อัตราการเปลี่ยนแปลงและนิยามอนุพันธ์ (Rate of Change and Derivative Definition)


อนุพันธ์ของฟังก์ชัน

จากหัวข้อที่แล้ว ความชันของเส้นโค้ง $y=f(x)$ ที่จุด $(x,y)$ ใดๆ คือ $\displaystyle\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ ซึ่งเราเรียกค่าของลิมิตนี้ว่า อนุพันธ์ของฟังก์ชัน $f$ นิยามได้ดังนี้

บทนิยาม ถ้า $y=f(x)$ เป็นฟังก์ชันที่มีโดเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของจำนวนจริง และ $\displaystyle\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ หาค่าได้ แล้ว เรียกค่าของลิมิตนี้ว่า "อนุพันธ์ (derivative) ของฟังก์ชัน $f$ ที่ $x$" เขียนแทนด้วย $\displaystyle f'(x), \frac{dy}{dx}, y'$ หรือ $\displaystyle\frac{d}{dx}f(x)$

จากบทนิยาม จะได้ว่า $f^\prime(x)=\displaystyle\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

  • ถ้า $\displaystyle\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ หาค่าได้ จะกล่าวว่า ฟังก์ชัน $f$ มีอนุพันธ์ที่ $x$ หรือ ฟังก์ชัน $f$ หาอนุพันธ์ได้ที่ $x$
  • ถ้า $\displaystyle\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ หาค่าไม่ได้ จะกล่าวว่า ฟังก์ชัน $f$ ไม่มีอนุพันธ์ที่ $x$ หรือ ฟังก์ชัน $f$ หาอนุพันธ์ไม่ได้ที่ $x$

สัญลักษณ์ที่นิยมใช้แทนอนุพันธ์ของฟังก์ชัน $f$ ที่ $x$ นอกจาก $f'(x)$ คือ $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ นั้น อ่านว่า "ดีวายบายดีเอ็กซ์"

 

ตัวอย่างการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันโดยนิยาม

ตัวอย่างที่ 1

กำหนด $f(x) = 2x^2-3x+2$ จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน $f$ ที่ $x$

\begin{eqnarray*}
f'(x) &=& \lim_{h\rightarrow0}\frac{[2(x+h)^2-3(x+h)+2]-[2x^2-3x+2]}{h}\\
&=& \lim_{h\rightarrow0}\frac{2(x^2+2xh+h^2)-3x-3h+2-2x^2+3x-2}{h}\\
&=& \lim_{h\rightarrow0}\frac{\cancel{2x^2}+4xh+2h^2-\bcancel{3x}-3h+\cancel{2}-\cancel{2x^2}+\bcancel{3x}-\cancel{2}}{h}\\
&=& \lim_{h\rightarrow0}\frac{4xh+2h^2-3h}{h}\\
&=& \lim_{h\rightarrow0}\frac{\cancel{h}(4x+2h-3)}{\cancel{h}}\\
&=& 4x+2(0)-3\\
&=& 4x-3
\end{eqnarray*}

$f'(x)=4x-3$ 

สำหรับ $a$ ใดๆ ที่อยู่ในโดเมนของ $f$ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน $f$ ที่ $x=a$ คือ $f'(a)=\displaystyle\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ หรืออาจใช้สัญลักษณ์ $\frac{d}{dx}f(x)\mid_{x=a}$ แทน $f'(a)$ ซึ่งในการหาค่า $f'(a)$ อาจทำการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน $f$ ที่ $x$ ใดๆ หลังจากนั้นแทน $x$ ด้วย $a$ เช่น

ตัวอย่างการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ $x=a$

ตัวอย่างที่ 2

กำหนด $f(x) = 2x^2-3x+2$ จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน $f$ ที่ $x=2$

ในตัวอย่างนี้ เราอาจหา $f'(2)=\displaystyle\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(2+h)-f(2)}{h}$ โดยตรงก็ได้ แต่ในกรณีนี้เราทราบแล้วว่า

\begin{eqnarray*}
f'(x)=4x-3
\end{eqnarray*}

เราสามารถแทน $x$ ด้วย $2$ จะได้

\begin{eqnarray*}
f'(2) &=& 4(2)-3\\
&=& 5
\end{eqnarray*}

$f'(2)=5$ 

 

ตัวอย่างการจัดลิมิตให้อยู่ในรูปของอนุพันธ์ 

ตัวอย่างที่ 3

กำหนดให้ $f'(2)=13$ และ $f'(3)=3$ จงหา  $\displaystyle\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(2+h)-f(3+h)-f(2)+f(3)}{10h}$

