การสมมูลกันและการลดรูปประพจน์ | OpenDurian เตรียมสอบ TOEIC IELTS TCAS ก.พ.

การสมมูลกันและการลดรูปประพจน์

(logical equivalence and statement simplification)

ประพจน์ที่สมมูลกัน หมายถึง ประพจน์ที่ ไม่ว่าค่าความจริงของประพจน์ย่อยจะเป็นอะไรก็ตาม สุดท้ายจะต้องได้ค่าความจริงที่เหมือนกันเสมอ

การตรวจสอบการสมมูลกันโดยการสร้างตารางค่าความจริง

ในการตรวจสอบการสมมูลนั้นเราจะใช้วิธีการสร้างตารางค่าความจริงของทั้งสองประพจน์เพื่อเปรียบเทียบค่าความจริงในทุกกรณี

เช่น

ตรวจสอบการสมมูลโดยการสร้างตารางค่าความจริง

$p\wedge(q\vee{r})$ สมมูลกับ $(p\wedge{q})\vee(p\wedge{r})$ หรือไม่

จากสองประพจน์ที่กำหนดให้ มีประพจน์ย่อยทั้งหมด $3$ ประพจน์ ดังนั้น มีกรณีทั้งหมด $2^3=8$ ประพจน์

สร้างตารางค่าความจริงของ $p\wedge(q\vee{r})$ จะได้

$p$	$q$	$r$	$q\vee{r}$	$p\wedge(q\vee{r})$
$T$	$T$	$T$	$T$	$T$
$T$	$T$	$F$	$T$	$T$
$T$	$F$	$T$	$T$	$T$
$T$	$F$	$F$	$F$	$F$
$F$	$T$	$T$	$T$	$F$
$F$	$T$	$F$	$T$	$F$
$F$	$F$	$T$	$T$	$F$
$F$	$F$	$F$	$F$	$F$

สร้างตารางค่าความจริงของ $(p\wedge{q})\vee(p\wedge{r})$

$p$	$q$	$r$	$p\wedge{q}$	$p\wedge{r}$	$(p\wedge{q})\vee(p\wedge{r})$
$T$	$T$	$T$	$T$	$T$	$T$
$T$	$T$	$F$	$T$	$F$	$T$
$T$	$F$	$T$	$F$	$T$	$T$
$T$	$F$	$F$	$F$	$F$	$F$
$F$	$T$	$T$	$F$	$F$	$F$
$F$	$T$	$F$	$F$	$F$	$F$
$F$	$F$	$T$	$F$	$F$	$F$
$F$	$F$	$F$	$F$	$F$	$F$

เปรียบเทียบค่าความจริงของทั้งสองประพจน์

$p$	$q$	$r$	$p\wedge(q\vee{r})$	$(p\wedge{q})\vee(p\wedge{r})$
$T$	$T$	$T$	$T$	$T$
$T$	$T$	$F$	$T$	$T$
$T$	$F$	$T$	$T$	$T$
$T$	$F$	$F$	$F$	$F$
$F$	$T$	$T$	$F$	$F$
$F$	$T$	$F$	$F$	$F$
$F$	$F$	$T$	$F$	$F$
$F$	$F$	$F$	$F$	$F$

จะเห็นว่าในทุกกรณีของประพจน์ย่อย ทั้งสองประพจน์จะให้ค่าความจริงที่เหมือนกันเสมอ

ดังนั้นทั้งสองประพจน์สมมูลกัน

สมมูลกัน

ตรวจสอบการสมมูลโดยการสร้างตารางค่าความจริง

$p\vee(q\rightarrow{r})$ สมมูลกับ $(p\vee{q})\rightarrow{r}$ หรือไม่

สร้างตารางค่าความจริงของ $p\vee(q\rightarrow{r})$ จะได้

$p$	$q$	$r$	$q\rightarrow{r}$	$p\vee(q\rightarrow{r})$
$T$	$T$	$T$	$T$	$T$
$T$	$T$	$F$	$F$	$T$
$T$	$F$	$T$	$T$	$T$
$T$	$F$	$F$	$T$	$T$
$F$	$T$	$T$	$T$	$T$
$F$	$T$	$F$	$F$	$F$
$F$	$F$	$T$	$T$	$T$
$F$	$F$	$F$	$T$	$T$

