ประพจน์ที่สมมูลกัน หมายถึง ประพจน์ที่ ไม่ว่าค่าความจริงของประพจน์ย่อยจะเป็นอะไรก็ตาม สุดท้ายจะต้องได้ค่าความจริงที่เหมือนกันเสมอ
การตรวจสอบการสมมูลกันโดยการสร้างตารางค่าความจริง
ในการตรวจสอบการสมมูลนั้นเราจะใช้วิธีการสร้างตารางค่าความจริงของทั้งสองประพจน์เพื่อเปรียบเทียบค่าความจริงในทุกกรณี
เช่น
ตรวจสอบการสมมูลโดยการสร้างตารางค่าความจริง
$p\wedge(q\vee{r})$ สมมูลกับ $(p\wedge{q})\vee(p\wedge{r})$ หรือไม่
จากสองประพจน์ที่กำหนดให้ มีประพจน์ย่อยทั้งหมด $3$ ประพจน์ ดังนั้น มีกรณีทั้งหมด $2^3=8$ ประพจน์
สร้างตารางค่าความจริงของ $p\wedge(q\vee{r})$ จะได้
| $p$ | $q$ | $r$ | $q\vee{r}$ | $p\wedge(q\vee{r})$ |
|---|---|---|---|---|
| $T$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ |
| $T$ | $T$ | $F$ | $T$ | $T$ |
| $T$ | $F$ | $T$ | $T$ | $T$ |
| $T$ | $F$ | $F$ | $F$ | $F$ |
| $F$ | $T$ | $T$ | $T$ | $F$ |
| $F$ | $T$ | $F$ | $T$ | $F$ |
| $F$ | $F$ | $T$ | $T$ | $F$ |
| $F$ | $F$ | $F$ | $F$ | $F$ |
สร้างตารางค่าความจริงของ $(p\wedge{q})\vee(p\wedge{r})$
| $p$ | $q$ | $r$ | $p\wedge{q}$ | $p\wedge{r}$ | $(p\wedge{q})\vee(p\wedge{r})$ |
|---|---|---|---|---|---|
| $T$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ |
| $T$ | $T$ | $F$ | $T$ | $F$ | $T$ |
| $T$ | $F$ | $T$ | $F$ | $T$ | $T$ |
| $T$ | $F$ | $F$ | $F$ | $F$ | $F$ |
| $F$ | $T$ | $T$ | $F$ | $F$ | $F$ |
| $F$ | $T$ | $F$ | $F$ | $F$ | $F$ |
| $F$ | $F$ | $T$ | $F$ | $F$ | $F$ |
| $F$ | $F$ | $F$ | $F$ | $F$ | $F$ |
เปรียบเทียบค่าความจริงของทั้งสองประพจน์
| $p$ | $q$ | $r$ | $p\wedge(q\vee{r})$ | $(p\wedge{q})\vee(p\wedge{r})$ |
|---|---|---|---|---|
| $T$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ |
| $T$ | $T$ | $F$ | $T$ | $T$ |
| $T$ | $F$ | $T$ | $T$ | $T$ |
| $T$ | $F$ | $F$ | $F$ | $F$ |
| $F$ | $T$ | $T$ | $F$ | $F$ |
| $F$ | $T$ | $F$ | $F$ | $F$ |
| $F$ | $F$ | $T$ | $F$ | $F$ |
| $F$ | $F$ | $F$ | $F$ | $F$ |
จะเห็นว่าในทุกกรณีของประพจน์ย่อย ทั้งสองประพจน์จะให้ค่าความจริงที่เหมือนกันเสมอ
ดังนั้นทั้งสองประพจน์สมมูลกัน
สมมูลกัน
ตรวจสอบการสมมูลโดยการสร้างตารางค่าความจริง
$p\vee(q\rightarrow{r})$ สมมูลกับ $(p\vee{q})\rightarrow{r}$ หรือไม่
จากสองประพจน์ที่กำหนดให้ มีประพจน์ย่อยทั้งหมด $3$ ประพจน์ ดังนั้น มีกรณีทั้งหมด $2^3=8$ ประพจน์
สร้างตารางค่าความจริงของ $p\vee(q\rightarrow{r})$ จะได้
| $p$ | $q$ | $r$ | $q\rightarrow{r}$ | $p\vee(q\rightarrow{r})$ |
|---|---|---|---|---|
| $T$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ |
| $T$ | $T$ | $F$ | $F$ | $T$ |
| $T$ | $F$ | $T$ | $T$ | $T$ |
| $T$ | $F$ | $F$ | $T$ | $T$ |
| $F$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ |
| $F$ | $T$ | $F$ | $F$ | $F$ |
| $F$ | $F$ | $T$ | $T$ | $T$ |
| $F$ | $F$ | $F$ | $T$ | $T$ |
สร้างตารางค่าความจริงของ $(p\vee{q})\rightarrow{r}$ จะได้
| $p$ | $q$ | $r$ | $p\vee{q}$ | $(p\vee{q})\rightarrow{r}$ |
|---|---|---|---|---|
| $T$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ |
| $T$ | $T$ | $F$ | $T$ | $F$ |
| $T$ | $F$ | $T$ | $T$ | $T$ |
| $T$ | $F$ | $F$ | $T$ | $F$ |
| $F$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ |
| $F$ | $T$ | $F$ | $T$ | $F$ |
| $F$ | $F$ | $T$ | $F$ | $T$ |
| $F$ | $F$ | $F$ | $F$ | $T$ |
เปรียบเทียบประพจน์ทั้งสอง จะได้
| $p$ | $q$ | $r$ | $p\vee(q\rightarrow{r})$ | $(p\vee{q})\rightarrow{r}$ |
|---|---|---|---|---|
| $T$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ |
| $T$ | $T$ | $F$ | $T$ | $F$ |
| $T$ | $F$ | $T$ | $T$ | $T$ |
| $T$ | $F$ | $F$ | $T$ | $F$ |
| $F$ | $T$ | $T$ | $T$ | $T$ |
| $F$ | $T$ | $F$ | $F$ | $F$ |
| $F$ | $F$ | $T$ | $T$ | $T$ |
| $F$ | $F$ | $F$ | $T$ | $T$ |
จากตารางด้านบนจะเห็นว่ามี $2$ กรณีที่ได้ค่าความจริงออกมาไม่เหมือนกัน เราจึงสรุปได้ว่าสองประพจน์ที่กำหนดให้ไม่สมมูลกัน
$p\vee(q\rightarrow{r})$ ไม่สมมูลกับ $(p\vee{q})\rightarrow{r}$
จากตัวอย่างด้านบนจะเห็นว่าวิธีการสร้างตารางค่าความจริงจะต้องใช้เวลานานมาก ผิดพลาดได้ง่าย และต้องเขียนเยอะอีกต่างหาก วิธีนี้จึงไม่เป็นที่นิยม และไม่ค่อยมีคนใช้หรอก โดยทั่วไปเราจะใช้การลดรูปประพจน์ หรือการจัดรูปประพจน์ช่วยในการทำโจทย์ประเภทนี้มากกว่า
รูปแบบประพจน์ที่สมมูลกันที่ควรรู้
1. รูปแบบประพจน์ที่สมมูลกับประพจน์ที่มีตัวเชื่อมเป็นถ้าแล้ว $(\rightarrow)$ เรามักจะเปลี่ยนเครื่องหมายถ้าแล้ว $(\rightarrow)$ ให้อยู่ในรูปของเครื่องหมายหรือ $(\vee)$
ถ้าแล้ว
\begin{eqnarray*}
p\rightarrow{q} & \equiv & \sim{p}\vee{q}\\
p\rightarrow{q} & \equiv & \sim{q}\rightarrow\sim{q}\\
(p\rightarrow{q})\wedge(q\rightarrow{p}) & \equiv & p\leftrightarrow{q}
\end{eqnarray*}
2. การกระจายนิเสธ $(\sim)$ โดยปกติเราจะกระจายนิเสธเข้าไปในตัวเชื่อมที่เป็นและ $(\wedge)$ กับตัวเชื่อมหรือ $(\vee)$ เท่านั้น ถ้าเป็นตัวเชื่อมอื่นให้เปลี่ยนเป็นตัวเชื่อม 'หรือ' หรือตัวเชื่อม 'และ' ก่อน
นิเสธ
\begin{eqnarray*}
\sim(\sim{p}) & \equiv & p\\
\sim(p\vee{q})& \equiv & \sim{p}\wedge\sim{q}\\
\sim(p\wedge{q}) & \equiv & \sim{p}\vee\sim{q}
\end{eqnarray*}
3. การกระจายตัวเชื่อมและ $(\wedge)$ หรือการกระจายตัวเชื่อมหรือ $(\vee)$
