหนดให้ $a_1=0$, $a_2=1$ และ $a_n=a_{n-1}+a_{n- 2}$ สำหรับ $n=3,4,5,\cdots$ เราสามารถคำนวณพจน์ที่ $3,4,5,\cdots$ ได้ดังนี้
\begin{eqnarray*}
a_3 &=& a_2+a_1\\
&=& 1+0\\
&=& 1\\
a_4 &=& a_3+a_2\\
&=& 1+1\\
&=& 2\\
a_5 &=& a_4+a_3\\
&=& 2+1\\
&=& 3\\
a_6 &=& a_5+a_4\\
&=& 3+2\\
&=& 5
\end{eqnarray*}
เมื่อคำนวณไปเรื่อย ก็จะได้ลำดับที่มีพจน์แรกๆ ดังนี้
$$0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,\cdots$$
ตัวอย่างลำดับเวียนเกิด
| ชื่อ | สูตรลำดับวียนเกิด | พจน์แรกๆ |
|---|---|---|
| ลำดับฟิโบนักชี | $a_1=0,a_2=1,\quad a_n = a_{n-1} +a_{n-2}$ | $0,1,1,2,3,5,8,\cdots$ |
| ลำดับเลขคณิต | $a_1=a,\quad a_n = a_{n-1}+d$ | $a,a+d,a+2d,a+3d,\cdots$ |
| ลำดับเลขคณิต | $a_1=3,\quad a_n=a_{n-1} +4$ | $3,7,11,15,19,23,\cdots$ |
| $a_1=25,\quad a_{n+1}=n^2-a_n$ | $-21,-16,-9,0,17, 24,\cdots$ |
การหารูปทั่วไปที่ไม่ต้องใช้พจน์ก่อนหน้า
ปัญหาการหารูปทั่วไปที่ไม่ต้องอ้างถึงพจน์ก่อนหน้าจากลำดับเวียนเกิดนั้นไม่ได้เป็นเรื่องง่าย แต่มีขั้นตอนเบื้องต้นตามตัวอย่างนี้ครับ
ตัวอย่างการหารูปทั่วไปที่ไม่ต้องใช้พจน์ก่อนหน้า
ให้หารูปทั่วไปของลำดับที่กำหนดให้ $a_1=3$ และ $a_{n+1} = a_n +4$ สำหรับ $n=1,2,3,4,\cdots$
- เขียนพจน์แรกๆ โดยไม่ต้องคำนวณ เช่น
\begin{eqnarray*}
a_1 &=& 3\\
a_2 &=& 3+4\\
a_3 &=& 3+4+4\\
a_4 &=& 3+4+4+4\\
a_5 &=& 3+4+4+4+4\\
&\vdots
\end{eqnarray*} - สังเกตและหารูปทั่วไปของ $a_n$ จากพจน์แรกๆ ซึ่งสำหรับข้อนี้จะได้ $$a_n=3+\overbrace{\left(4+4+4+\cdots+4\right)}^{n-1\text{ ตัว}}$$ซึ่งจะได้
\begin{eqnarray*}
a_n &=& 3+ (n-1)\times 4\\
&=& 3+4n-4\\
&=& 4n-1
\end{eqnarray*}
รูปทั่วไปของลำดับนี้ คือ $a_n=4n-1$
ลำดับเวียนเกิดของลำดับเลขคณิตและลำดับเรขาคณิต
ลำดับเลขคณิตสามารถเขียนให้อยู่ในรูปลำดับเวียนเกิดได้ดังนี้
$$a_{n+1} = a_n+d$$
โดยมี $a_1$ เป็นเงื่อนไขเริ่มต้น และมี $d$ เป็นผลต่างร่วม
ทำนองเดียวกันลำดับเรขาคณิตก็สามารถเขียนให้อยู่ในรูปลำดับเวียนเกิดได้เช่นเดียวกัน โดยที่
$$a_{n+1} = a_n\times r$$
ซึ่งมี $a_1$ เป็นเงื่อนไขเริ่มต้น และมี $r$ เป็นอัตราส่วนร่วม
ตัวอย่างการเขียนลำดับเลขคณิตให้อยู่ในรูปลำดับเวียนเกิด
จงเขียนลำดับเลขคณิต $2,5,8,11,14,\cdots$ ให้อยู่ในรูปลำดับเวียนเกิด
เห็นได้ชัดว่าลำดับเลขคณิตนี้มีผลต่างร่วมเท่ากับ $d=5-2=3$ ดังนั้นจากสูตรด้านบน จะได้ว่า $a_1=2$ และ $a_{n+1} = a_n + 3$ สำหรับ $n=1,2,3,\cdots$
$a_1=2$, $a_{n+1}=a_n+3$ สำหรับ $n=1,2,3,\cdots$
ตัวอย่างการหารูปทั่วไปของลำดับเวียนเกิดที่เป็นลำดับเรขาคณิต
จงหารูปทั่วไปของลำดับเรขาคณิตที่มี $a_1=3$ และ $a_{n+1} = \frac{a_n}{3}$
จะเห็นว่า $\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac13$ ดังนั้นอัตราส่วนร่วมของลำดับเรขาคณิตนี้มีค่าเท่ากับ $r=\frac13$
แทนค่าลงในสูตรรูปทั่วไปของลำดับเลขคณิตจะได้
\begin{eqnarray*}
a_n &=& a_1\times r^{n-1}\\
&=& 6\times\left(\frac13\right)^{n-1}\\
& = & (2\times3)\times\left(\frac13\right)^{n-1}\\
& = & 2\times \left(\frac13\right)^{n-2}
\end{eqnarray*}
จะได้รูปทั่วไปเป็น $a_n = 2\times\left(\frac13\right)^{n-2}$