สร้างตารางค่าความจริงของ $(p\vee{q})\rightarrow{r}$ จะได้

$p$	$q$	$r$	$p\vee{q}$	$(p\vee{q})\rightarrow{r}$
$T$	$T$	$T$	$T$	$T$
$T$	$T$	$F$	$T$	$F$
$T$	$F$	$T$	$T$	$T$
$T$	$F$	$F$	$T$	$F$
$F$	$T$	$T$	$T$	$T$
$F$	$T$	$F$	$T$	$F$
$F$	$F$	$T$	$F$	$T$
$F$	$F$	$F$	$F$	$T$

เปรียบเทียบประพจน์ทั้งสอง จะได้

$p$	$q$	$r$	$p\vee(q\rightarrow{r})$	$(p\vee{q})\rightarrow{r}$
$T$	$T$	$T$	$T$	$T$
$T$	$T$	$F$	$T$	$F$
$T$	$F$	$T$	$T$	$T$
$T$	$F$	$F$	$T$	$F$
$F$	$T$	$T$	$T$	$T$
$F$	$T$	$F$	$F$	$F$
$F$	$F$	$T$	$T$	$T$
$F$	$F$	$F$	$T$	$T$

จากตารางด้านบนจะเห็นว่ามี $2$ กรณีที่ได้ค่าความจริงออกมาไม่เหมือนกัน เราจึงสรุปได้ว่าสองประพจน์ที่กำหนดให้ไม่สมมูลกัน

$p\vee(q\rightarrow{r})$ ไม่สมมูลกับ $(p\vee{q})\rightarrow{r}$

จากตัวอย่างด้านบนจะเห็นว่าวิธีการสร้างตารางค่าความจริงจะต้องใช้เวลานานมาก ผิดพลาดได้ง่าย และต้องเขียนเยอะอีกต่างหาก วิธีนี้จึงไม่เป็นที่นิยม และไม่ค่อยมีคนใช้หรอก โดยทั่วไปเราจะใช้การลดรูปประพจน์ หรือการจัดรูปประพจน์ช่วยในการทำโจทย์ประเภทนี้มากกว่า

รูปแบบประพจน์ที่สมมูลกันที่ควรรู้

1. รูปแบบประพจน์ที่สมมูลกับประพจน์ที่มีตัวเชื่อมเป็นถ้าแล้ว $(\rightarrow)$ เรามักจะเปลี่ยนเครื่องหมายถ้าแล้ว $(\rightarrow)$ ให้อยู่ในรูปของเครื่องหมายหรือ $(\vee)$

ถ้าแล้ว

\begin{array}{rcl} p \to q & \equiv & \sim p \lor q \\ p \to q & \equiv & \sim q \to\sim q \\ (p \to q) \land (q \to p) & \equiv & p \leftrightarrow q \end{array}

$\begin{eqnarray*} p\rightarrow{q} & \equiv & \sim{p}\vee{q}\\ p\rightarrow{q} & \equiv & \sim{q}\rightarrow\sim{q}\\ (p\rightarrow{q})\wedge(q\rightarrow{p}) & \equiv & p\leftrightarrow{q} \end{eqnarray*}$

2. การกระจายนิเสธ $(\sim)$ โดยปกติเราจะกระจายนิเสธเข้าไปในตัวเชื่อมที่เป็นและ $(\wedge)$ กับตัวเชื่อมหรือ $(\vee)$ เท่านั้น ถ้าเป็นตัวเชื่อมอื่นให้เปลี่ยนเป็นตัวเชื่อม 'หรือ' หรือตัวเชื่อม 'และ' ก่อน

นิเสธ

\begin{array}{rcl} \sim (\sim p) & \equiv & p \\ \sim (p \lor q) & \equiv & \sim p \land \sim q \\ \sim (p \land q) & \equiv & \sim p \lor \sim q \end{array}

