ควอร์ไทล์ (Quatile)


ควอร์ไทล์ เป็นการบอกตำแหน่งด้วยการแบ่งจำนวนข้อมูลออกเป็น $4$ ส่วนเท่า ๆ กัน

จะเห็นว่าการแบ่งข้อมูลออกเป็นสี่ส่วนนั้นจะต้องใช้ขีดกั้นทั้งหมด $3$ ขีด ซึ่ง
ขีดที่ $1$ จะแทนด้วยตำแหน่งที่เป็นควอร์ไทล์ที่ $1$ $(Q_1)$
ขีดที่ $2$ จะแทนด้วยตำแหน่งที่เป็นควอร์ไทล์ที่ $2$ $(Q_2)$
ขีดที่ $3$ จะแทนด้วยตำแหน่งที่เป็นควอร์ไทล์ที่ $3$ $(Q_3)$

เพราะฉะนั้นก่อนที่เราจะรู้ว่า ควอร์ไทล์แต่ละตัวมีค่าเท่าไหร่จะต้องหาตำแหน่งของควอร์ไทล์ที่ต้องการให้ได้ก่อน แล้วจึงไม่ดูว่า ณ ตำแหน่งนั้นค่าของข้อมูลคือเท่าใด 

ควอร์ไทล์ของข้อมูลไม่แจกแจงความถี่

ข้อมูลไม่แจกแจงความถี่ $x_1,x_2,x_3,\cdots,x_n$ เรียงจากน้อยไปมาก เราจะต้องหาตำแหน่งที่แบ่งข้อมูลออกเป็นสี่ส่วนเท่า ๆ กัน
เนื่องจากเวลาที่เราต้องการหาตำแหน่งของข้อมูลไม่แจกแจงความถี่จะต้องนำจำนวนทั้งหมดบวกหนึ่งก่อน

จะได้ตำแหน่งของควอร์ไทล์ต่าง ๆ 

จากนั้นจะได้ว่าค่าของ ควอร์ไทล์ต่าง ๆ ก็คือค่าของข้อมูลในตำแหน่งนั้น ๆ 

ถ้าข้อมูล ไม่แจกแจงความถี่ ที่เรียงจากน้อยไปมาก คือ $x_1,x_2,x_3,\cdots,x_n$ แล้ว 
ควอร์ไทล์ที่ $k$ $(Q_k)$ ของข้อมูลชุดนี้คือ $$x_{\frac{k}{4}\cdot(n+1)}$$ เมื่อ $k=1,2,3$

การหาควอร์ไทล์ที่ $3$ ของข้อมูลไม่แจกแจงความถี่

กำหนดให้ข้อมูลไม่แจกแจงความถี่ คือ $11,10,15,23,12,26,10$ จงหาควอร์ไทล์ที่ $3$ ของข้อมูลชุดนี้ 

ในการหาตำแหน่งของข้อมูลในจะต้องเรียงข้อมูลจากน้อยไปมากก่อนเสมอ ดังนั้น

ให้เริ่มด้วยการเรียงข้อมูลใหม่ จะได้ $10,10,11,12,15,23,26$

 จากนั้นให้หาว่า ข้อมูลที่เป็น $Q_3$ อยู่ที่ตำแหน่งใด เนื่องจากข้อมูลในชุดนี้มีทั้งหมด $7$ ตัว ตำแหน่งที่เป็น $Q_3$ คือ $\frac{3}{4}(7+1)=6$

เนื่องจาก $Q_3$ อยู่ตำแหน่งที่ $6$
ดังนั้น $Q_3=\text{ข้อมูลตัวที่ 6}=23$

ควอร์ไทล์ที่ $3$ ของข้อมูลชุดนี้ คือ $23$ 


 

 ตำแหน่งของควอร์ไทล์ไม่ใช่จำนวนเต็ม

กำหนดให้ข้อมูลไม่แจกแจงความถี่ คือ $22,31,35,43$ จงหา ควอร์ไทล์ที่ $1$ ของข้อมูลชุดนี้

จากข้อมูลที่โจทย์ให้มาเรียงข้อมูลเรียบร้อยแล้ว เราก็ไม่ต้องเรียงใหม่ และข้อมูลมีทั้งหมด $4$ ตัว 

