อินเวอร์สการคูณของเมทริกซ์คืออะไร

ให้ $A$ เป็นเมทริกซ์มิติ $n\times n$  ถ้า $B$ เป็น เมทริกซ์มิติ $n\times n$ และมีสมบัติว่า

เมื่อ $I_n$ เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์แล้วเราเรียก $B$ ว่าเป็นเมทริกซ์อินเวอร์สของ $A$ และเขียน $B$ แทนด้วย $A^{-1}$

อินเวอร์สของเมทริกซ์ขนาด $2\times2$

ให้ $A=\begin{bmatrix} a&b\\c&d\end{bmatrix}$ และ $\det A=ad-cb \neq 0$ แล้ว

แอดจอยท์

ให้ $A$ เป็นเมทริกซ์มิติ $n\times n$ เมื่อ $n\geq 2$

   ตัวอย่างการหาแอดจอยท์ของเมทริกซ์

ให้ $A=\begin{bmatrix}1&0&1\\2&1&0\\1&-1&1\end{bmatrix}$ จงหา $\operatorname{adj}$

$$\begin{eqnarray}C_{11}(A)&=&(-1)^{1+1}\begin{vmatrix}1&0\\-1&1\end{vmatrix}=1\\ C_{12}(A)&=&(-1)^{1+2}\begin{vmatrix}2&0\\1&1\end{vmatrix}=-2\\ C_{13}(A)&=&(-1)^{1+3}\begin{vmatrix}2&1\\1&1\end{vmatrix}=-3\\ C_{21}(A)&=&(-1)^{2+1}\begin{vmatrix}0&1\\-1&1\end{vmatrix}=-1\\ C_{22}(A)&=&(-1)^{2+2}\begin{vmatrix}1&1\\1&1\end{vmatrix}=0\\ C_{23}(A)&=&(-1)^{2+3}\begin{vmatrix}1&0\\1&-1\end{vmatrix}=1\\ C_{31}(A)&=&(-1)^{3+1}\begin{vmatrix}0&1\\1&0\end{vmatrix}=-1\\ C_{32}(A)&=&(-1)^{3+2}\begin{vmatrix}1&1\\2&0\end{vmatrix}=2\\ C_{33}(A)&=&(-1)^{3+3}\begin{vmatrix}1&0\\2&1\end{vmatrix}=1 \end{eqnarray}$$

ดังนั้น $$\begin{eqnarray}\operatorname{adj}(A)&=&\begin{bmatrix}C_{11}(A)& C_{12}(A)& C_{13}(A)\\ C_{21}(A)&C_{22}(A)&C_{23}(A)\\C_{31}(A)&C_{32}(A)&C_{33}(A)\end{bmatrix}^t\\ &=&\begin{bmatrix}1&-2&-3\\-1&0&1\\-1&2&1\end{bmatrix}^t\\ &=&\begin{bmatrix}1&-1&-1\\-2&0&2\\-3&1&1\end{bmatrix}\end{eqnarray}$$

การหาอินเวอร์สของเมทริกซ์โดยใช้แอดจอยท์และดีเทอร์มิแนนต์

ให้ $A$ เป็นเมทริกซ์มิติ $n\times n$ เมื่อ $n\geq 2$

สมบัติของอินเวอร์สการคูณเมทริกซ์

ให้ $A$ และ $B$  เป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐานมีมิติ $n\times n$, $I_n$ เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ และ $c$ เป็นจำนวนจริงแล้ว