การสมมูลกันและการลดรูปประพจน์ (Logical Equivalence and Statement Simplification)


ประพจน์ที่สมมูลกัน หมายถึง ประพจน์ที่ ไม่ว่าค่าความจริงของประพจน์ย่อยจะเป็นอะไรก็ตาม สุดท้ายจะต้องได้ค่าความจริงที่เหมือนกันเสมอ

การตรวจสอบการสมมูลกันโดยการสร้างตารางค่าความจริง

ในการตรวจสอบการสมมูลนั้นเราจะใช้วิธีการสร้างตารางค่าความจริงของทั้งสองประพจน์เพื่อเปรียบเทียบค่าความจริงในทุกกรณี

เช่น

ตรวจสอบการสมมูลโดยการสร้างตารางค่าความจริง

$p\wedge(q\vee{r})$ สมมูลกับ $(p\wedge{q})\vee(p\wedge{r})$ หรือไม่

จากสองประพจน์ที่กำหนดให้ มีประพจน์ย่อยทั้งหมด $3$ ประพจน์ ดังนั้น มีกรณีทั้งหมด $2^3=8$ ประพจน์ 

สร้างตารางค่าความจริงของ $p\wedge(q\vee{r})$ จะได้

$p$ $q$ $r$ $q\vee{r}$ $p\wedge(q\vee{r})$
$T$ $T$ $T$ $T$ $T$
$T$ $T$ $F$ $T$ $T$
$T$ $F$ $T$ $T$ $T$
$T$ $F$ $F$ $F$ $F$
$F$ $T$ $T$ $T$ $F$
$F$ $T$ $F$ $T$ $F$
$F$ $F$ $T$ $T$ $F$
$F$ $F$ $F$ $F$ $F$

 

 

สร้างตารางค่าความจริงของ $(p\wedge{q})\vee(p\wedge{r})$

$p$ $q$ $r$ $p\wedge{q}$ $p\wedge{r}$ $(p\wedge{q})\vee(p\wedge{r})$ 
$T$ $T$ $T$ $T$ $T$ $T$
$T$ $T$ $F$ $T$ $F$ $T$
$T$ $F$ $T$ $F$ $T$ $T$
$T$ $F$ $F$ $F$ $F$ $F$
$F$ $T$ $T$ $F$ $F$ $F$
$F$ $T$ $F$ $F$ $F$ $F$
$F$ $F$ $T$ $F$ $F$ $F$
$F$ $F$ $F$ $F$ $F$ $F$

 

เปรียบเทียบค่าความจริงของทั้งสองประพจน์

$p$ $q$ $r$ $p\wedge(q\vee{r})$ $(p\wedge{q})\vee(p\wedge{r})$ 
$T$ $T$ $T$ $T$ $T$
$T$ $T$ $F$ $T$ $T$
$T$ $F$ $T$ $T$ $T$
$T$ $F$ $F$ $F$ $F$
$F$ $T$ $T$ $F$ $F$
$F$ $T$ $F$ $F$ $F$
$F$ $F$ $T$ $F$ $F$
$F$ $F$ $F$ $F$ $F$

จะเห็นว่าในทุกกรณีของประพจน์ย่อย ทั้งสองประพจน์จะให้ค่าความจริงที่เหมือนกันเสมอ

ดังนั้นทั้งสองประพจน์สมมูลกัน

สมมูลกัน  


 

ตรวจสอบการสมมูลโดยการสร้างตารางค่าความจริง

$p\vee(q\rightarrow{r})$ สมมูลกับ $(p\vee{q})\rightarrow{r}$ หรือไม่

 จากสองประพจน์ที่กำหนดให้ มีประพจน์ย่อยทั้งหมด $3$ ประพจน์ ดังนั้น มีกรณีทั้งหมด $2^3=8$ ประพจน์

สร้างตารางค่าความจริงของ $p\vee(q\rightarrow{r})$ จะได้

$p$ $q$ $r$ $q\rightarrow{r}$ $p\vee(q\rightarrow{r})$
$T$ $T$ $T$ $T$ $T$
$T$ $T$ $F$ $F$ $T$
$T$ $F$ $T$ $T$ $T$
$T$ $F$ $F$ $T$ $T$
$F$ $T$ $T$ $T$ $T$
$F$ $T$ $F$ $F$ $F$
$F$ $F$ $T$ $T$ $T$
$F$ $F$ $F$ $T$ $T$

