การบวกลบและการคูณเมทริกซ์ | OpenDurian เตรียมสอบ TOEIC IELTS TCAS ก.พ.

การบวกลบและการคูณเมทริกซ์

(matrix addition and multiplication)

การบวกลบเมทริกซ์และคูณการเมทริกซ์ด้วยค่าคงตัว

ถ้า $A$ และ $B$ เป็นเมทริกซ์ที่มีมิติเท่ากันโดยเขียนแทนด้วย $A=[a_{ij}]_{m\times n}$ , $B=[b_{ij}]_{m\times n}$ และ $k$ เป็นจำนวนจริง จะได้ว่า

\begin{array}{rcl} A + B & = & [a_{i j} + b_{i j}]_{m \times n} \\ A - B & = & [a_{i j} - b_{i j}]_{m \times n} \\ k A & = & [k a_{i j}]_{m \times n} \end{array}

$\begin{eqnarray}A+B&=&[a_{ij}+b_{ij}]_{m\times n}\\ A-B&=&[a_{ij}-b_{ij}]_{m\times n}\\ kA&=&[ka_{ij}]_{m\times n}\end{eqnarray}$

ตัวอย่างของการบวกเมทริกซ์ ให้ $A=\begin{bmatrix}1&2&4\\3&6&5 \end{bmatrix}$ , $B=\begin{bmatrix}0&5&8\\1&3&2 \end{bmatrix}$ และ $k=5$ ดังนั้น

$\begin{array}{rcl} A + B & = & [\begin{matrix} 1 & 2 & 4 \\ 3 & 6 & 5 \end{matrix}] + [\begin{matrix} 0 & 5 & 8 \\ 1 & 3 & 2 \end{matrix}] \\ = & [\begin{matrix} 1 + 0 & 2 + 5 & 4 + 8 \\ 3 + 1 & 6 + 3 & 5 + 2 \end{matrix}] \\ = & [\begin{matrix} 1 & 7 & 12 \\ 4 & 9 & 7 \end{matrix}] \end{array}$
$\begin{eqnarray}A+B&=&\begin{bmatrix}1&2&4\\3&6&5 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0&5&8\\1&3&2 \end{bmatrix}\\ &=&\begin{bmatrix}1+0&2+5&4+8\\3+1&6+3&5+2 \end{bmatrix}\\ &=&\begin{bmatrix}1&7&12\\4&9&7 \end{bmatrix}\end{eqnarray}$

และ

$\begin{array}{rcl} A - B & = & [\begin{matrix} 1 & 2 & 4 \\ 3 & 6 & 5 \end{matrix}] - [\begin{matrix} 0 & 5 & 8 \\ 1 & 3 & 2 \end{matrix}] \\ = & [\begin{matrix} 1 - 0 & 2 - 5 & 4 - 8 \\ 3 - 1 & 6 - 3 & 5 - 2 \end{matrix}] \\ = & [\begin{matrix} 1 & - 3 & - 4 \\ 2 & 3 & 3 \end{matrix}] \end{array}$
$\begin{eqnarray}A-B&=&\begin{bmatrix}1&2&4\\3&6&5 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix}0&5&8\\1&3&2 \end{bmatrix}\\ &=&\begin{bmatrix}1-0&2-5&4-8\\3-1&6-3&5-2 \end{bmatrix}\\ &=&\begin{bmatrix}1&-3&-4\\2&3&3 \end{bmatrix}\end{eqnarray}$

และ

$\begin{array}{rcl} 5 A & = & 5 [\begin{matrix} 1 & 2 & 4 \\ 3 & 6 & 5 \end{matrix}] \\ = & [\begin{matrix} 5 \cdot 1 & 5 \cdot 2 & 5 \cdot 4 \\ 5 \cdot 3 & 5 \cdot 6 & 5 \cdot 5 \end{matrix}] \\ = & [\begin{matrix} 5 & 10 & 20 \\ 15 & 30 & 25 \end{matrix}] \end{array}$
$\begin{eqnarray}5A&=&5\begin{bmatrix}1&2&4\\3&6&5 \end{bmatrix}\\ &=&\begin{bmatrix}5\cdot 1&5\cdot 2&5\cdot 4\\5\cdot 3&5\cdot 6&5\cdot 5 \end{bmatrix}\\ &=&\begin{bmatrix}5&10&20\\15&30&25 \end{bmatrix}\end{eqnarray}$