$\begin{eqnarray*} \sim(\sim{p}) & \equiv & p\\ \sim(p\vee{q})& \equiv & \sim{p}\wedge\sim{q}\\ \sim(p\wedge{q}) & \equiv & \sim{p}\vee\sim{q} \end{eqnarray*}$

3. การกระจายตัวเชื่อมและ $(\wedge)$ หรือการกระจายตัวเชื่อมหรือ $(\vee)$

การกระจาย

\begin{array}{rcl} p \lor (q \land r) & \equiv & (p \lor q) \land (p \lor r) \\ p \land (q \lor r) & \equiv & (p \land q) \lor (p \land r) \end{array}

$\begin{eqnarray*} p\vee(q\wedge{r}) & \equiv & (p\vee{q})\wedge(p\vee{r})\\ p\wedge(q\vee{r}) & \equiv & (p\wedge{q})\vee(p\wedge{r}) \end{eqnarray*}$

4. การสมูลกันของการเชื่อมประพจน์ด้วย $p$ กับ $\sim{p}$

ประพจน์ย่อยเชื่อมกับนิเสธ

\begin{array}{rcl} p \lor \sim p & \equiv & T \\ p \land \sim p & \equiv & F \\ p \to\sim p & \equiv & \sim p \\ \sim p \to p & \equiv & p \\ p \leftrightarrow\sim p & \equiv & F \end{array}

$\begin{eqnarray*} p\vee\sim{p} & \equiv & T\\ p\wedge\sim{p} & \equiv & F\\ p\rightarrow\sim{p} & \equiv & \sim{p}\\ \sim{p}\rightarrow{p} & \equiv & {p}\\ p\leftrightarrow\sim{p} & \equiv & {F} \end{eqnarray*}$

5. การสมมูลกันในกรณีที่ประพจน์ใดประพจน์หนึ่งที่รู้ค่าความจริงแล้ว

ประพจน์ที่รู้ค่าความจริง

\begin{array}{rcl} p \lor T & \equiv & T \\ p \lor F & \equiv & p \\ p \land T & \equiv & p \\ p \land F & \equiv & F \\ p \to T & \equiv & T \\ p \to F & \equiv & \sim p \\ T \to p & \equiv & p \\ F \to p & \equiv & T \\ p \leftrightarrow T & \equiv & p \\ p \leftrightarrow F & \equiv & \sim p \end{array}

$\begin{eqnarray*} p\vee{T} & \equiv & T\\ p\vee{F} & \equiv & p\\ p\wedge{T} & \equiv & p\\ p\wedge{F} & \equiv & F\\ p\rightarrow{T} & \equiv & T\\ p\rightarrow{F} & \equiv & \sim{p}\\ T\rightarrow{p} & \equiv & p\\ F\rightarrow{p} & \equiv & T\\ p\leftrightarrow{T} & \equiv & p\\ p\leftrightarrow{F} & \equiv & \sim{p} \end{eqnarray*}$

การตรวจสอบการสมมูลกันโดยใช้การลดรูปประพจน์ช่วย

การลดรูปประพจน์ คือ การที่เราจะทำให้ประพจน์ยาว ๆ ให้สั้นลงและดูง่ายขึ้น โดยจะใช้รูปแบบประพจน์ที่สมมูลกันด้านบนเป็นตัวช่วย

การตรวจสอบสมมูลโดยใช้การลดรูปประพจน์ช่วย

$(p\rightarrow{q})\vee(q\rightarrow)$ สมมูลกับ $(p\wedge{q})\rightarrow(p\vee{r})$ หรือไม่

ในการใช้การลดรูปประพจน์ช่วยนั้นเราจะลดรูปประพจน์ที่ละตัว อันนี้เรามาตัวตัวแรกกัน

\begin{array}{rcl} (p \to q) \lor (q \to) & \equiv & (\sim p \lor q) \lor (\sim q \lor r) \\ \equiv & \sim p \lor q \lor \sim q \lor r \\ \equiv & \sim p \lor (q \lor \sim q) \lor r \\ \equiv & \sim p \lor T \lor r \\ \equiv & T \end{array}

