ตัวเชื่อมประพจน์และตารางค่าความจริง (Logical Conjunction and Truth Table)


ตารางค่าความจริง คือ ตารางที่สร้างขึ้นเพื่อบอกว่าค่าความจริงของแต่ละประพจน์คืออะไร โดยที่ตารางค่าความจริงจะต้องแสดงค่าความจริงของประพจน์ ในทุกกรณี ซึ่งจำนวนกรณีจะมีค่าเท่ากับ $2^\text{จำนวนประพจน์ย่อย}$

นิเสธ $(\sim)$

นิเสธ คือ การที่เราจะเอาค่าความจริงที่อยู่ตรงข้ามกับค่าความจริงของประพจน์นั้น ตารางค่าความจริงของ 'นิเสธ' คือ

$p$ $\sim{p}$
$T$ $F$
$F$ $T$

หรือ $(\vee)$

หรือ เป็นตัวเชื่อมประพจน์ที่บอกว่า ถ้ามีประพจน์ย่อยใดประพจน์นึงมีค่าความจริงเป็นจริงจะได้ว่าประพจน์นั้นมีค่าความจริงเป็นจริง ตารางค่าความจริงของ 'หรือ' คือ

$p$ $q$ $p\vee{q}$
$T$ $T$ $T$
$T$ $F$ $T$
$F$ $T$ $T$
$F$ $F$ $F$

หรือ $(\vee)$ จะให้ค่าความจริงเป็น เท็จกรณีเดียว เท่านั้น คือ $F\vee{F}$

และ $(\wedge)$ 

และ เป็นตัวเชื่อมประพจน์ที่บอกว่าประพจน์จะมีค่าความจริงเป็นจริงเมื่อประพจน์ย่อยทั้งสองประพจน์มีค่าความจริงเป็นจริงเท่านั้น ตารางค่าความจริงของ 'และ' คือ

$p$ $q$ $p\wedge{q}$
$T$ $T$ $T$
$T$ $F$ $F$
$F$ $T$ $F$
$F$ $F$ $F$

และ $(\wedge)$ จะมีค่าความจริงเป็น จริงกรณีเดียว เท่านั้น คือ $T\wedge{T}$ 

ถ้าแล้ว $(\rightarrow)$

ถ้าแล้ว เป็นตัวเชื่อมที่ประพจน์ที่อยู่หน้าเครื่องหมายถ้าแล้ว จะเป็นเหตุ และ ประพจน์ที่อยู่หลังเครื่องหมายถ้าแล้วจะเป็นผล

$$\text{เหตุ}\rightarrow\text{ผล}$$

ตารางค่าความจริงของ 'ถ้าแล้ว' คือ

$p$ $q$ $p\rightarrow{q}$
$T$ $T$ $T$
$T$ $F$ $F$
$F$ $T$ $T$
$F$ $F$ $T$

ถ้าแล้ว $(\rightarrow)$ จะมีค่าความจริงเป็น เท็จกรณีเดียว เท่านั้น คือ $T\rightarrow{F}$ 

 ก็ต่อเมื่อ $(\leftrightarrow)$

ก็ต่อเมื่อ เป็นตัวเชื่อมที่จะให้ค่าความจริงเป็นเมื่อทั้งสองประพจน์ที่เชื่อมมีค่าความจริงเหมือนกัน ตารางค่าความจริงของ 'ก็ต่อเมื่อ' คือ

$p$ $q$ $p\leftrightarrow{q}$
$T$ $T$ $T$
$T$ $F$ $F$
$F$ $T$ $F$
$F$ $F$ $T$

ตารางค่าความจริงที่มีตัวเชื่อมมากกว่าหนึ่ง

ในการหาค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวเชื่อมมากกว่าหนึ่ง สิ่งแรกที่จะต้องรู้คือ เราจะต้องดูตัวเชื่อมตัวไหนก่อน ซึ่งหลักการลำดับของการหาค่าความจริงจะเหมือนกับลำดับของการบวกลบปกติ นั่นคือ ถ้ามีวงเล็บทำในวงเล็บก่อน ถ้าไม่มีวงเล็บให้ทำจากซ้ายไปขวา

การสร้างตารางค่าความจริงของประพจน์ที่มีตัวเชื่อมมากกว่าหนึ่ง

จงสร้างตารางค่าความจริงของ $p\wedge(q\rightarrow{p})$

จากประพจน์ที่ทำหนดให้จะได้ว่า มีประพจน์ย่อยทั้งหมด $2$ ประพจน์ ดังนั้นเราจะสร้างตารางค่าความจริงที่มีทั้งหมด $4$ กรณี จะได้

$p$ $q$
$T$ $T$
$T$ $F$
$F$ $T$
$F$ $F$

 

จากประพจน์ $p\wedge(q\rightarrow{p})$ สังเกตุว่ามีวงเล็บ ดังนั้นเราจะต้องหาค่าความจริงในวงเล็บก่อนจะได้

  

$p$ $q$ $q\rightarrow{p}$
$T$ $T$ $T$
$T$ $F$ $T$
$F$ $T$ $F$
$F$ $F$ $T$

 

จากตารางด้านบน สิ่งที่จะต้องระวังให้มาก ๆ คือ เมื่อเจอเครื่งหมายถ้าแล้ว ต้องดูให้ดีว่าประพจน์ไหนอยู่หน้าหรือหลังเครื่องหมาย เพราะค่าความจริงที่ได้จะไม่เหมือนกัน

เมื่อได้ค่าความจริงในวงเล็บแล้วหลังจากนั้นเราก็จะนำค่าความจริงที่ได้มาเชื่อมกับส่วนต่อไปในประพจน์ ในข้อนี้คือ ตัวเชื่อมและ จะได้

$p$ $q$ $q\rightarrow{p}$ $p\wedge(q\rightarrow{p})$
$T$ $T$ $T$ $T$
$T$ $F$ $T$ $T$
$F$ $T$ $F$ $F$
$F$ $F$ $T$ $F$

เท่านี้เราก็จะได้ตารางค่าความจริงที่ต้องการ

 

$p$ $q$ $p\wedge(q\rightarrow{p})$
$T$ $T$ $T$
$T$ $F$ $T$
$F$ $T$ $F$
$F$ $F$ $F$
 

 

คำคล้าย: 
  • ตัวเชื่อมประพจน์และตารางค่าความจริง
  • Logical Conjunction and Truth Table