สร้างตารางค่าความจริงของ $(p\vee{q})\rightarrow{r}$ จะได้

$p$ $q$ $r$ $p\vee{q}$ $(p\vee{q})\rightarrow{r}$
$T$ $T$ $T$ $T$ $T$
$T$ $T$ $F$ $T$ $F$
$T$ $F$ $T$ $T$ $T$
$T$ $F$ $F$ $T$ $F$
$F$ $T$ $T$ $T$ $T$
$F$ $T$ $F$ $T$ $F$
$F$ $F$ $T$ $F$ $T$
$F$ $F$ $F$ $F$ $T$

 

เปรียบเทียบประพจน์ทั้งสอง จะได้

$p$ $q$ $r$ $p\vee(q\rightarrow{r})$ $(p\vee{q})\rightarrow{r}$
$T$ $T$ $T$ $T$ $T$
$T$ $T$ $F$ $T$ $F$
$T$ $F$ $T$ $T$ $T$
$T$ $F$ $F$ $T$ $F$
$F$ $T$ $T$ $T$ $T$
$F$ $T$ $F$ $F$ $F$
$F$ $F$ $T$ $T$ $T$
$F$ $F$ $F$ $T$ $T$
 

 

จากตารางด้านบนจะเห็นว่ามี $2$ กรณีที่ได้ค่าความจริงออกมาไม่เหมือนกัน เราจึงสรุปได้ว่าสองประพจน์ที่กำหนดให้ไม่สมมูลกัน

 $p\vee(q\rightarrow{r})$ ไม่สมมูลกับ $(p\vee{q})\rightarrow{r}$ 

จากตัวอย่างด้านบนจะเห็นว่าวิธีการสร้างตารางค่าความจริงจะต้องใช้เวลานานมาก ผิดพลาดได้ง่าย และต้องเขียนเยอะอีกต่างหาก วิธีนี้จึงไม่เป็นที่นิยม และไม่ค่อยมีคนใช้หรอก โดยทั่วไปเราจะใช้การลดรูปประพจน์ หรือการจัดรูปประพจน์ช่วยในการทำโจทย์ประเภทนี้มากกว่า

รูปแบบประพจน์ที่สมมูลกันที่ควรรู้

1. รูปแบบประพจน์ที่สมมูลกับประพจน์ที่มีตัวเชื่อมเป็นถ้าแล้ว $(\rightarrow)$ เรามักจะเปลี่ยนเครื่องหมายถ้าแล้ว $(\rightarrow)$ ให้อยู่ในรูปของเครื่องหมายหรือ $(\vee)$

ถ้าแล้ว

\begin{eqnarray*}
p\rightarrow{q} & \equiv & \sim{p}\vee{q}\\
p\rightarrow{q} & \equiv & \sim{q}\rightarrow\sim{q}\\
(p\rightarrow{q})\wedge(q\rightarrow{p}) & \equiv & p\leftrightarrow{q}
\end{eqnarray*}

2. การกระจายนิเสธ $(\sim)$ โดยปกติเราจะกระจายนิเสธเข้าไปในตัวเชื่อมที่เป็นและ $(\wedge)$ กับตัวเชื่อมหรือ $(\vee)$ เท่านั้น ถ้าเป็นตัวเชื่อมอื่นให้เปลี่ยนเป็นตัวเชื่อม 'หรือ' หรือตัวเชื่อม 'และ' ก่อน

นิเสธ

\begin{eqnarray*}
\sim(\sim{p}) & \equiv & p\\
\sim(p\vee{q})& \equiv & \sim{p}\wedge\sim{q}\\
\sim(p\wedge{q}) & \equiv & \sim{p}\vee\sim{q}
\end{eqnarray*}

3. การกระจายตัวเชื่อมและ $(\wedge)$ หรือการกระจายตัวเชื่อมหรือ $(\vee)$

การกระจาย

\begin{eqnarray*}
p\vee(q\wedge{r}) & \equiv & (p\vee{q})\wedge(p\vee{r})\\
p\wedge(q\vee{r}) & \equiv & (p\wedge{q})\vee(p\wedge{r})
\end{eqnarray*}

4. การสมูลกันของการเชื่อมประพจน์ด้วย $p$ กับ $\sim{p}$

ประพจน์ย่อยเชื่อมกับนิเสธ

\begin{eqnarray*}
p\vee\sim{p} & \equiv & T\\
p\wedge\sim{p} & \equiv & F\\
p\rightarrow\sim{p} & \equiv & \sim{p}\\
\sim{p}\rightarrow{p} & \equiv & {p}\\
p\leftrightarrow\sim{p} & \equiv & {F}
\end{eqnarray*}