$\begin{eqnarray*} (p\rightarrow{q})\vee(q\rightarrow) & \equiv & (\sim{p}\vee{q})\vee(\sim{q}\vee{r})\\ & \equiv & \sim{p}\vee{q} \vee\sim{q}\vee{r}\\ & \equiv & \sim{p}\vee(q\vee\sim{q})\vee{r}\\ & \equiv & \sim{p}\vee{T}\vee{r}\\ & \equiv & T \end{eqnarray*}$

จะได้ว่า $(p\rightarrow{q})\vee(q\rightarrow) \equiv T$

ต่อไปเรามาดูตัวที่สอง

\begin{array}{rcl} (p \land q) \to (p \lor r) & \equiv & \sim (p \land q) \lor (p \lor r) \\ \equiv & (\sim p \lor \sim q) \lor (p \lor r \\ \equiv & \sim p \lor \sim q \lor p \lor r \\ \equiv & \sim p \lor p \lor \sim q \lor r \\ \equiv & (\sim p \lor p) \lor \sim q \lor r \\ \equiv & T \lor \sim q \lor r \\ \equiv & T \end{array}

$\begin{eqnarray*} (p\wedge{q})\rightarrow(p\vee{r}) & \equiv & \sim(p\wedge{q})\vee(p\vee{r})\\ & \equiv & (\sim{p}\vee\sim{q})\vee(p\vee{r}\\ & \equiv & \sim{p}\vee\sim{q}\vee{p}\vee{r}\\ & \equiv & \sim{p}\vee{p}\vee\sim{q}\vee{r}\\ & \equiv & (\sim{p}\vee{p})\vee\sim{q}\vee{r}\\ & \equiv & T\vee\sim{q}\vee{r}\\ & \equiv & T \end{eqnarray*}$

จะได้ว่า $(p\wedge{q})\rightarrow(p\vee{r}) \equiv T$

จากทั้งสองส่วนจะได้ว่า $(p\rightarrow{q})\vee(q\rightarrow) \equiv T \equiv (p\wedge{q})\rightarrow(p\vee{r})$ ดังนั้นทั้งสองประพจน์ที่กำหนดให้สมมูลกัน

ประพจน์ที่กำหนดให้ทั้งสองประพจน์สมมูลกัน

รูปแบบประพจน์ที่สมมูลกันที่ควรทราบ

$p\rightarrow{q} \equiv \sim{p}\vee{q}$
$p\rightarrow{q} \equiv \sim{q}\rightarrow\sim{q}$
$(p\rightarrow{q})\wedge(q\rightarrow{p}) \equiv p\leftrightarrow{q}$

$\sim(p\vee{q}) \equiv \sim{p}\wedge\sim{q}$
$\sim(p\wedge{q}) \equiv \sim{p}\vee\sim{q}$

3. การกระจายตัวเชื่อมและ $(\wedge)$ หรือการกระจายตัวเชื่อมหรือ $(\vee)$

$p\vee(q\wedge{r}) \equiv (p\vee{q})\wedge(p\vee{r})$
$p\wedge(q\vee{r}) \equiv (p\wedge{q})\vee(p\wedge{r})$

4. การสมูลกันของการเชื่อมประพจน์ด้วย $p$ กับ $\sim{p}$

$p\vee\sim{p} \equiv T$
$p\wedge\sim{p} \equiv F$
$p\rightarrow\sim{p} \equiv \sim{p}$
$\sim{p}\rightarrow{p} \equiv {p}$
$p\leftrightarrow\sim{p} \equiv {F}$

