การประยุกต์การหาค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดของฟังก์ชัน (Max Min Application)


โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับค่าสูงสุดหรือค่าต่ำสุด

การหาค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดสามารถนำมาประยุกต์ใช้ในการแก้ปัญหาได้อย่างหลากหลาย สิ่งสำคัญคือต้องพิจารณาเงื่อนไขของปัญหาให้ถูกต้อง หลักการทั่วๆ ไปในการแก้โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดมีดังนี้

  1. ทำความเข้าใจกับปัญหาอย่างละเอียดถี่ถ้วน เพื่อให้ทราบแน่นอนว่าต้องการหาค่าสูงสุดหรือค่าต่ำสุด และกำหนดสิ่งที่ต้องการหาด้วยตัวแปร $y$ และกำหนด $x$ แทนสิ่งที่กำหนดค่าของ $y$
  2. เขียนสมการแสดงความสัมพันธ์ของ $y$ และ $x$ ในรูป $y=f(x)$
  3. ดำเนินการตามขั้นตอนการหาค่าสูงสุดสัมพัทธ์และค่าต่ำสุดสัมพัทธ์

 

ตัวอย่างโจทย์ปัญหาเกี่ยวกับค่าสูงสุดหรือค่าต่ำสุด

ตัวอย่างที่ 1

ต้องการนำรั้วที่มีความยาว $1,000$ เมตร มาล้อมรอบพื้นที่ให้เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า มีด้านหนึ่งอยู่ติดกับแม่น้ำซึ่งไม่ต้องล้อมรั้ว จงหาความกว้างและความยาวของบริเวณที่สามารถล้อมรั้วแล้วได้พื้นที่มากที่สุด และพื้นที่มีค่าเป็นเท่าใด

จากโจทย์ เราสามารถวาดแผนผังพื้นที่ได้ดังนี้

สิ่งที่ต้องการคือพื้นที่ จึงกำหนดด้วย $y$ แล้วให้ความกว้างของพื้นที่เป็น $x$ (จะง่ายกว่าการให้ความยาวของพื้นที่เป็น $x$) จะได้ความยาวของพื้นที่เป็น $1,000-2x$

สร้างความสัมพันธ์ระหว่าง $x$ กับ $y$

\begin{eqnarray*}
\text{พื้นที่รูปสี่เหลี่ยม} &=& \text{ความกว้าง} \times \text{ความยาว}\\
y &=& x(1,000-2x)\\
y &=& 1,000x-2x^2
\end{eqnarray*}

เมื่อได้ความสัมพันธ์ในรูปของ $y=f(x)$ เราจึงสามารถดำเนินการตามขั้นตอนการหาค่าสูงสุดสัมพัทธ์หรือค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ได้

จาก $y=1,000x-2x^2$

จะได้ $y'=1,000-4x$

ให้ $c$ เป็นค่าวิกฤต จะได้ว่า $f'(c)=0$

\begin{eqnarray*}
1,000-4c &=& 0\\
1,000 &=& 4c\\
250 &=& c
\end{eqnarray*}

ตรวจสอบค่าที่ได้

$y''=-4<0$ แสดงว่า $c=250$ ให้ค่าสูงสุดสัมพัทธ์

ดังนั้น จะได้ค่าสูงสุดสัมพัทธ์คือ

\begin{eqnarray*}
y &=& x(1,000-2x)\\
&=& 250(1,000-2(250))\\
&=& 250(500)\\
&=& 125,000
\end{eqnarray*}

ความกว้างของพื้นที่เป็น $250$ เมตร ความยาวของพื้นที่เป็น $500$ เมตร
พื้นที่ที่ได้เป็น $125,000$ ตารางเมตร


 

ตัวอย่างที่ 2

กระดาษแข็งรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสยาวด้านละ 20 เซนติเมตร ต้องการตัดมุมทั้งสี่ออกเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสแล้วพับเป็นกล่องแบบไม่มีฝา จะต้องตัดกระดาษออกเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสยาวด้านละกี่เซนติเมตรเพื่อให้กล่องที่ได้มีความจุมากที่สุด และความจุดังกล่าวเท่ากับเท่าใด 

จากโจทย์ สามารถวาดรูปประกอบได้ดังนี้

สมมุติตัดกระดาษออกเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสความยาวด้านละ $x$ เซนติเมตร จะได้กระดาษส่วนที่เหลือยาวด้านละ $20-2x$ เมื่อพับตามรอยเส้นประจะได้กล่องที่มีความจุ เขียนแทนด้วย $y$ ดังนี้

\begin{eqnarray*}
\text{ความจุ} &=& \text{ความกว้าง} \times \text{ความยาว} \times \text{ความสูง}\\
y &=& (20-2x)(20-2x)(x)\\
&=& 4x^3-80x^2+400x
\end{eqnarray*}