ทำการจัดรูปลิมิตให้อยู่ในรูปของอนุพันธ์

\begin{align}
\lim_{h\rightarrow0} & \frac{f(2+h)-f(3+h)-f(2)+f(3)}{10h}\\
&= \lim_{h\rightarrow0}\frac{[f(2+h)-f(2)]-[f(3+h)-f(3)]}{10h}\\
&= \lim_{h\rightarrow0}\frac{f(2+h)-f(2)}{10h} - \lim_{h\rightarrow0}\frac{f(3+h)-f(3)}{10h}\\
&= \frac{1}{10}\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(2+h)-f(2)}{h} - \frac{1}{10}\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(3+h)-f(3)}{h}\\
&= \frac{1}{10}[f'(2) - f'(3)]\\
&= \frac{1}{10}(13 - 3)\\
&= 1
\end{align}

 $\displaystyle\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(2+h)-f(3+h)-f(2)+f(3)}{10h}=1$

จากบทนิยามของอนุพันธ์ จะได้ว่า $f'(x)$ คือความชันของเส้นโค้ง $y=f(x)$ ที่จุดใดๆ นั่นเอง และสำหรับ $a$ ใดๆ ที่อยู่ในโดเมนของ $f$ จะได้ว่า $f'(a)$ คือความชันของเส้นโค้ง $y=f(x)$ ที่จุด $(a,f(a))$ เช่น จาก ตัวอย่างที่ 2 เราจะได้ว่าความชันของเส้นโค้ง $y = 2x^2-3x+2$ ที่จุด $(2,4)$ คือ $f'(2)=5$

 

อัตราการเปลี่ยนแปลง

ถ้ากำหนดฟังก์ชัน $y=f(x)$ มีจุด $P(x_1,f(x_1))$ และจุด $Q(x_2,f(x_2))$ อยู่บนกราฟของฟังก์ชัน แล้ว ความชันของเส้นตรงที่ผ่านจุด $P$ และ $Q$ คือ $\displaystyle \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$ เรียกอัตราส่วนนี้ว่า อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย ของ $y$ เทียบกับ $x$ เมื่อค่าของ $x$ เปลี่ยนจาก $x_{1}$ เป็น $x_{2}$ นิยามได้ดังนี้

1.  อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ $y$ เทียบกับ $x$ ในช่วง $x_{1}$ ถึง $x_{2}$ คือ
\begin{eqnarray*}
\frac{f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}
\end{eqnarray*}

ตัวอย่างการหาอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ย  

ตัวอย่างที่ 4

จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ $f(x)=x^{2}+1$ เมื่อค่า $x$ เปลี่ยนจาก $x_{1}=1$ เป็น $x_{2}=3$

อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ $y$ เทียบกับ $x$ ในช่วง $1$ ถึง $3$ คือ
\begin{eqnarray*}
\frac{f(3)-f(1)}{3-1}=\frac{(3^{2}+1)-(1^{2}+1)}{2}=\frac{10-2}{2}=4
\end{eqnarray*}

 อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ $y$ เทียบกับ $x$ ในช่วง $1$ ถึง $3$ เท่ากับ $4$


ตัวอย่างที่ 5

จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของเส้นรอบวงของวงกลม เทียบกับรัศมี เมื่อรัศมีเปลี่ยนจาก $3$ เซนติเมตร เป็น $5$ เซนติเมตร 

สูตรการพื้นเส้นรอบวงของวงกลม คือ $2 \pi r$ กำหนดให้ $y=f(x)$ เป็นความสัมพันธ์ระหว่างเส้นรอบวงของวงกลม $(y)$ กับรัศมีของวงกลม $(x)$ จะได้สมการ $f(x)=2 \pi x$ ดังนั้น

 อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ $y$ เทียบกับ $x$ ในช่วง $3$ ถึง $5$ คือ

\begin{eqnarray*}
\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} &=& \frac{2 \pi (5) - 2 \pi (3)}{5-3}\\
&=& \frac{10 \pi - 6 \pi}{2}\\
&=& \frac{4 \pi}{2}\\
&=& 2 \pi
\end{eqnarray*}

อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของเส้นรอบวงของวงกลม เทียบกับรัศมี เมื่อรัศมีเปลี่ยนจาก $3$ เซนติเมตร เป็น $5$ เซนติเมตร คือ $2 \pi$ เซนติเมตร/เซนติเมตร 