- เนื่องจาก $p$ กับ $\sim{p}$ มีค่าความจริงตรงข้ามอันแสดงว่าต้องมีตัวนึ่งเป็นจริงเสมอพอตัวเชื่อมเป็นหรือ จึงได้ว่าค่าความจริงเป็นจริงเสมอ
- เนื่องจาก $p$ กับ $\sim{p}$ มีค่าความจริงตรงข้ามอันแสดงว่าไม่มีทางที่ทั้งสองประพจน์จะเป็นจริงทั้งคู่ จึงได้ว่าค่าความจริงเป็นเท็จเสมอ
- ถ้า $p$ มีค่าความจริงเป็นจริงจะได้ $T\rightarrow{F}$ ซึ่งมีค่าความจริงเป็นเท็จ
- ถ้า $p$ มีค่าความจริงเป็นเท็จจะได้ $F\rightarrow{T}$ ซึ่งมีค่าความจริงเป็นจริง
- จากทั้งสองกรณีได้ว่าค่าความจริงที่ได้จะตรงข้ามกับ $p$ เสมอ จึงได้ว่าสมมูลกับ $\sim{p}$
- ถ้า $p$ มีค่าความจริงเป็นจริงจะได้ $F\rightarrow{T}$ ซึ่งมีค่าความจริงเป็นจริง
- ถ้า $p$ มีค่าความจริงเป็นเท็จจะได้ $T\rightarrow{F}$ ซึ่งมีค่าความจริงเป็นเท็จ
- จากทั้งสองกรณีได้ว่าค่าความจริงที่ได้จะเหมือนกับ $p$ เสมอ จึงได้ว่าสมมูลกับ ${p}$
- เนื่องจาก $p$ กับ $\sim{p}$ มีค่าความจริงตรงข้ามอันแสดงว่าไม่มีทางที่ทั้งสองประพจน์จะมีค่าความจริงเหมือนกัน จึงได้ว่าค่าความจริงเป็นเท็จเสมอ

5. การสมมูลกันในกรณีที่ประพจน์ใดประพจน์หนึ่งที่รู้ค่าความจริงแล้ว

$p\vee{T} \equiv T$
$p\vee{F} \equiv p$
$p\wedge{T} \equiv p$
$p\wedge{F} \equiv F$
$p\rightarrow{T} \equiv T$
$p\rightarrow{F} \equiv \sim{p}$
$T\rightarrow{p} \equiv p$
$F\rightarrow{p} \equiv T$
$p\leftrightarrow{T} \equiv p$
$p\leftrightarrow{F} \equiv \sim{p}$

คำคล้าย : การสมมูลกันและการลดรูปประพจน์

Under Growing

"คลังความรู้" กำลังอยู่ในระหว่างการพัฒนา พี่ๆ กำลังทยอยเพิ่มบทความและปรับปรุงรูปแบบให้อ่านง่าย ใช้ทบทวนความรู้ได้จริง รีเควสหัวข้อ หรือมีข้อเสนอแนะ ทวีตมาคุยกับพี่ๆ ได้เลยจ้า

@Opendurian

คอร์สแนะนำ

หนังสือแนะนำ

$p$	$q$	$r$	$q\vee{r}$	$p\wedge(q\vee{r})$
$T$	$T$	$T$	$T$	$T$
$T$	$T$	$F$	$T$	$T$
$T$	$F$	$T$	$T$	$T$
$T$	$F$	$F$	$F$	$F$
$F$	$T$	$T$	$T$	$F$
$F$	$T$	$F$	$T$	$F$
$F$	$F$	$T$	$T$	$F$
$F$	$F$	$F$	$F$	$F$

$p$	$q$	$r$	$p\wedge{q}$	$p\wedge{r}$	$(p\wedge{q})\vee(p\wedge{r})$
$T$	$T$	$T$	$T$	$T$	$T$
$T$	$T$	$F$	$T$	$F$	$T$
$T$	$F$	$T$	$F$	$T$	$T$
$T$	$F$	$F$	$F$	$F$	$F$
$F$	$T$	$T$	$F$	$F$	$F$
$F$	$T$	$F$	$F$	$F$	$F$
$F$	$F$	$T$	$F$	$F$	$F$
$F$	$F$	$F$	$F$	$F$	$F$

$p$	$q$	$r$	$p\wedge(q\vee{r})$	$(p\wedge{q})\vee(p\wedge{r})$
$T$	$T$	$T$	$T$	$T$
$T$	$T$	$F$	$T$	$T$
$T$	$F$	$T$	$T$	$T$
$T$	$F$	$F$	$F$	$F$
$F$	$T$	$T$	$F$	$F$
$F$	$T$	$F$	$F$	$F$
$F$	$F$	$T$	$F$	$F$
$F$	$F$	$F$	$F$	$F$