สมบัติการบวกลบเมทริกซ์และการคูณเมทริกซ์ด้วยค่าคงตัว

ให้ $A, B, C, \bar{0}$ เป็น เมทริกซ์มีมิติ $m\times n$ และ $c, d$ เป็นจำนวนจริงใด ๆ จะได้ว่า

A + B

$A+B$ เป็นเมทริกซ์ที่มีมิติ

m \times n

$m\times n$

2.

A + B = B + A

$A+B=B+A$

3.

A + (B + C) = (A + B) + C

$A+(B+C)=(A+B)+C$

4.

A + \bar{0} = A = \bar{0} + A

$A+\bar{0}=A=\bar{0}+A$

5.

A + (- A) = \bar{0} = (- A) + A

$A+(-A)=\bar{0}=(-A)+A$

6.

c (A + B) = c A + c B

$c(A+B)=cA+cB$

7.

c A + d A = (c + d) A

$cA+dA=(c+d)A$

8.

(c d) A = c (d A)

$(cd)A=c(dA)$

9.

1 \cdot A = A

$1\cdot A=A$

10.

- 1 \cdot A = - A

$-1\cdot A=-A$

11.

0 \cdot A = \bar{0}

$0\cdot A=\bar{0}$

การคูณเมทริกซ์

ถ้า $A=[a_{ij}]_{m\times n}$ และ $B=[b_{ij}]_{p\times q}$

$A\times B$ หาค่าได้เมื่อ $n=p$

$A\times B=C$ โดยที่ $C$ มีมิติ $m\times q$

ซึ่ง $C=[c_{ij}]_{m\times q}$ โดยที่

c_{i j} = a_{i 1} b_{1 j} + a_{i 2} b_{2 j} + \dots + a_{i n} b_{n j}

$c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\ldots+a_{in}b_{nj}$

เพื่อความง่ายต่อการเข้าใจจะขอยกตัวอย่างดังนี้

ตัวอย่างการคูณเมทริกซ์

ให้ $A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23} \end{bmatrix}_{2\times 3}$ และ $B=\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\\b_{31}&b_{32}\end{bmatrix}_{3\times 2}$

$\begin{array}{rcl} A \times B & = & {[\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{matrix}]}_{2 \times 3} \times {[\begin{matrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \\ b_{31} & b_{32} \end{matrix}]}_{3 \times 2} \\ = & [\begin{matrix} a_{11} b_{11} + a_{12} b_{21} + a_{13} b_{31} & a_{11} b_{12} + a_{12} b_{22} + a_{13} b_{32} \\ a_{11} b_{12} + a_{12} b_{22} + a_{13} b_{32} & a_{21} b_{12} + a_{22} b_{22} + a_{23} b_{32} \end{matrix}] \\ = & {[\begin{matrix} c_{11} & c_{12} \\ c_{21} & c_{22} \end{matrix}]}_{2 \times 2} \end{array}$
$\begin{eqnarray}A\times B&=&\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23} \end{bmatrix}_{2\times 3}\times \begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\\b_{31}&b_{32}\end{bmatrix}_{3\times 2}\\ &=&\begin{bmatrix}a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}+a_{13}b_{31}&a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}+a_{13}b_{32}\\ a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}+ a_{13}b_{32}&a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}+ a_{23}b_{32}\end{bmatrix}\\ &=&\begin{bmatrix}c_{11}&c_{12}\\c_{21}&c_{22}\end{bmatrix}_{2\times 2}\end{eqnarray}$

