มัธยฐาน (Median)


มัธยฐาน คือ ค่ากลางที่ต้องการหาตัวที่อยู่ตรงกลาง

มัธยฐานของข้อมูลไม่แจกแจงความถี่

ข้อมูลไม่แจกแจงความถี่ เช่น $2,3,5,7,11$ จะได้ว่าตัวที่อยู่ตรงกลาง คือ $5$ ดังนั้นมัธยฐานของข้อมูลชุดนี้ คือ $5$

แต่ปัญหาจะเกิดถ้าเราเรียงข้อมูลชุดนี้ใหม่เป็น $2,5,11,7,3$ จะได้มัธยฐานเป็น $11$ อีกค่านึง จำไว้ว่าข้อมูลหนึ่งชุดจะต้องมีค่ามัธยฐานเพียงค่าเดียวเท่านั้น

ดังนั้น ทุกครั้งที่จะหาค่ามัธยฐานข้อมูลจะต้องเรียงจากค่าน้อยไปค่ามากเสมอ

ถ้าข้อมูลไม่แจกแจงความถี่ที่เรียงจากค่าน้อยไปค่ามาก คือ $x_1,x_2,x_3,\cdots,x_n$

มัธยฐาน คือ ข้อมูลตัวที่ $\frac{n+1}{2}$ นั้นคือ $x_{\frac{n+1}{2}}$

ข้อสังเกตุ ถ้าข้อมูลชุดหนึ่งมีข้อมูลทั้งหมด $10$ ตัว จะได้ว่ามัธยฐาน คือ ข้อมูลตัวที่ $5.5$ ซึ่งในข้อมูลที่เรามีนั้นไม่มีตัวที่ $5.5$ แน่นอน

ดังนั้นเราจะหาตัวที่ $5.5$ ได้จากการหาค่าของ $\frac{\text{ตัวที่ 5}+\text{ตัวที่ 6}}{2}$

ถ้าจำไม่ได้ว่าหาตำแหน่งของมัธยฐานยังไง ให้ใช้วิธีการตัดหัวตัดท้าย เช่น ข้อมูลไม่แจกแจงความถี่ที่เรียงจากน้อยไปมากคือ $x_1,x_2,\cdots,x_9$ ให้ตัดหัวและท้ายออกจำนวนตัวเท่ากัน เช่น ตัดด้านหน้าออก $2$ ตัวและตัดด้านหลังออก $2$ ตัว จะทำให้ข้อมูลที่เหลือคือ $x_3,x_4,x_5,x_6,x_7$ แล้วตัดด้านหน้าและด้านหลังออกอีกอย่างละ $2$ ตัว จะเหลือ $x_5$ เพียงตัวเดียว นั้นคือ $x_5$ เป็นมัธยฐานของข้อมูลชุดนี้

ในทำนองเดียวกันถ้าจำนวนข้อมูลเป็นเลขคู่ เมื่อตัดแล้วสุดท้ายจะเหลือตัวตรงกลางอยู่สองตัว ให้จับบวกกันแล้วหารสอง

มัธยฐานของข้อมูลแจกแจงความถี่

ในทำนองเดียวกันกับข้อมูลไม่แจกแจงความถี่ นั้นคือ จะต้องหาตัวตรงกลางให้ได้

ดังนั้นขั้นแรกเราจะต้องหาให้ได้ว่าตัวตรงกลางอยู่ที่ไหน โดยตำแหน่งกลาง คือ ตำแหน่งที่ $\frac{n}{2}$ เช่น ข้อมูลคือ

ช่วง จำนวน
$21-30$ $1$
$31-40$ $3$
$41-50$ $4$
$51-60$ $2$

ดังนั้นจำนวนทั้งหมด คือ $10$ และตำแหน่งตรงกลางคือ $\frac{10}{2}=5$

ในข้อมูลแบบแจกแจงความถี่ ตำแหน่งกลาง คือ ตำแหน่ง $\frac{n}{2}$

ในข้อมูลแบบไม่แจกแจงความถี่ ตำแหน่งกลาง คือ ตำแหน่ง $\frac{n+1}{2}$

สร้างตารางความถี่สะสม จะได้

ช่วง จำนวน ความถี่สะสม
$21-30$ $1$ $1$
$31-40$ $3$ $4$
$41-50$ $4$ $8$
$51-60$ $2$

$10$

จากตารางจะเห็นว่า ตำแหน่งที่ $5$ อยู่ในอันตรภาคชั้นที่ $3$ แต่เราไม่รู้ว่าคะแนนเป็นเท่าไหร่ เราจึงจะมาหาว่าคะแนนที่สมควรเป็นค่ามัธยฐานนั้นคือเท่าใด โดยหลักการที่ใช้ในการคาดคะเนค่ามัธยฐานนั้นคือ ทุกคนที่อยู่ในอันตรภาคชั้นเดียวกันจะต้องมีระยะห่างที่เท่า ๆ กัน

ดูคะแนนในชั้นที่ $3$

ดังนั้น เราจะแบ่งคะแนนในชั้นนี้ออกเป็น $4$ ส่วนเท่า ๆ กัน เนื่องจาก $I=10$ แต่ละส่วนจะมีความกว้าง $\frac{10}{4}=2.5$

และจากตารางความถี่สะสมจะได้ว่า คนที่อยู่ที่ขอบล่างคือคนที่ $4$ คนที่อยู่ที่ขอบบนคือคนที่ $8$จะได้

 

 

จึงสรุปได้ว่า คนที่ $5$ มีค่า $43$

ดังนั้น มัธยฐานมีค่า $43$ ซึ่งเกิดจาก

\begin{eqnarray*}
40.5+10\cdot\frac{1}{4} & = & 40.5+10\cdot\left(\frac{5-4}{4}\right)\\
 & = & \text{ขอบล่าง}+10\left(\frac{\frac{n}{2}-F_{\text{ชั้นก่อนหน้า}}}{f_{\text{ชั้นนั้น}}}\right)
\end{eqnarray*}

มัธยฐานของข้อมูลแจกแจงความถี่ คือ $$\text{ขอบล่างของชั้นที่มีตำแหน่งตรงกลางอยู่}+I\cdot\left(\frac{\frac{n}{2}-F_{\text{ชั้นก่อนหน้า}}}{f_\text{ชั้นนั้น}}\right)$$

 สมบัติของมัธยฐาน

$\displaystyle\sum_{i=1}^{n}{\left|x_i-b\right|}$ จะมีค่าน้อยสุด เมื่อ $b$ คือ ค่ามัธยฐานของ $x_1,x_2,\cdots,x_n$

คำคล้าย: 
  • มัธยฐาน
  • Median