$p$	$q$	$r$	$q\rightarrow{r}$	$p\vee(q\rightarrow{r})$
$T$	$T$	$T$	$T$	$T$
$T$	$T$	$F$	$F$	$T$
$T$	$F$	$T$	$T$	$T$
$T$	$F$	$F$	$T$	$T$
$F$	$T$	$T$	$T$	$T$
$F$	$T$	$F$	$F$	$F$
$F$	$F$	$T$	$T$	$T$
$F$	$F$	$F$	$T$	$T$

$p$	$q$	$r$	$p\vee{q}$	$(p\vee{q})\rightarrow{r}$
$T$	$T$	$T$	$T$	$T$
$T$	$T$	$F$	$T$	$F$
$T$	$F$	$T$	$T$	$T$
$T$	$F$	$F$	$T$	$F$
$F$	$T$	$T$	$T$	$T$
$F$	$T$	$F$	$T$	$F$
$F$	$F$	$T$	$F$	$T$
$F$	$F$	$F$	$F$	$T$

$p$	$q$	$r$	$p\vee(q\rightarrow{r})$	$(p\vee{q})\rightarrow{r}$
$T$	$T$	$T$	$T$	$T$
$T$	$T$	$F$	$T$	$F$
$T$	$F$	$T$	$T$	$T$
$T$	$F$	$F$	$T$	$F$
$F$	$T$	$T$	$T$	$T$
$F$	$T$	$F$	$F$	$F$
$F$	$F$	$T$	$T$	$T$
$F$	$F$	$F$	$T$	$T$

$p$	$q$	$r$	$q\vee{r}$	$p\wedge(q\vee{r})$
$T$	$T$	$T$	$T$	$T$
$T$	$T$	$F$	$T$	$T$
$T$	$F$	$T$	$T$	$T$
$T$	$F$	$F$	$F$	$F$
$F$	$T$	$T$	$T$	$F$
$F$	$T$	$F$	$T$	$F$
$F$	$F$	$T$	$T$	$F$
$F$	$F$	$F$	$F$	$F$

$p$	$q$	$r$	$p\wedge{q}$	$p\wedge{r}$	$(p\wedge{q})\vee(p\wedge{r})$
$T$	$T$	$T$	$T$	$T$	$T$
$T$	$T$	$F$	$T$	$F$	$T$
$T$	$F$	$T$	$F$	$T$	$T$
$T$	$F$	$F$	$F$	$F$	$F$
$F$	$T$	$T$	$F$	$F$	$F$
$F$	$T$	$F$	$F$	$F$	$F$
$F$	$F$	$T$	$F$	$F$	$F$
$F$	$F$	$F$	$F$	$F$	$F$

$p$	$q$	$r$	$p\wedge(q\vee{r})$	$(p\wedge{q})\vee(p\wedge{r})$
$T$	$T$	$T$	$T$	$T$
$T$	$T$	$F$	$T$	$T$
$T$	$F$	$T$	$T$	$T$
$T$	$F$	$F$	$F$	$F$
$F$	$T$	$T$	$F$	$F$
$F$	$T$	$F$	$F$	$F$
$F$	$F$	$T$	$F$	$F$
$F$	$F$	$F$	$F$	$F$

$p$	$q$	$r$	$q\rightarrow{r}$	$p\vee(q\rightarrow{r})$
$T$	$T$	$T$	$T$	$T$
$T$	$T$	$F$	$F$	$T$
$T$	$F$	$T$	$T$	$T$
$T$	$F$	$F$	$T$	$T$
$F$	$T$	$T$	$T$	$T$
$F$	$T$	$F$	$F$	$F$
$F$	$F$	$T$	$T$	$T$
$F$	$F$	$F$	$T$	$T$