การกระจาย
\begin{eqnarray*}
p\vee(q\wedge{r}) & \equiv & (p\vee{q})\wedge(p\vee{r})\\
p\wedge(q\vee{r}) & \equiv & (p\wedge{q})\vee(p\wedge{r})
\end{eqnarray*}
4. การสมูลกันของการเชื่อมประพจน์ด้วย $p$ กับ $\sim{p}$
ประพจน์ย่อยเชื่อมกับนิเสธ
\begin{eqnarray*}
p\vee\sim{p} & \equiv & T\\
p\wedge\sim{p} & \equiv & F\\
p\rightarrow\sim{p} & \equiv & \sim{p}\\
\sim{p}\rightarrow{p} & \equiv & {p}\\
p\leftrightarrow\sim{p} & \equiv & {F}
\end{eqnarray*}
5. การสมมูลกันในกรณีที่ประพจน์ใดประพจน์หนึ่งที่รู้ค่าความจริงแล้ว
ประพจน์ที่รู้ค่าความจริง
\begin{eqnarray*}
p\vee{T} & \equiv & T\\
p\vee{F} & \equiv & p\\
p\wedge{T} & \equiv & p\\
p\wedge{F} & \equiv & F\\
p\rightarrow{T} & \equiv & T\\
p\rightarrow{F} & \equiv & \sim{p}\\
T\rightarrow{p} & \equiv & p\\
F\rightarrow{p} & \equiv & T\\
p\leftrightarrow{T} & \equiv & p\\
p\leftrightarrow{F} & \equiv & \sim{p}
\end{eqnarray*}
การตรวจสอบการสมมูลกันโดยใช้การลดรูปประพจน์ช่วย
การลดรูปประพจน์ คือ การที่เราจะทำให้ประพจน์ยาว ๆ ให้สั้นลงและดูง่ายขึ้น โดยจะใช้รูปแบบประพจน์ที่สมมูลกันด้านบนเป็นตัวช่วย
การตรวจสอบสมมูลโดยใช้การลดรูปประพจน์ช่วย
$(p\rightarrow{q})\vee(q\rightarrow)$ สมมูลกับ $(p\wedge{q})\rightarrow(p\vee{r})$ หรือไม่
ในการใช้การลดรูปประพจน์ช่วยนั้นเราจะลดรูปประพจน์ที่ละตัว อันนี้เรามาตัวตัวแรกกัน
\begin{eqnarray*}
(p\rightarrow{q})\vee(q\rightarrow) & \equiv & (\sim{p}\vee{q})\vee(\sim{q}\vee{r})\\
& \equiv & \sim{p}\vee{q} \vee\sim{q}\vee{r}\\
& \equiv & \sim{p}\vee(q\vee\sim{q})\vee{r}\\
& \equiv & \sim{p}\vee{T}\vee{r}\\
& \equiv & T
\end{eqnarray*}
จะได้ว่า $(p\rightarrow{q})\vee(q\rightarrow) \equiv T$
ต่อไปเรามาดูตัวที่สอง
\begin{eqnarray*}
(p\wedge{q})\rightarrow(p\vee{r}) & \equiv & \sim(p\wedge{q})\vee(p\vee{r})\\
& \equiv & (\sim{p}\vee\sim{q})\vee(p\vee{r}\\
& \equiv & \sim{p}\vee\sim{q}\vee{p}\vee{r}\\
& \equiv & \sim{p}\vee{p}\vee\sim{q}\vee{r}\\
& \equiv & (\sim{p}\vee{p})\vee\sim{q}\vee{r}\\
& \equiv & T\vee\sim{q}\vee{r}\\
& \equiv & T
\end{eqnarray*}
จะได้ว่า $(p\wedge{q})\rightarrow(p\vee{r}) \equiv T$
จากทั้งสองส่วนจะได้ว่า $(p\rightarrow{q})\vee(q\rightarrow) \equiv T \equiv (p\wedge{q})\rightarrow(p\vee{r})$ ดังนั้นทั้งสองประพจน์ที่กำหนดให้สมมูลกัน
ประพจน์ที่กำหนดให้ทั้งสองประพจน์สมมูลกัน
รูปแบบประพจน์ที่สมมูลกันที่ควรทราบ
1. รูปแบบประพจน์ที่สมมูลกับประพจน์ที่มีตัวเชื่อมเป็นถ้าแล้ว $(\rightarrow)$ เรามักจะเปลี่ยนเครื่องหมายถ้าแล้ว $(\rightarrow)$ ให้อยู่ในรูปของเครื่องหมายหรือ $(\vee)$