2.  อัตราการเปลี่ยนแปลงของ $y$ เทียบกับ $x$ ขณะใดๆ หมายถึงอัตราการเปลี่ยนแปลงเมื่อค่า $x$ เปลี่ยนแปลงไปน้อยมากๆ นั่นหมายความว่าเราต้องการให้ $x_{2}$ มีค่าต่างจาก $x_{1}$ น้อยที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ เราจึงใช้ความรู้เรื่องลิมิตเข้าช่วย โดยหาก $x_{1}=x$ มีค่าใดๆ กำหนดให้ค่าของ $x_{2}=x+h$ ให้ $h$ มีค่าน้อยมากๆ จนเข้าใกล้ $0$
\begin{eqnarray*}
\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h)-f(x)}{(x+h) - x} = \lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}
\end{eqnarray*}

อัตราการเปลี่ยนแปลงของ $y$ เทียบกับ $x$ ขณะที่ $x=a$ คือ
\begin{eqnarray*}
\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}
\end{eqnarray*}

 

ตัวอย่างการหาอัตราการเปลี่ยนแปลงขณะที่ $x=a$ 

ตัวอย่างที่ 6

กำหนด $f(x)=4x^{2}+3$ จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงขณะที่ $x=2$

อัตราการเปลี่ยนแปลงขณะที่ $x=2$ คือ
\begin{eqnarray*}
\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(2+h)-f(2)}{h} &=& \lim_{h\rightarrow0}\frac{[4(2+h)^{2}+3]-[4(2)^{2}+3]}{h}\\
&=& \lim_{h\rightarrow0}\frac{[4(4+4h+h^{2})+3]-19}{h}\\
&=& \lim_{h\rightarrow0}\frac{\cancel{16}+16h+4h^{2}+\cancel{3}-\cancel{19}}{h}\\
&=& \lim_{h\rightarrow0}\frac{16h+4h^{2}}{h}\\
&=& \lim_{h\rightarrow0}\frac{\cancel{h}(16+4h)}{\cancel{h}}\\
&=& 16+4(0)\\
&=& 16
\end{eqnarray*}

 อัตราการเปลี่ยนแปลงขณะที่ $x=2$ เท่ากับ $16$


ตัวอย่างที่ 7

จงหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของเส้นรอบวงของวงกลม เทียบกับรัศมี ขณะรัศมียาว $5$ เซนติเมตร 

จาก ตัวอย่างที่ 5 จะได้ $f(x)=2 \pi x$ เป็นความสัมพันธ์ระหว่างเส้นรอบวงของวงกลม กับรัศมีของวงกลม

 อัตราการเปลี่ยนแปลงของ $y$ เทียบกับ $x$ ขณะที่ $x=5$ คือ

\begin{eqnarray*}
\lim_{h\rightarrow0}\frac{f(5+h)-f(5)}{h} &=& \lim_{h\rightarrow0}\frac{2 \pi (5+h) - 2 \pi (5)}{h}\\
&=& \lim_{h\rightarrow0}\frac{\cancel{10 \pi} + 2 \pi h - \cancel{10 \pi}}{h}\\
&=& \lim_{h\rightarrow0}\frac{2 \pi \cancel{h}}{\cancel{h}}\\
&=& \lim_{h\rightarrow0}{2 \pi}\\
&=& 2 \pi
\end{eqnarray*}

 อัตราการเปลี่ยนแปลงของ $y$ เทียบกับ $x$ ขณะที่ $x=5$ คือ $2 \pi$ เซนติเมตร/เซนติเมตร

ว่าด้วยเรื่องของคำศัพท์ 

ในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

  • คำว่า "derivative" หมายถึงผลลัพธ์ของการหาอนุพันธ์
  • คำว่า "differentiate" หมายถึงหาอนุพันธ์ (คำกริยา)
  • คำว่า "differentiation" หมายถึงการหาอนุพันธ์ (คำนาม)

ซึ่งการหาอนุพันธ์ เรามักเรียกว่า "ดิฟ" แทนที่จะพูดว่า "หาอนุพันธ์" แต่ใช้เรียกเพื่อให้ง่ายเท่านั้น ไม่ควรใช้พูดจริงๆ โดยเฉพาะในการพูดอย่างเป็นทางการ เช่น ในงานสัมมนาทางวิชาการ (เผื่อใครมีโอกาสครับ ^^)

คำคล้าย: 
  • อัตราการเปลี่ยนแปลงและนิยามอนุพันธ์
  • Definition of Differential
  • Derivative Definition
  • Rate of Change
  • นิยามของอนุพันธ์
  • นิยามแบบลิมิตของอนุพันธ์
  • Rate of Change and Derivative Definition