$p$	$q$	$r$	$p\vee{q}$	$(p\vee{q})\rightarrow{r}$
$T$	$T$	$T$	$T$	$T$
$T$	$T$	$F$	$T$	$F$
$T$	$F$	$T$	$T$	$T$
$T$	$F$	$F$	$T$	$F$
$F$	$T$	$T$	$T$	$T$
$F$	$T$	$F$	$T$	$F$
$F$	$F$	$T$	$F$	$T$
$F$	$F$	$F$	$F$	$T$

$p$	$q$	$r$	$p\vee(q\rightarrow{r})$	$(p\vee{q})\rightarrow{r}$
$T$	$T$	$T$	$T$	$T$
$T$	$T$	$F$	$T$	$F$
$T$	$F$	$T$	$T$	$T$
$T$	$F$	$F$	$T$	$F$
$F$	$T$	$T$	$T$	$T$
$F$	$T$	$F$	$F$	$F$
$F$	$F$	$T$	$T$	$T$
$F$	$F$	$F$	$T$	$T$

$p$	$q$	$r$	$q\vee{r}$	$p\wedge(q\vee{r})$
$T$	$T$	$T$	$T$	$T$
$T$	$T$	$F$	$T$	$T$
$T$	$F$	$T$	$T$	$T$
$T$	$F$	$F$	$F$	$F$
$F$	$T$	$T$	$T$	$F$
$F$	$T$	$F$	$T$	$F$
$F$	$F$	$T$	$T$	$F$
$F$	$F$	$F$	$F$	$F$

$p$	$q$	$r$	$p\wedge{q}$	$p\wedge{r}$	$(p\wedge{q})\vee(p\wedge{r})$
$T$	$T$	$T$	$T$	$T$	$T$
$T$	$T$	$F$	$T$	$F$	$T$
$T$	$F$	$T$	$F$	$T$	$T$
$T$	$F$	$F$	$F$	$F$	$F$
$F$	$T$	$T$	$F$	$F$	$F$
$F$	$T$	$F$	$F$	$F$	$F$
$F$	$F$	$T$	$F$	$F$	$F$
$F$	$F$	$F$	$F$	$F$	$F$

$p$	$q$	$r$	$p\wedge(q\vee{r})$	$(p\wedge{q})\vee(p\wedge{r})$
$T$	$T$	$T$	$T$	$T$
$T$	$T$	$F$	$T$	$T$
$T$	$F$	$T$	$T$	$T$
$T$	$F$	$F$	$F$	$F$
$F$	$T$	$T$	$F$	$F$
$F$	$T$	$F$	$F$	$F$
$F$	$F$	$T$	$F$	$F$
$F$	$F$	$F$	$F$	$F$

$p$	$q$	$r$	$q\rightarrow{r}$	$p\vee(q\rightarrow{r})$
$T$	$T$	$T$	$T$	$T$
$T$	$T$	$F$	$F$	$T$
$T$	$F$	$T$	$T$	$T$
$T$	$F$	$F$	$T$	$T$
$F$	$T$	$T$	$T$	$T$
$F$	$T$	$F$	$F$	$F$
$F$	$F$	$T$	$T$	$T$
$F$	$F$	$F$	$T$	$T$

$p$	$q$	$r$	$p\vee{q}$	$(p\vee{q})\rightarrow{r}$
$T$	$T$	$T$	$T$	$T$
$T$	$T$	$F$	$T$	$F$
$T$	$F$	$T$	$T$	$T$
$T$	$F$	$F$	$T$	$F$
$F$	$T$	$T$	$T$	$T$
$F$	$T$	$F$	$T$	$F$
$F$	$F$	$T$	$F$	$T$
$F$	$F$	$F$	$F$	$T$

$p$	$q$	$r$	$p\vee(q\rightarrow{r})$	$(p\vee{q})\rightarrow{r}$
$T$	$T$	$T$	$T$	$T$
$T$	$T$	$F$	$T$	$F$
$T$	$F$	$T$	$T$	$T$
$T$	$F$	$F$	$T$	$F$
$F$	$T$	$T$	$T$	$T$
$F$	$T$	$F$	$F$	$F$
$F$	$F$	$T$	$T$	$T$
$F$	$F$	$F$	$T$	$T$