- $p\rightarrow{q} \equiv \sim{p}\vee{q}$
- $p\rightarrow{q} \equiv \sim{q}\rightarrow\sim{q}$
- $(p\rightarrow{q})\wedge(q\rightarrow{p}) \equiv p\leftrightarrow{q}$
2. การกระจายนิเสธ $(\sim)$ โดยปกติเราจะกระจายนิเสธเข้าไปในตัวเชื่อมที่เป็นและ $(\wedge)$ กับตัวเชื่อมหรือ $(\vee)$ เท่านั้น ถ้าเป็นตัวเชื่อมอื่นให้เปลี่ยนเป็นตัวเชื่อม 'หรือ' หรือตัวเชื่อม 'และ' ก่อน
- $\sim(p\vee{q}) \equiv \sim{p}\wedge\sim{q}$
- $\sim(p\wedge{q}) \equiv \sim{p}\vee\sim{q}$
3. การกระจายตัวเชื่อมและ $(\wedge)$ หรือการกระจายตัวเชื่อมหรือ $(\vee)$
- $p\vee(q\wedge{r}) \equiv (p\vee{q})\wedge(p\vee{r})$
- $p\wedge(q\vee{r}) \equiv (p\wedge{q})\vee(p\wedge{r})$
4. การสมูลกันของการเชื่อมประพจน์ด้วย $p$ กับ $\sim{p}$
- $p\vee\sim{p} \equiv T$
- $p\wedge\sim{p} \equiv F$
- $p\rightarrow\sim{p} \equiv \sim{p}$
- $\sim{p}\rightarrow{p} \equiv {p}$
- $p\leftrightarrow\sim{p} \equiv {F}$
- $p\vee\sim{p} \equiv T$
- เนื่องจาก $p$ กับ $\sim{p}$ มีค่าความจริงตรงข้ามอันแสดงว่าต้องมีตัวนึ่งเป็นจริงเสมอพอตัวเชื่อมเป็นหรือ จึงได้ว่าค่าความจริงเป็นจริงเสมอ
- $p\wedge\sim{p} \equiv F$
- เนื่องจาก $p$ กับ $\sim{p}$ มีค่าความจริงตรงข้ามอันแสดงว่าไม่มีทางที่ทั้งสองประพจน์จะเป็นจริงทั้งคู่ จึงได้ว่าค่าความจริงเป็นเท็จเสมอ
- $p\rightarrow\sim{p} \equiv \sim{p}$
- ถ้า $p$ มีค่าความจริงเป็นจริงจะได้ $T\rightarrow{F}$ ซึ่งมีค่าความจริงเป็นเท็จ
- ถ้า $p$ มีค่าความจริงเป็นเท็จจะได้ $F\rightarrow{T}$ ซึ่งมีค่าความจริงเป็นจริง
- จากทั้งสองกรณีได้ว่าค่าความจริงที่ได้จะตรงข้ามกับ $p$ เสมอ จึงได้ว่าสมมูลกับ $\sim{p}$
- $\sim{p}\rightarrow{p} \equiv {p}$
- ถ้า $p$ มีค่าความจริงเป็นจริงจะได้ $F\rightarrow{T}$ ซึ่งมีค่าความจริงเป็นจริง
- ถ้า $p$ มีค่าความจริงเป็นเท็จจะได้ $T\rightarrow{F}$ ซึ่งมีค่าความจริงเป็นเท็จ
- จากทั้งสองกรณีได้ว่าค่าความจริงที่ได้จะเหมือนกับ $p$ เสมอ จึงได้ว่าสมมูลกับ ${p}$
- $p\leftrightarrow\sim{p} \equiv {F}$
- เนื่องจาก $p$ กับ $\sim{p}$ มีค่าความจริงตรงข้ามอันแสดงว่าไม่มีทางที่ทั้งสองประพจน์จะมีค่าความจริงเหมือนกัน จึงได้ว่าค่าความจริงเป็นเท็จเสมอ
5. การสมมูลกันในกรณีที่ประพจน์ใดประพจน์หนึ่งที่รู้ค่าความจริงแล้ว
- $p\vee{T} \equiv T$
- $p\vee{F} \equiv p$
- $p\wedge{T} \equiv p$
- $p\wedge{F} \equiv F$
- $p\rightarrow{T} \equiv T$
- $p\rightarrow{F} \equiv \sim{p}$
- $T\rightarrow{p} \equiv p$
- $F\rightarrow{p} \equiv T$
- $p\leftrightarrow{T} \equiv p$
- $p\leftrightarrow{F} \equiv \sim{p}$