ดังนั้นผลคูณของ $A$ กับ $B$ คือ $C=\begin{bmatrix}c_{11}&c_{12}\\c_{21}&c_{22}\end{bmatrix}_{2\times 2}$

ตัวอย่างการคูณเมทริกซ์
ให้ $A=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6 \end{bmatrix}_{2\times 3}$ และ $B=\begin{bmatrix}1&1\\2&3\\5&0\end{bmatrix}_{3\times 2}$

$\begin{array}{rcl} A \times B & = & {[\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{matrix}]}_{2 \times 3} \times {[\begin{matrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \\ 5 & 0 \end{matrix}]}_{3 \times 2} \\ = & [\begin{matrix} 1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 + 3 \cdot 5 & 1 \cdot 1 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 0 \\ 4 \cdot 1 + 5 \cdot 2 + 6 \cdot 5 & 4 \cdot 1 + 5 \cdot 3 + 6 \cdot 0 \end{matrix}] \\ = & [\begin{matrix} 20 & 7 \\ 44 & 19 \end{matrix}] \end{array}$
$\begin{eqnarray}A\times B&=&\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6 \end{bmatrix}_{2\times 3}\times \begin{bmatrix}1&1\\2&3\\5&0\end{bmatrix}_{3\times 2}\\ &=&\begin{bmatrix}1\cdot 1+2\cdot 2+3\cdot 5&1\cdot1+2\cdot 3+3\cdot 0\\4\cdot 1+5\cdot 2+6\cdot 5& 4\cdot 1+5\cdot 3+6\cdot 0 \end{bmatrix}\\ &=&\begin{bmatrix}20&7\\44&19\end{bmatrix} \end{eqnarray}$

ดังนั้นผลคูณของ $A$ กับ $B$ คือ $C=\begin{bmatrix}20&7\\44&19\end{bmatrix}_{2\times 2}$

สมบัติของเมทริกซ์เกี่ยวกับการคูณและทรานสโพส

ถ้า $A, B, C, D, E, F$ เป็นเมทริกซ์และ $k$ เป็นจำนวนจริง แล้ว

1. $A(BC)=(AB)C=ABC$

2. $\bar{0}\cdot A=\bar{0}, A\cdot \bar{0}=\bar{0}$     โดยที่ $\bar{0}$ แต่ละตัวเป็นเมทริกซ์ศูนย์ที่อาจมีมิติไม่เท่ากัน

3. $I_m\times A=A,   A\times I_n=A$

4. $(kA)B=A(kB)=k(AB)$

5. $A(B+D)=AB+AD$

6. $(A+E)B=AB+EB$

7. $(A+ F)^t=A^t+ F^t$    และ $(A- F)^t=A^t- F^t$

8. $(AB)^t= B^tA^t$

9. $\left(A^t\right)^t=A$

10. $(kA)^t=kA^t$

ข้อควรระวัง ก่อนที่จะนำสมบัติของเมทริกซ์เกี่ยวกับการคูณ และทรานสโพสของเมทริกซ์ไปใช้

กรณี $A,B,C, ..., F$ เป็นเมทริกซ์จตุรัสขนาด $n\times n$ จะได้ $\bar{0}, I_m$ และ $I_n$ มีมิติเป็น $n\times n$ ด้วยเช่นกัน
กรณีอื่นๆ จะต้องระวังว่าสมบัติเหล่านี้จะใช้ได้ก็ต่อเมื่อเมทริกซ์เหล่านี้มีมิติที่สามารถคูณกันได้

คำคล้าย : การบวกลบและการคูณเมทริกซ์

Under Growing

"คลังความรู้" กำลังอยู่ในระหว่างการพัฒนา พี่ๆ กำลังทยอยเพิ่มบทความและปรับปรุงรูปแบบให้อ่านง่าย ใช้ทบทวนความรู้ได้จริง รีเควสหัวข้อ หรือมีข้อเสนอแนะ ทวีตมาคุยกับพี่ๆ ได้เลยจ้า

@Opendurian

คอร์สแนะนำ

หนังสือแนะนำ