อินเวอร์สการคูณเมทริกซ์ (Matrix Inverse)


อินเวอร์สการคูณของเมทริกซ์คืออะไร

ให้ $A$ เป็นเมทริกซ์มิติ $n\times n$  ถ้า $B$ เป็น เมทริกซ์มิติ $n\times n$ และมีสมบัติว่า

$$AB=BA=I_n$$

เมื่อ $I_n$ เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์แล้วเราเรียก $B$ ว่าเป็นเมทริกซ์อินเวอร์สของ $A$ และเขียน $B$ แทนด้วย $A^{-1}$

อินเวอร์สของเมทริกซ์ขนาด $2\times2$

ให้ $A=\begin{bmatrix} a&b\\c&d\end{bmatrix}$ และ $\det A=ad-cb \neq 0$ แล้ว

$$A^{-1}=\displaystyle\frac{1}{ad-cb}\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}$$

   ตัวอย่างการหาอินเวอร์สของเมทริกซ์ขนาด $2\times2$

ให้ $A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$
เนื่องจาก $\det A=1\cdot 4-2\cdot 3=-2\neq 0$ ดังนั้น $A^{-1}$  หาค่าได้คือ

$$\begin{eqnarray}A^{-1}&=&\frac{1}{-2}\begin{bmatrix}4&-2\\-3&1\end{bmatrix}\\
&=&\begin{bmatrix}-2&1\\\frac{3}{2}&\frac{-1}{2}\end{bmatrix}\end{eqnarray}$$

 

แอดจอยท์

ให้ $A$ เป็นเมทริกซ์มิติ $n\times n$ เมื่อ $n\geq 2$

$$\operatorname{adj}(A)=[C_{ij}(A)]^t$$

ถ้า $A$ มีมิติ $3\times 3$ เราจะได้ว่า

$$\begin{eqnarray}\operatorname{adj}(A)&=&\begin{bmatrix}C_{11}(A)& C_{12}(A)& C_{13}(A)\\ C_{21}(A)&C_{22}(A)&C_{23}(A)\\C_{31}(A)&C_{32}(A)&C_{33}(A)\end{bmatrix}^t\\
&=&\begin{bmatrix}C_{11}(A)& C_{21}(A)& C_{31}(A)\\ C_{12}(A)&C_{22}(A)&C_{32}(A)\\C_{13}(A)&C_{23}(A)&C_{33}(A)\end{bmatrix}\end{eqnarray}$$

เมื่อ $C_{ij}(A)$  คือโคแฟกเตอร์ของเมทริกซ์ $A$

   ตัวอย่างการหาแอดจอยท์ของเมทริกซ์

ให้ $A=\begin{bmatrix}1&0&1\\2&1&0\\1&-1&1\end{bmatrix}$ จงหา $\operatorname{adj}$

$$\begin{eqnarray}C_{11}(A)&=&(-1)^{1+1}\begin{vmatrix}1&0\\-1&1\end{vmatrix}=1\\
C_{12}(A)&=&(-1)^{1+2}\begin{vmatrix}2&0\\1&1\end{vmatrix}=-2\\
C_{13}(A)&=&(-1)^{1+3}\begin{vmatrix}2&1\\1&1\end{vmatrix}=-3\\
C_{21}(A)&=&(-1)^{2+1}\begin{vmatrix}0&1\\-1&1\end{vmatrix}=-1\\
C_{22}(A)&=&(-1)^{2+2}\begin{vmatrix}1&1\\1&1\end{vmatrix}=0\\
C_{23}(A)&=&(-1)^{2+3}\begin{vmatrix}1&0\\1&-1\end{vmatrix}=1\\
C_{31}(A)&=&(-1)^{3+1}\begin{vmatrix}0&1\\1&0\end{vmatrix}=-1\\
C_{32}(A)&=&(-1)^{3+2}\begin{vmatrix}1&1\\2&0\end{vmatrix}=2\\
C_{33}(A)&=&(-1)^{3+3}\begin{vmatrix}1&0\\2&1\end{vmatrix}=1 \end{eqnarray}$$

ดังนั้น $$\begin{eqnarray}\operatorname{adj}(A)&=&\begin{bmatrix}C_{11}(A)& C_{12}(A)& C_{13}(A)\\ C_{21}(A)&C_{22}(A)&C_{23}(A)\\C_{31}(A)&C_{32}(A)&C_{33}(A)\end{bmatrix}^t\\
&=&\begin{bmatrix}1&-2&-3\\-1&0&1\\-1&2&1\end{bmatrix}^t\\
&=&\begin{bmatrix}1&-1&-1\\-2&0&2\\-3&1&1\end{bmatrix}\end{eqnarray}$$

การหาอินเวอร์สของเมทริกซ์โดยใช้แอดจอยท์และดีเทอร์มิแนนต์

ให้ $A$ เป็นเมทริกซ์มิติ $n\times n$ เมื่อ $n\geq 2$

$$A^{-1}=\displaystyle\frac{1}{\det A}\operatorname{adj}(A)$$
เมื่อ $\det A\neq 0$

จากสูตรของ $A^{-1}$ จะสังเกตได้ว่า

$$\det A\quad\begin{cases} \neq 0  \text{   จะได้ว่า}    A^{-1}   \text{หาค่าได้ } \\
=0   \text{จะได้ว่า}   A^{-1}  \text{  หาค่าไม่ได้} \end{cases}$$

เมื่อ $A^{-1}$ หาค่าได้ ($\det A\neq 0$) เราเรียกเมทริกซ์ $A$  ว่าเมทริกซ์ไม่เอกฐาน (nonsingular matrix)
และเมื่อ $A^{-1}$ หาค่าไม่ได้ ($\det A= 0$) เราเรียกเมทริกซ์ $A$  ว่าเมทริกซ์เอกฐาน (singular matrix)

   ตัวอย่างการหาการหาอินเวอร์สของเมทริกซ์โดยใช้แอดจอยท์และดีเทอร์มิแนนต์

ให้ $A=\begin{bmatrix}1&0&1\\2&1&0\\1&-1&1\end{bmatrix}$

เนื่องจาก $\det A=-2$ และจากตัวอย่างด้านบน เราทราบค่าของ $\operatorname{adj}(A)$

ดังนั้น
$$\begin{eqnarray}A^{-1}&=&\displaystyle\frac{1}{\det A}\operatorname{adj}(A)\\
&=&\displaystyle\frac{-1}{2}\begin{bmatrix}1&-1&-1\\-2&0&2\\-3&1&1\end{bmatrix}\end{eqnarray}$$

นอกจากวิธีนี้เรายังสามารถหาอินเวอร์สของเมทริกซ์ได้อีกวิธีโดย การหาอินเวอร์สการคูณโดยการดำเนินการตามแถว

สมบัติของอินเวอร์สการคูณเมทริกซ์

ให้ $A$ และ $B$  เป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐานมีมิติ $n\times n$, $I_n$ เป็นเมทริกซ์เอกลักษณ์ และ $c$ เป็นจำนวนจริงแล้ว

1.  $\left(A^{-1}\right)^{-1}=A$

2.  $\left(AB\right)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$

3.  $\left(A^t\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^t$

4.  $\left(cA\right)^{-1}=\displaystyle\frac{1}{c}\left(A\right)^{-1}$  เมื่อ $c\neq 0$

5.  $AA^{-1}=I_n=A^{-1}A$

6.  $\left(A^n\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^n$

 

คำคล้าย: 
  • อินเวอร์สการคูณเมทริกซ์
  • Matrix Inverse