อินเวอร์สการคูณของเมทริกซ์คืออะไร
ให้ $A$ เป็นเมทริกซ์มิติ $n\times n$ ถ้า $B$ เป็น เมทริกซ์มิติ $n\times n$ และมีสมบัติว่า
$$AB=BA=I_n$$
เมื่อ $I_n$ เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์แล้วเราเรียก $B$ ว่าเป็นเมทริกซ์อินเวอร์สของ $A$ และเขียน $B$ แทนด้วย $A^{-1}$
อินเวอร์สของเมทริกซ์ขนาด $2\times2$
ให้ $A=\begin{bmatrix} a&b\\c&d\end{bmatrix}$ และ $\det A=ad-cb \neq 0$ แล้ว
$$A^{-1}=\displaystyle\frac{1}{ad-cb}\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}$$
ตัวอย่างการหาอินเวอร์สของเมทริกซ์ขนาด $2\times2$
ให้ $A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$
เนื่องจาก $\det A=1\cdot 4-2\cdot 3=-2\neq 0$ ดังนั้น $A^{-1}$ หาค่าได้คือ
$$\begin{eqnarray}A^{-1}&=&\frac{1}{-2}\begin{bmatrix}4&-2\\-3&1\end{bmatrix}\\
&=&\begin{bmatrix}-2&1\\\frac{3}{2}&\frac{-1}{2}\end{bmatrix}\end{eqnarray}$$
แอดจอยท์
ให้ $A$ เป็นเมทริกซ์มิติ $n\times n$ เมื่อ $n\geq 2$
$$\operatorname{adj}(A)=[C_{ij}(A)]^t$$
ถ้า $A$ มีมิติ $3\times 3$ เราจะได้ว่า
$$\begin{eqnarray}\operatorname{adj}(A)&=&\begin{bmatrix}C_{11}(A)& C_{12}(A)& C_{13}(A)\\ C_{21}(A)&C_{22}(A)&C_{23}(A)\\C_{31}(A)&C_{32}(A)&C_{33}(A)\end{bmatrix}^t\\
&=&\begin{bmatrix}C_{11}(A)& C_{21}(A)& C_{31}(A)\\ C_{12}(A)&C_{22}(A)&C_{32}(A)\\C_{13}(A)&C_{23}(A)&C_{33}(A)\end{bmatrix}\end{eqnarray}$$
เมื่อ $C_{ij}(A)$ คือโคแฟกเตอร์ของเมทริกซ์ $A$
ตัวอย่างการหาแอดจอยท์ของเมทริกซ์
ให้ $A=\begin{bmatrix}1&0&1\\2&1&0\\1&-1&1\end{bmatrix}$ จงหา $\operatorname{adj}$
$$\begin{eqnarray}C_{11}(A)&=&(-1)^{1+1}\begin{vmatrix}1&0\\-1&1\end{vmatrix}=1\\
C_{12}(A)&=&(-1)^{1+2}\begin{vmatrix}2&0\\1&1\end{vmatrix}=-2\\
C_{13}(A)&=&(-1)^{1+3}\begin{vmatrix}2&1\\1&1\end{vmatrix}=-3\\
C_{21}(A)&=&(-1)^{2+1}\begin{vmatrix}0&1\\-1&1\end{vmatrix}=-1\\
C_{22}(A)&=&(-1)^{2+2}\begin{vmatrix}1&1\\1&1\end{vmatrix}=0\\
C_{23}(A)&=&(-1)^{2+3}\begin{vmatrix}1&0\\1&-1\end{vmatrix}=1\\
C_{31}(A)&=&(-1)^{3+1}\begin{vmatrix}0&1\\1&0\end{vmatrix}=-1\\
C_{32}(A)&=&(-1)^{3+2}\begin{vmatrix}1&1\\2&0\end{vmatrix}=2\\
C_{33}(A)&=&(-1)^{3+3}\begin{vmatrix}1&0\\2&1\end{vmatrix}=1 \end{eqnarray}$$
ดังนั้น $$\begin{eqnarray}\operatorname{adj}(A)&=&\begin{bmatrix}C_{11}(A)& C_{12}(A)& C_{13}(A)\\ C_{21}(A)&C_{22}(A)&C_{23}(A)\\C_{31}(A)&C_{32}(A)&C_{33}(A)\end{bmatrix}^t\\
&=&\begin{bmatrix}1&-2&-3\\-1&0&1\\-1&2&1\end{bmatrix}^t\\
&=&\begin{bmatrix}1&-1&-1\\-2&0&2\\-3&1&1\end{bmatrix}\end{eqnarray}$$
การหาอินเวอร์สของเมทริกซ์โดยใช้แอดจอยท์และดีเทอร์มิแนนต์
ให้ $A$ เป็นเมทริกซ์มิติ $n\times n$ เมื่อ $n\geq 2$
$$A^{-1}=\displaystyle\frac{1}{\det A}\operatorname{adj}(A)$$
เมื่อ $\det A\neq 0$
จากสูตรของ $A^{-1}$ จะสังเกตได้ว่า
$$\det A\quad\begin{cases} \neq 0 \text{ จะได้ว่า} A^{-1} \text{หาค่าได้ } \\
=0 \text{จะได้ว่า} A^{-1} \text{ หาค่าไม่ได้} \end{cases}$$
เมื่อ $A^{-1}$ หาค่าได้ ($\det A\neq 0$) เราเรียกเมทริกซ์ $A$ ว่าเมทริกซ์ไม่เอกฐาน (nonsingular matrix)
และเมื่อ $A^{-1}$ หาค่าไม่ได้ ($\det A= 0$) เราเรียกเมทริกซ์ $A$ ว่าเมทริกซ์เอกฐาน (singular matrix)
ตัวอย่างการหาการหาอินเวอร์สของเมทริกซ์โดยใช้แอดจอยท์และดีเทอร์มิแนนต์
ให้ $A=\begin{bmatrix}1&0&1\\2&1&0\\1&-1&1\end{bmatrix}$
เนื่องจาก $\det A=-2$ และจากตัวอย่างด้านบน เราทราบค่าของ $\operatorname{adj}(A)$
ดังนั้น
$$\begin{eqnarray}A^{-1}&=&\displaystyle\frac{1}{\det A}\operatorname{adj}(A)\\
&=&\displaystyle\frac{-1}{2}\begin{bmatrix}1&-1&-1\\-2&0&2\\-3&1&1\end{bmatrix}\end{eqnarray}$$
นอกจากวิธีนี้เรายังสามารถหาอินเวอร์สของเมทริกซ์ได้อีกวิธีโดย การหาอินเวอร์สการคูณโดยการดำเนินการตามแถว
สมบัติของอินเวอร์สการคูณเมทริกซ์
ให้ $A$ และ $B$ เป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐานมีมิติ $n\times n$, $I_n$ เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ และ $c$ เป็นจำนวนจริงแล้ว
1. $\left(A^{-1}\right)^{-1}=A$
2. $\left(AB\right)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$
3. $\left(A^t\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^t$
4. $\left(cA\right)^{-1}=\displaystyle\frac{1}{c}\left(A\right)^{-1}$ เมื่อ $c\neq 0$
5. $AA^{-1}=I_n=A^{-1}A$
6. $\left(A^n\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^n$