ดิฟผลคูณและดิฟผลหาร (Product and Quotient Rule of Derivative)


สูตรการหาอนุพันธ์ของผลคูณของฟังก์ชัน

สูตรผลคูณ  ถ้า $f$ และ $g$ เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ที่ $x$ ได้ แล้ว

$(fg)'(x)=f(x)g'(x)+f'(x)g(x)$

ให้ $F(x)=f(x)g(x)$

\begin{eqnarray*}
F'(x)&=& \lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}\\
&=& \lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x+h)g(x)+f(x+h)g(x)-f(x)g(x)}{h}\\
&=& \lim_{h\rightarrow0}\left ( f(x+h)\frac{g(x+h)-g(x)}{h} + g(x)\frac{f(x+)-f(x)}{h} \right )\\
&=& \lim_{h\rightarrow0}f(x+h) \cdot \lim_{h\rightarrow0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h} + \lim_{h\rightarrow0}g(x) \cdot \lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\\
&=& f(x)g'(x)+g(x)f'(x)
\end{eqnarray*}

 

สำหรับการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันประเภทนี้อาจใช้วิธีการกระจายตัวประกอบแล้วค่อยหาอนุพันธ์ด้วยสูตรพื้นฐานก็ได้ แต่การใช้สูตรผลคูณนี้ช่วยให้หาอนุพันธ์ได้เร็วขึ้น

วิธีการท่องจำสูตรผลคูณให้ขึ้นใจ

ฟังก์ชัน $y=f(x)g(x)$ ให้ $f(x)$ คือ "ตัวหน้า" และ $g(x)$ คือ "ตัวหลัง" สูตรการหาอนุพันธ์ของ $y$ คือ 

"หน้าดิฟหลัง บวก หลังดิฟหน้า"

 

ตัวอย่างการใช้สูตรหาอนุพันธ์ของผลคูณของฟังก์ชัน

ตัวอย่างที่ 1

จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน $y=(2x+1)(x^2-5)$

\begin{eqnarray*}
\frac{dy}{dx} &=& (2x+1)\frac{d}{dx}(x^2-5)+(x^2-5)\frac{d}{dx}(2x+1)\\
&=& (2x+1)(2x)+(x^2-5)(2)\\
&=& 4x^2+2x+2x^2-10\\
&=& 6x^2+2x-10
\end{eqnarray*}

$\displaystyle \frac{dy}{dx}= 6x^2+2x-10$


ตัวอย่างที่ 2

จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน $y=(4x^2-1)(7x^3+x)$ 

\begin{eqnarray*}
\frac{dy}{dx} &=& (4x^2-1)\frac{d}{dx}(7x^3+x)+(7x^3+x)\frac{d}{dx}(4x^2-1)\\
&=& (4x^2-1)(21x^2+1)+(7x^3+x)(8x)\\
&=& 84x^4+4x^2-21x^2-1+56x^4+8x^2\\
&=& 140x^4-9x^2-1
\end{eqnarray*}

 $\displaystyle \frac{dy}{dx}=140x^4-9x^2-1$


ตัวอย่างที่ 3

จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน $y=(x^2-2x+3)(2x+5)$ 

\begin{eqnarray*}
\frac{dy}{dx}&=& (x^2-2x+3)\frac{d}{dx}(2x+5)+(2x+5)\frac{d}{dx}(x^2-2x+3)\\
&=& (x^2-2x+3)(2)+(2x+5)(2x-2)\\
&=& 2x^2-4x+6+4x^2-4x+10x-10\\
&=& 6x^2+2x-4
\end{eqnarray*} 

 $\displaystyle \frac{dy}{dx}=6x^2+2x-4$


ตัวอย่างที่ 4

กำหนด $f(x)=(2x^2-3x+1)(x-x^2)$ จงหา $f'(-1)$ 

\begin{eqnarray*}
f'(x) &=& (2x^2-3x+1)\frac{d}{dx}(x-x^2)+(x-x^2)\frac{d}{dx}(2x^2-3x+1)\\
&=& (2x^2-3x+1)(1-2x)+(x-x^2)(4x-3)
\end{eqnarray*}

\begin{eqnarray*}
f'(-1)&=& [2(-1)^2-3(-1)+1][1-2(-1)]+[(-1)-(-1)^2][4(-1)-3]\\
&=& (2+3+1)(1+2)+(-1-1)(-4-3)\\
&=& 18+14\\
&=& 32
\end{eqnarray*}

ดังนั้น $f'(-1)=32$

การหา $f'(a)$ นั้น เราไม่จำเป็นต้องจัดรูป $f'(x)$ ให้สมบูรณ์ก็ได้ เราสามารถแทนค่า $a$ ได้เลย

 

สูตรการหาอนุพันธ์ของผลหารของฟังก์ชัน

สูตรผลหาร  ถ้า $f$ และ $g$ เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ที่ $x$ แล้ว

$\displaystyle \left ( \frac{f}{g} \right )'(x)=\frac{g(x)f'(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^2}$

ให้ $\displaystyle F(x)=\frac{f(x)}{g(x)}$

\begin{eqnarray*}
F'(x)&=& \lim_{h\rightarrow0}\frac{\frac{f(x+h)}{g(x+h)}-\frac{f(x)}{g(x)}}{h}\\
&=& \lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h)g(x)-f(x)g(x+h)}{hg(x)g(x+h)}\\
&=& \lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h)g(x)-f(x)g(x)-f(x)g(x+h)+f(x)g(x)}{hg(x)g(x+h)}\\
&=& \lim_{h\rightarrow0}\frac{\left[ g(x)\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \right]-\left[ f(x)\frac{g(x+h)-g(x)}{h} \right]}{g(x)g(x+h)}\\
&=& \frac{ \displaystyle\lim_{h\rightarrow0}g(x) \cdot \lim_{h\rightarrow0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}-\lim_{h\rightarrow0}f(x) \cdot \lim_{h\rightarrow0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}}{ \displaystyle\lim_{h\rightarrow0}g(x) \cdot \lim_{h\rightarrow0}g(x+h)}\\
&=& \frac{g(x)f'(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^2}
\end{eqnarray*}

สำหรับการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันประเภทนี้ หากสามารถจัดรูปตัวเศษและตัวส่วนให้ตัดกันได้ ก็จะช่วยให้หาอนุพันธ์ได้ง่ายขึ้น

วิธีการท่องจำสูตรผลหารให้ขึ้นใจ

ฟังก์ชัน $\displaystyle y=\frac{f(x)}{g(x)}$ ให้ $f(x)$ คือ "ตัวบน" และ $g(x)$ คือ "ตัวล่าง" สูตรการหาอนุพันธ์ของ $y$ คือ

"ล่างดิฟบน ลบบนดิฟล่าง ส่วนล่างยกกำลังสอง"

 

ตัวอย่างการใช้สูตรหาอนุพันธ์ของผลหารของอนุพันธ์

ตัวอย่างที่ 5

จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน $\displaystyle y=\frac{3x-1}{2x+3}$

\begin{eqnarray*}
\frac{dy}{dx} &=& \frac{(2x+3)\frac{d}{dx}(3x-1)-(3x-1)\frac{d}{dx}(2x+3)}{(2x+3)^2}\\
&=& \frac{(2x+3)(3)-(3x-1)(2)}{(2x+3)^2}\\
&=& \frac{6x+9-6x+2}{(2x+3)^2}\\
&=& \frac{11}{(2x+3)^2}
\end{eqnarray*}

$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{11}{(2x+3)^2}$ 


ตัวอย่างที่ 6

จงหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน $\displaystyle y=\frac{4x+1}{x^2-5}$ 

\begin{eqnarray*}
\frac{dy}{dx} &=& \frac{(x^2-5)\frac{d}{dx}(4x+1)-(4x+1)\frac{d}{dx}(x^2-5)}{(x^2-5)^2}\\
&=& \frac{(x^2-5)(4)-(4x+1)(2x)}{(x^2-5)^2}\\
&=& \frac{4x^2-20-8x^2-2x}{(x^2-5)^2}\\
&=& \frac{-4x^2-2x-20}{(x^2-5)^2}
\end{eqnarray*} 

$\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{-4x^2-2x-20}{(x^2-5)^2}$ 


ตัวอย่างที่ 7

กำหนด $\displaystyle f(x)=\frac{2x^2-1}{x+1}$  จงหา $f'(2)$

\begin{eqnarray*}
f'(x) &=& \frac{(x+1)\frac{d}{dx}(2x^2-1)-(2x^2-1)\frac{d}{dx}(x+1)}{(x+1)^2}\\
&=& \frac{(x+1)(4x)-(2x^2-1)(1)}{(x+1)^2}\\
&=& \frac{4x^2+4x-2x^2+1}{(x+1)^2}\\
&=& \frac{2x^2+4x+1}{(x+1)^2}
\end{eqnarray*}

ดังนั้น $\displaystyle f'(2)=\frac{2(2)^2+4(2)+1}{(2+1)^2}=\frac{17}{9}$

$\displaystyle f'(2)=\frac{17}{9}$ 

 

ตัวอย่างการใช้สูตรอนุพันธ์ของผลคูณและผลหารของฟังก์ชัน เมื่อกำหนด $f'(a)$ มาให้

ตัวอย่างที่ 8 

กำหนดให้ $f(4)=3$ และ $f'(4)=-5$ จงหา $g'(4)$ เมื่อ

 

(1)  $g(x)=\sqrt{x}f(x)$

สำหรับข้อนี้ $g(x)$ อยู่ในรูปผลคูณของฟังก์ชัน

\begin{eqnarray*}
g'(x) &=& \sqrt{x}f'(x)+f(x)\frac{d}{dx}\sqrt{x}\\
&=& \sqrt{x}f'(x)+f(x)\left(\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}\right)\\
&=& \sqrt{x}f'(x)+\frac{f(x)}{2\sqrt{x}}
\end{eqnarray*}

ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
g'(4) &=& \sqrt{4}f'(4)+\frac{f(4)}{2\sqrt{4}}\\
&=& 2(-5)+\frac{3}{2(2)}\\
&=& -10+\frac{3}{4}
&=& -\frac{37}{4}
\end{eqnarray*}

$\displaystyle g'(4)=-\frac{37}{4}$ 

 

(2)  $\displaystyle g(x)=\frac{f(x)}{x}$

สำหรับข้อนี้ $g(x)$ อยู่ในรูปผลหารของฟังก์ชัน

\begin{eqnarray*}
g'(x) &=& \frac{xf'(x)-f(x)\frac{d}{dx}(x)}{x^2}\\
&=& \frac{xf'(x)-f(x)}{x^2}\\
\end{eqnarray*}

ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
g'(4) &=& \frac{4f'(4)-f(4)}{4^2}\\
&=& \frac{4(-5)-3}{16}\\
&=& -\frac{23}{16}
\end{eqnarray*}

$\displaystyle g'(4)=-\frac{23}{16}$

คำคล้าย: 
  • ดิฟผลคูณและดิฟผลหาร
  • สูตรดิฟผลหาร
  • สูตรดิฟผลคูณ
  • กฎอนุพันธ์ของผลหาร
  • กฎอนุพันธ์ผลหาร
  • ล่างดิฟบนลบบนดิฟล่างส่วนล่างกำลังสอง
  • Product and Quotient Rule of Derivative