5. การสมมูลกันในกรณีที่ประพจน์ใดประพจน์หนึ่งที่รู้ค่าความจริงแล้ว

ประพจน์ที่รู้ค่าความจริง

\begin{eqnarray*}
p\vee{T} & \equiv & T\\
p\vee{F} & \equiv & p\\
p\wedge{T} & \equiv & p\\
p\wedge{F} & \equiv & F\\
p\rightarrow{T} & \equiv & T\\
p\rightarrow{F} & \equiv & \sim{p}\\
T\rightarrow{p} & \equiv & p\\
F\rightarrow{p} & \equiv & T\\
p\leftrightarrow{T} & \equiv & p\\
p\leftrightarrow{F} & \equiv & \sim{p}
\end{eqnarray*}

การตรวจสอบการสมมูลกันโดยใช้การลดรูปประพจน์ช่วย

การลดรูปประพจน์ คือ การที่เราจะทำให้ประพจน์ยาว ๆ ให้สั้นลงและดูง่ายขึ้น โดยจะใช้รูปแบบประพจน์ที่สมมูลกันด้านบนเป็นตัวช่วย

การตรวจสอบสมมูลโดยใช้การลดรูปประพจน์ช่วย

$(p\rightarrow{q})\vee(q\rightarrow)$ สมมูลกับ $(p\wedge{q})\rightarrow(p\vee{r})$ หรือไม่

ในการใช้การลดรูปประพจน์ช่วยนั้นเราจะลดรูปประพจน์ที่ละตัว อันนี้เรามาตัวตัวแรกกัน

\begin{eqnarray*}
(p\rightarrow{q})\vee(q\rightarrow) & \equiv & (\sim{p}\vee{q})\vee(\sim{q}\vee{r})\\
 & \equiv & \sim{p}\vee{q} \vee\sim{q}\vee{r}\\
 & \equiv & \sim{p}\vee(q\vee\sim{q})\vee{r}\\
 & \equiv & \sim{p}\vee{T}\vee{r}\\
 & \equiv & T
\end{eqnarray*}

จะได้ว่า $(p\rightarrow{q})\vee(q\rightarrow) \equiv T$

ต่อไปเรามาดูตัวที่สอง 

\begin{eqnarray*}
(p\wedge{q})\rightarrow(p\vee{r}) & \equiv & \sim(p\wedge{q})\vee(p\vee{r})\\
 & \equiv & (\sim{p}\vee\sim{q})\vee(p\vee{r}\\
 & \equiv & \sim{p}\vee\sim{q}\vee{p}\vee{r}\\
 & \equiv & \sim{p}\vee{p}\vee\sim{q}\vee{r}\\
 & \equiv & (\sim{p}\vee{p})\vee\sim{q}\vee{r}\\
 & \equiv & T\vee\sim{q}\vee{r}\\
 & \equiv & T
\end{eqnarray*}

จะได้ว่า $(p\wedge{q})\rightarrow(p\vee{r}) \equiv T$

จากทั้งสองส่วนจะได้ว่า $(p\rightarrow{q})\vee(q\rightarrow) \equiv T \equiv (p\wedge{q})\rightarrow(p\vee{r})$ ดังนั้นทั้งสองประพจน์ที่กำหนดให้สมมูลกัน

ประพจน์ที่กำหนดให้ทั้งสองประพจน์สมมูลกัน

รูปแบบประพจน์ที่สมมูลกันที่ควรทราบ

1. รูปแบบประพจน์ที่สมมูลกับประพจน์ที่มีตัวเชื่อมเป็นถ้าแล้ว $(\rightarrow)$ เรามักจะเปลี่ยนเครื่องหมายถ้าแล้ว $(\rightarrow)$ ให้อยู่ในรูปของเครื่องหมายหรือ $(\vee)$

  • $p\rightarrow{q} \equiv \sim{p}\vee{q}$
  • $p\rightarrow{q} \equiv \sim{q}\rightarrow\sim{q}$
  • $(p\rightarrow{q})\wedge(q\rightarrow{p}) \equiv p\leftrightarrow{q}$