จาก $y=4x^3-80x^2+400x$

จะได้ $y'=12x^2-160x+400$

ให้ $c$ เป็นค่าวิกฤต ดังนั้น $f'(c)=0$

\begin{eqnarray*}
12c^2-160c+400 &=& 0\\
3c^2-40c+100 &=& 0\\
(3c-10)(c-10) &=& 0\\
c &=& \frac{10}{3}, 10
\end{eqnarray*}

ตรวจสอบค่าที่ได้

$f''(x)=24x-160$
$f''\left (\frac{10}{3} \right ) = 24 \left ( \frac{10}{3} \right ) - 160 = -80 < 0$
$f''(10)=24(10)-160=80 > 0$

ดังนั้น $\displaystyle c=\frac{10}{3}$ ให้ค่าสูงสุดสัมพัทธ์ และ $c=10$ ให้ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์

ต้องการให้ความจุมากที่สุด ดังนั้น เลือก $\displaystyle x=\frac{10}{3}$

จะได้ $\displaystyle y=\left[ 20-2 \left( \frac{10}{3} \right) \right] \left[ 20-2 \left( \frac{10}{3} \right) \right] \left( \frac{10}{3} \right) = \frac{16,000}{27}$

ต้องตัดกระดาษออกเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ยาวด้านละ $\displaystyle \frac{10}{3}$ เซนติเมตร

จะได้กล่องไม่มีฝาที่มีความจุ $\displaystyle \frac{16,000}{27}$ ลูกบาศก์เซนติเมตร 


 

ตัวอย่างที่ 3

พ่อค้าคนหนึ่งทราบว่าถ้าเขาตั้งราคาสินค้าอย่างหนึ่งชิ้นละ 20 บาท ในหนึ่งสัปดาห์เขาจะขายได้ 1,000 ชิ้น ถ้าเขาลดราคาลงชิ้นละ 1 บาท เขาจะขายสินค้าได้เพิ่มขึ้น 100 ชิ้นต่อสัปดาห์ ถ้าเขาลดราคาสินค้าลงชิ้นละ 2 บาท เขาจะขายสินค้าได้เพิ่ม 200 ชิ้นต่อสัปดาห์ เป็นเช่นนี้ไปเรื่อยๆ จงหาว่า เขาควรตั้งราคาสินค้าเท่าใดจึงจะได้เงินจากการขายมากที่สุด และรายได้เป็นเท่าไร

สมมุติให้ เขาลดราคาสินค้าลงชิ้นละ $x$ บาท จะได้ราคาสินค้าชิ้นละ $20-x$ บาท

ถ้าเขาลดราคาสินค้าชิ้นละ $x$ บาท จะขายสินค้าได้ $1,000+100x$ ชิ้น

ให้ $y$ แทนรายได้จากการขายสินค้า นั่นคือ

\begin{eqnarray*}
y &=& \text{ราคาสินค้า} \times \text{จำนวนชิ้น}\\
&=& (20-x)(1,000+100x)\\
&=& 20,000+1,000x-100x^2
\end{eqnarray*}

จาก $y=20,000+1,000x-100x^2$

จะได้ $y'=1,000-200x$

ให้ $c$ เป็นค่าวิกฤต ดังนั้น $f'(c)=0$

\begin{eqnarray*}
1,000-200c &=& 0\\
1,000 &=& 200c\\
5 &=& c
\end{eqnarray*}

ตรวจสอบค่าที่ได้

$f''(x)=-200$

$f''(5)=-200<0$ แสดงว่า $5$ ให้ค่าสูงสุดสัมพัทธ์

ดังนั้น $f(5)=(20-5)(1,000+100(5))=(15)(1,500)=22,500$

เขาต้องตั้งราคาสินค้าชิ้นละ $15$ บาท จึงจะมีรายได้มากที่สุด และรายได้เท่ากับ $22,500$ บาท 

 

 ในกรณีที่เราหาค่าวิกฤตได้เพียงค่าเดียว อาจไม่จำเป็นต้องตรวจสอบค่าวิกฤตว่าจะให้ค่าสูงสุดสัมพัทธ์หรือค่าต่ำสุดสัมพัทธ์ก็ได้

คำคล้าย: 
  • การประยุกต์การหาค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดของฟังก์ชัน
  • Max Min Application