 หาตำแหน่งของ $Q_1$ คือ ตำแหน่งที่ $\frac{1}{4}(4+1)=1.25$

ดังนั้น $Q_1 = \text{ข้อมูลตัวที่ 1.25}$ แล้วเราจะหาข้อมูลตัวที่ $1.25$ ได้ยังไง

ที่แน่ ๆ คือ ข้อมูลตัวที่ $1.25$ ต้องอยู่ระหว่างตัวที่ $1$ กับตัวที่ $2$ แล้วเดี๋ยวเราจะมาใช้อัตราส่วนช่วยหาข้อมูลตัวที่ $1.25$

จากรูป เราจะได้ว่า $x_{1.25}=x_1+0.25\cdot(x_2-x_1)$

ดังนั้นข้อนี้จะได้ $Q_1= 22+0.25\cdot(31-22)=24.25$

ควอร์ไทล์ที่ $1$ ของข้อมูลชุดนี้ คือ $24.25$ 

ควอร์ไทล์ของข้อมูลแจกแจงความถี่

วิธีการหา ควอร์ไทล์ ใช้หลักการเดียวกัน คือ หาตำแหน่งให้ได้ก่อน แล้วมาหาว่าตำแหน่งนั้นค่าที่ได้เป็นเท่าไหร่ เช่น

ช่วง จำนวน
$21-30$ $1$
$31-40$ $3$
$41-50$ $4$
$51-60$ $2$

 

จากตัวอย่างข้อมูลด้านบน เราจะต้องหาให้ได้ก่อนว่า ตำแหน่งควอร์ไทล์ที่เราต้องการอยู่ในชั้นไหน

ตำแหน่งควอร์ไทล์ที่ $k$ ของข้อมูลไม่แจกแจงความถี่ คือ $\frac{k}{4}\cdot(n+1)$

ตำแหน่งควอร์ไทล์ที่ $k$ ของข้อมูลแจกแจงความถี่ คือ $\frac{k}{4}\cdot{n}$

หลังจากเราได้ตำแหน่งของควอร์ไทล์ที่ต้องการแล้ว คือ ตัวที่ $\frac{k}{4}\cdot{n}$ เราจะต้องรู้ว่าตำแหน่งที่เรากำลังดูอยู่อยู่ในชั้นไหน

จากรูป จะบอกได้ว่า 

ควอร์ไทล์ที่ $k$ ของข้อมูลแจกแจงความถี่ คือ $$\text{ขอบล่างของชั้นที่มีควอร์ไทล์}+I\cdot\left(\frac{\frac{k}{4}\cdot{n}-F_{\text{ของชั้นก่อนหน้า}}}{f_{\text{ของชั้นนั้น}}}\right)$$

การหาควอร์ไทล์ของข้อมูลแจกแจงความถี่

จากข้อมูลที่กำหนดให้ จงหาควอร์ไทล์ท่ี่ $3$

ช่วง จำนวน
$21-30$ $1$
$31-40$ $3$
$41-50$ $4$
$51-60$ $2$

ดูข้อมูลให้แน่ใจว่าข้อมูลเรียงจากชั้นที่มีค่าน้อยไปค่ามากแล้ว ซึ่งในข้อนี้ข้อมูลเรียงเรียบร้อยแล้ว

จากนั้นสร้างตารางที่มีความถี่สะสมขึ้นมา จะได้

ช่วง จำนวน $F$
$21-30$ $1$ $1$
$31-40$ $3$ $4$
$41-50$ $4$ $8$
$51-60$ $2$ $10$

 

หาตำแหน่งของข้อมูลที่เป็น $Q_3$ คือ $\frac{3}{4}\cdot(10)=7.5$

ซึ่งตำแหน่งที่ $7.5$ อยู่ในชั้นที่ $3$ ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
Q_3 & = & 40.5+10\left(\frac{7.5-4}{4}\right)\\
 & = & 40.5+10\left(\frac{3.5}{4}\right)\\
 & = & 40.5+8.75\\
 & = & 49.25\\
\end{eqnarray*}

ควอร์ไทล์ที่ $3$ ของข้อมูลชุดนี้ คือ $49.25$ 

ควอร์ไทล์ที่ $2$ จะมีค่าเท่ากับ มัธยฐานเสมอ

คำคล้าย: 
  • ควอร์ไทล์
  • Quatile