2. การกระจายนิเสธ $(\sim)$ โดยปกติเราจะกระจายนิเสธเข้าไปในตัวเชื่อมที่เป็นและ $(\wedge)$ กับตัวเชื่อมหรือ $(\vee)$ เท่านั้น ถ้าเป็นตัวเชื่อมอื่นให้เปลี่ยนเป็นตัวเชื่อม 'หรือ' หรือตัวเชื่อม 'และ' ก่อน

  • $\sim(p\vee{q}) \equiv \sim{p}\wedge\sim{q}$
  • $\sim(p\wedge{q}) \equiv \sim{p}\vee\sim{q}$

3. การกระจายตัวเชื่อมและ $(\wedge)$ หรือการกระจายตัวเชื่อมหรือ $(\vee)$

  • $p\vee(q\wedge{r}) \equiv (p\vee{q})\wedge(p\vee{r})$
  • $p\wedge(q\vee{r}) \equiv (p\wedge{q})\vee(p\wedge{r})$

4. การสมูลกันของการเชื่อมประพจน์ด้วย $p$ กับ $\sim{p}$

  • $p\vee\sim{p} \equiv T$
  • $p\wedge\sim{p} \equiv F$
  • $p\rightarrow\sim{p} \equiv \sim{p}$
  • $\sim{p}\rightarrow{p} \equiv {p}$
  • $p\leftrightarrow\sim{p} \equiv {F}$
  • $p\vee\sim{p} \equiv T$
    • เนื่องจาก $p$ กับ $\sim{p}$ มีค่าความจริงตรงข้ามอันแสดงว่าต้องมีตัวนึ่งเป็นจริงเสมอพอตัวเชื่อมเป็นหรือ จึงได้ว่าค่าความจริงเป็นจริงเสมอ
  • $p\wedge\sim{p} \equiv F$ 
    • เนื่องจาก $p$ กับ $\sim{p}$ มีค่าความจริงตรงข้ามอันแสดงว่าไม่มีทางที่ทั้งสองประพจน์จะเป็นจริงทั้งคู่ จึงได้ว่าค่าความจริงเป็นเท็จเสมอ
  • $p\rightarrow\sim{p} \equiv \sim{p}$
    • ถ้า $p$ มีค่าความจริงเป็นจริงจะได้ $T\rightarrow{F}$ ซึ่งมีค่าความจริงเป็นเท็จ
    • ถ้า $p$ มีค่าความจริงเป็นเท็จจะได้ $F\rightarrow{T}$ ซึ่งมีค่าความจริงเป็นจริง
    • จากทั้งสองกรณีได้ว่าค่าความจริงที่ได้จะตรงข้ามกับ $p$ เสมอ จึงได้ว่าสมมูลกับ $\sim{p}$
  • $\sim{p}\rightarrow{p} \equiv {p}$
    • ถ้า $p$ มีค่าความจริงเป็นจริงจะได้ $F\rightarrow{T}$ ซึ่งมีค่าความจริงเป็นจริง
    • ถ้า $p$ มีค่าความจริงเป็นเท็จจะได้ $T\rightarrow{F}$ ซึ่งมีค่าความจริงเป็นเท็จ
    • จากทั้งสองกรณีได้ว่าค่าความจริงที่ได้จะเหมือนกับ $p$ เสมอ จึงได้ว่าสมมูลกับ ${p}$
  • $p\leftrightarrow\sim{p} \equiv {F}$
    • เนื่องจาก $p$ กับ $\sim{p}$ มีค่าความจริงตรงข้ามอันแสดงว่าไม่มีทางที่ทั้งสองประพจน์จะมีค่าความจริงเหมือนกัน จึงได้ว่าค่าความจริงเป็นเท็จเสมอ

5. การสมมูลกันในกรณีที่ประพจน์ใดประพจน์หนึ่งที่รู้ค่าความจริงแล้ว

  • $p\vee{T} \equiv T$
  • $p\vee{F} \equiv p$
  • $p\wedge{T} \equiv p$
  • $p\wedge{F} \equiv F$
  • $p\rightarrow{T} \equiv T$
  • $p\rightarrow{F} \equiv \sim{p}$
  • $T\rightarrow{p} \equiv p$
  • $F\rightarrow{p} \equiv T$
  • $p\leftrightarrow{T} \equiv p$
  • $p\leftrightarrow{F} \equiv \sim{p}$
คำคล้าย: 
  • การสมมูลกันและการลดรูปประพจน์
  • Logical Equivalence and Statement Simplification