เทคนิคการจัดรูปกำลังสองสมบูรณ์

กำลังสองสมบูรณ์จะอยู่ในรูปของ

$$(x \pm y)^2 = x^2 \pm 2xy + y^2$$

หรือที่เราท่องกันจนติดปากว่า "หน้ากำลัสอง บวกสองหน้าหลัง บวกหลังกำลังสอง"

การจัดพหุนามให้อยู่ในรูปกำลังสองสมบูรณ์มีเทคนิคดังนี้

1.  จัดตัวหน้าให้อยู่ในรูปกำลังสอง เช่น

$x^2$ อยู่ในรูปกำลังสองอยู่แล้ว แสดงว่าตัวหน้าของเราคือ $x$

$4x^2$ จัดรูปเป็น $(2x)^2$ แสดง่วาตัวหน้าของเราคือ $2x$

$3x^2$ จัดรูปเป็น $(\sqrt{3} x)^2$ แสดงว่าตัวหน้าของเราคือ $\sqrt{3} x$

2.  จัดรูป "บวกสองหน้าหลัง" หรือ "ลบสองหน้าหลัง" เพื่อหาว่าหลังคืออะไร เช่น

$x^2 + 4x + ...$ เรารู้ว่าหน้าของเราคือ $x$ ดังนั้น สองหน้าหลังก็จะเป็น $4x = 2x(2)$ แสดงว่าหลังคือ $2$

$4x^2 + 4x + ...$ เรารู้ว่าหน้าคือ $2x$ ดังนั้น สองหน้าหลังเป็น $4x = 2 (2x) (1)$ แสดงว่าหลังคือ $1$

$3x^2 - 2x + ...$ เรารู้ว่าหน้าคือ $\sqrt{3} x$ ดังนั้น สองหน้าหลังเป็น $\displaystyle 2x = 2 (\sqrt{3} x) \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)$ หลังคือ $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}$

3.  จัดรูป "บวกหลังกำลังสอง" เช่น

$x^2 + 4x + 5$ หลังของเราคือ $2$ หลังกำลังสองก็จะเป็น $4$ เราจึงแยก $5$ ออกเป็น $4 + 1$ ดังนี้

$$\begin{eqnarray*} x^2 + 4x + 5 &=& x^2 + 4x + 4 + 1\\ &=& [x^2 + 2x(2) + 2^2] + 1\\ \end{eqnarray*}$$

$4x^2 + 4x - 7$ หลังของเราคือ $1$ หลังกำลังสองก็จะเป็น $1$ เราแยก $-7$ ออกเป็น $1 - 8$ ดังนี้

$$\begin{eqnarray*} 4x^2 + 4x - 7 &=& 4x^2 + 4x + 1 - 8\\ &=& [(2x)^2 + 2 (2x) (1) + 1^2] - 8 \end{eqnarray*}$$

$3x^2 - 2x + 1$ หลังคือ $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}$ หลังกำลังสองก็จะเป็น $\displaystyle \frac{1}{3}$ เราแยก $1$ ออกเป็น $\displaystyle \frac{1}{3} + \frac{2}{3}$ ดังนี้

$$\begin{eqnarray*} 3x^2 - 2x + 1 &=& 3x^2 - 2x + \frac{1}{3} + \frac{2}{3}\\ &=& \left[ (\sqrt{3} x)^2 - 2 (\sqrt{3} x) \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right) + \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)^2 \right] + \frac{2}{3} \end{eqnarray*}$$

4.  รวบเป็นกำลังสองสมบูรณ์ $(\text{หน้า} + \text{หลัง})^2$ หรือ $(\text{หน้า} - \text{หลัง})^2$ เช่น

$x^2 + 4x + 5$ เรารวบ $[x^2 + 2x(2) + 2^2]$ เป็น $(x + 2)^2$ จะได้

$$x^2 + 4x + 5 = (x+2)^2 + 1$$

$4x^2 + 4x - 7$ เรารวบ $[(2x)^2 + 2 (2x) (1) + 1^2]$ เป็น $(2x + 1)^2$ จะได้

$$4x^2 + 4x - 7 = (2x+1)^2 - 8$$

$3x^2 - 2x + 1$ เรารวบ $\displaystyle \left[ (\sqrt{3} x)^2 - 2 (\sqrt{3} x) \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right) + \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right)^2 \right]$ เป็น $\displaystyle \left( \sqrt{3} x - \frac{1}{\sqrt{3}} \right)^2$ จะได้

$$\displaystyle 3x^2 - 2x + 1 = \left( \sqrt{3} x - \frac{1}{\sqrt{3}} \right)^2 + \frac{2}{3}$$