การบวกลบและการคูณเมทริกซ์ (Matrix Addition and Multiplication)


การบวกลบเมทริกซ์และคูณการเมทริกซ์ด้วยค่าคงตัว

ถ้า $A$ และ $B$ เป็นเมทริกซ์ที่มีมิติเท่ากันโดยเขียนแทนด้วย  $A=[a_{ij}]_{m\times n}$,   $B=[b_{ij}]_{m\times n}$ และ $k$ เป็นจำนวนจริง จะได้ว่า

$$\begin{eqnarray}A+B&=&[a_{ij}+b_{ij}]_{m\times n}\\
A-B&=&[a_{ij}-b_{ij}]_{m\times n}\\
kA&=&[ka_{ij}]_{m\times n}\end{eqnarray}$$

ตัวอย่างของการบวกเมทริกซ์ ให้ $A=\begin{bmatrix}1&2&4\\3&6&5 \end{bmatrix}$,  $B=\begin{bmatrix}0&5&8\\1&3&2 \end{bmatrix}$ และ $k=5$ ดังนั้น


$$\begin{eqnarray}A+B&=&\begin{bmatrix}1&2&4\\3&6&5 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0&5&8\\1&3&2 \end{bmatrix}\\
&=&\begin{bmatrix}1+0&2+5&4+8\\3+1&6+3&5+2 \end{bmatrix}\\
&=&\begin{bmatrix}1&7&12\\4&9&7 \end{bmatrix}\end{eqnarray}$$

และ

$$\begin{eqnarray}A-B&=&\begin{bmatrix}1&2&4\\3&6&5 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix}0&5&8\\1&3&2 \end{bmatrix}\\
&=&\begin{bmatrix}1-0&2-5&4-8\\3-1&6-3&5-2 \end{bmatrix}\\
&=&\begin{bmatrix}1&-3&-4\\2&3&3 \end{bmatrix}\end{eqnarray}$$

และ

$$\begin{eqnarray}5A&=&5\begin{bmatrix}1&2&4\\3&6&5 \end{bmatrix}\\
&=&\begin{bmatrix}5\cdot 1&5\cdot 2&5\cdot 4\\5\cdot 3&5\cdot 6&5\cdot 5 \end{bmatrix}\\
&=&\begin{bmatrix}5&10&20\\15&30&25 \end{bmatrix}\end{eqnarray}$$

สมบัติการบวกลบเมทริกซ์และการคูณเมทริกซ์ด้วยค่าคงตัว

ให้ $A, B, C, \bar{0}$ เป็น เมทริกซ์มีมิติ  $m\times n$  และ $c, d$ เป็นจำนวนจริงใด ๆ จะได้ว่า

1.  $A+B$ เป็นเมทริกซ์ที่มีมิติ $m\times n$

2. $A+B=B+A$

3. $A+(B+C)=(A+B)+C$

4. $A+\bar{0}=A=\bar{0}+A$

5. $A+(-A)=\bar{0}=(-A)+A$

6. $c(A+B)=cA+cB$

7. $cA+dA=(c+d)A$

8. $(cd)A=c(dA)$

9. $1\cdot A=A$

10. $-1\cdot A=-A$

11. $0\cdot A=\bar{0}$

การคูณเมทริกซ์

ถ้า  $A=[a_{ij}]_{m\times n}$  และ $B=[b_{ij}]_{p\times q}$

$A\times B$ หาค่าได้เมื่อ $n=p$

$A\times B=C$ โดยที่ $C$ มีมิติ $m\times q$

ซึ่ง $C=[c_{ij}]_{m\times q}$ โดยที่

$$c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+\ldots+a_{in}b_{nj}$$

เพื่อความง่ายต่อการเข้าใจจะขอยกตัวอย่างดังนี้

ตัวอย่างการคูณเมทริกซ์

ให้ $A=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23} \end{bmatrix}_{2\times 3}$  และ  $B=\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\\b_{31}&b_{32}\end{bmatrix}_{3\times 2}$

$$\begin{eqnarray}A\times B&=&\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23} \end{bmatrix}_{2\times 3}\times \begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}\\b_{21}&b_{22}\\b_{31}&b_{32}\end{bmatrix}_{3\times 2}\\
&=&\begin{bmatrix}a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}+a_{13}b_{31}&a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}+a_{13}b_{32}\\
a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}+ a_{13}b_{32}&a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}+ a_{23}b_{32}\end{bmatrix}\\
&=&\begin{bmatrix}c_{11}&c_{12}\\c_{21}&c_{22}\end{bmatrix}_{2\times 2}\end{eqnarray}$$

ดังนั้นผลคูณของ $A$ กับ $B$ คือ  $C=\begin{bmatrix}c_{11}&c_{12}\\c_{21}&c_{22}\end{bmatrix}_{2\times 2}$

ตัวอย่างการคูณเมทริกซ์
ให้ $A=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6 \end{bmatrix}_{2\times 3}$  และ  $B=\begin{bmatrix}1&1\\2&3\\5&0\end{bmatrix}_{3\times 2}$


$$\begin{eqnarray}A\times B&=&\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6 \end{bmatrix}_{2\times 3}\times \begin{bmatrix}1&1\\2&3\\5&0\end{bmatrix}_{3\times 2}\\
&=&\begin{bmatrix}1\cdot 1+2\cdot 2+3\cdot 5&1\cdot1+2\cdot 3+3\cdot 0\\4\cdot 1+5\cdot 2+6\cdot 5& 4\cdot 1+5\cdot 3+6\cdot 0 \end{bmatrix}\\
&=&\begin{bmatrix}20&7\\44&19\end{bmatrix}
\end{eqnarray}$$

ดังนั้นผลคูณของ $A$ กับ $B$ คือ  $C=\begin{bmatrix}20&7\\44&19\end{bmatrix}_{2\times 2}$

สมบัติของเมทริกซ์เกี่ยวกับการคูณและทรานสโพส

ถ้า  $A,  B,  C,  D,  E,  F$ เป็นเมทริกซ์และ $k$ เป็นจำนวนจริง แล้ว

1.  $A(BC)=(AB)C=ABC$

2.  $\bar{0}\cdot A=\bar{0}, A\cdot \bar{0}=\bar{0}$    โดยที่ $\bar{0}$ แต่ละตัวเป็นเมทริกซ์ศูนย์ที่อาจมีมิติไม่เท่ากัน

3. $I_m\times A=A,   A\times I_n=A$

4. $(kA)B=A(kB)=k(AB)$

5. $A(B+D)=AB+AD$

6. $(A+E)B=AB+EB$

7. $(A+ F)^t=A^t+ F^t$   และ  $(A- F)^t=A^t- F^t$

8.   $(AB)^t= B^tA^t$

9. $\left(A^t\right)^t=A$

10. $(kA)^t=kA^t$

ข้อควรระวัง ก่อนที่จะนำสมบัติของเมทริกซ์เกี่ยวกับการคูณ และทรานสโพสของเมทริกซ์ไปใช้
 

  • กรณี $A,B,C, ..., F$ เป็นเมทริกซ์จตุรัสขนาด $n\times n$ จะได้   $\bar{0},  I_m$ และ $I_n$ มีมิติเป็น $n\times n$ ด้วยเช่นกัน
     
  • กรณีอื่นๆ จะต้องระวังว่าสมบัติเหล่านี้จะใช้ได้ก็ต่อเมื่อเมทริกซ์เหล่านี้มีมิติที่สามารถคูณกันได้
คำคล้าย: 
  • การบวกลบและการคูณเมทริกซ์
  • Matrix Addition and Multiplication