ให้ $a_n$ เป็นลำดับ
$$\begin{align*}\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}a_n=L\end{align*}$$
หมายความว่า เมื่อ $n$ มีค่าเพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ โดยไม่สิ้นสุด ค่าของ $a_n$ เข้าใกล้หรือเท่ากับ $L$
1. ถ้า $L\in \mathbb{R}$ และมีเพียงจำนวนเดียว เราเรียกว่า ลำดับลู่เข้า (Convergent Sequence)
ตัวอย่างของลำดับลู่เข้า
$a_n=\displaystyle\frac{1}{n}$ จะได้ลิมิต $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{n}=0$
2. ถ้า $L\not\in \mathbb{R}$ $(อาจเป็น \infty, -\infty)$ หรือ อาจมีหลายค่า เราเรียกว่า ลำดับลู่ออก (Divergent Sequence)
ตัวอย่างของลำดับลู่ออกสู่ $\infty$
$a_n=n$ จะได้ลิมิต $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}n=\infty$
ตัวอย่างของลำดับลู่ออกสู่ $-\infty$
$a_n=-2^n$ จะได้ลิมิต $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}-2^n =-\infty$
ตัวอย่างของลำดับมีค่าแกว่งไปมา
$a_n= (-1)^n$ จะได้ว่า $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}(-1)^n$ หาค่าไม่ได้
เนื่องจาก $(-1)^n=-1$ เมื่อ n เป็นจำนวนคี่ และ $(-1)^n=1$ เมื่อ $n$ เป็นจำนวนคู่
ข้อสังเกต $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=\begin{cases}\infty\\
-\infty\\
\text{มีค่าแกว่งไปมา}
\end{cases} $
ทฤษฏีเกี่ยวกับลิมิตของลำดับ
ให้ $k$ เป็นจำนวนจริงบวก, $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty} a_n=a$ และ $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty} b_n=b$ จะได้ว่า
- $\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}c=c$
- $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}c\cdot a_n=c\cdot\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=ca$
- $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}(a_n\pm b_n)=\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}a_n\pm\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}b_n=a\pm b$
- $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}(a_n\times b_n)=\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}a_n\times \displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}b_n=a\times b$
- $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}a_n}{\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}b_n}=\frac{a}{b}$
- $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty} (a_n)^k=(\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}a_n)^k=a^k$
- $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt[k]{a_n}=\sqrt[k]{\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}a_n}=\sqrt[k]{a}$
- $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}|a_n|=|\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}a_n|$
- ถ้า $|c|<1$ แล้ว $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty} c^n=0$
ถ้า $|c|>1$ แล้ว $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty} c^n$ หาค่าไม่ได้
- $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{n^k}=0$ และ $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}n^k$ หาค่าไม่ได้
ลิมิตของเศษส่วนพหุนาม
การหาค่าของ $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{a_n}{b_n}$ เมื่อ $a_n$ และ $b_n$ เป็นฟังก์ชันพหุนาม สามารถสรุปได้ดังนี้
1. กำลังสูงสุดของ $n$ ในตัวเศษ = ตัวส่วน คำตอบคือ $\frac{\text{สปส. กำลังสูงสุดของ $n$ ในเศษ}}{\text{สปส. กำลังสูงสุดของ $n$ ในส่วน}}$
ตัวอย่างของลิมิตเศษส่วนพหุนามที่ กำลังสูงสุดของ $n$ ในตัวเศษ = ตัวส่วน
$\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{2n^2-n-1}{6n^2+1}=\frac{1}{3}$ "กำลังสูงสุดของตัวเศษและตัวส่วนคือ $2$"
2. กำลังสูงสุดของ $n$ ในตัวเศษ < ตัวส่วน คำตอบคือ $0$
ตัวอย่างของลิมิตเศษส่วนพหุนามที่ กำลังสูงสุดของ $n$ ในตัวเศษ < ตัวส่วน
$\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{5n+1}{n^2+6n+6}=0$ "กำลังสูงสุดของตัวเศษคือ $1$ และกำลังสูงสุดของตัวเศษคือ $2$"
3. กำลังสูงสุดของ $n$ ในตัวเศษ > ตัวส่วน คำตอบคือ ไม่มีลิมิต (ลำดับลู่ออก)
ตัวอย่างของลิมิตเศษส่วนพหุนามที่ กำลังสูงสุดของ $n$ ในตัวเศษ > ตัวส่วน
$\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n^2+3n+3}{9n+1}$ "กำลังสูงสุดของตัวเศษคือ $2$ และกำลังสูงสุดของตัวส่วนคือ $1$"
ลิมิตของฟังก์ชันเอกโพเนนเชียล
การหาค่าของ $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{a_n}{b_n}$ เมื่อ $a_n$ และ $b_n$ เป็นฟังก์ชันเอกโพเนนเชียล สามารถสรุปได้ดังนี้
1. ฐานของเลขยกกำลังมีค่ามากสุดของ ตัวเศษ = ตัวส่วน คำตอบคือ ให้ตัดพจน์อื่นทิ้งแล้วคำนวณ
ตัวอย่างลิมิตของฟังก์ชันเอกโพเนนเชียลที่ ฐานของเลขยกกำลังมีค่ามากสุดของ ตัวเศษ = ตัวส่วน
$$\begin{eqnarray}\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{3^n+2^{n-1}}{3^{n+2}+2^{n-1}}=&\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{3^n}{3^{n+2}}\\
=&\frac{1}{3^2}\\
=&\frac{1}{9}\end{eqnarray}$$
"ฐานของเลขยกกำลังที่มีค่ามากสุดของตัวเศษและตัวส่วนคือ $3$"
2. ฐานของเลขยกกำลังมีค่ามากสุดของ ตัวเศษ < ตัวส่วน คำตอบคือ $0$
ตัวอย่างลิมิตของฟังก์ชันเอกโพเนนเชียลที่ ฐานของเลขยกกำลังมีค่ามากสุดของ ตัวเศษ < ตัวส่วน
$$\begin{eqnarray}\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{2^{2n}-3^{2n+1}}{2^n+5^{2n}}=&\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{-3^{2n+1}}{5^{2n}}\\
=&0\end{eqnarray}$$ "ฐานของเลขยกกำลังที่มีค่ามากสุดของตัวเศษ $3$ และตัวส่วนคือ $5$"
3. ฐานของเลขยกกำลังมีค่ามากสุดของ ตัวเศษ > ตัวส่วน คำตอบคือ ไม่มีลิมิต "ลำดับลู่ออก"
ตัวอย่างลิมิตของฟังก์ชันเอกโพเนนเชียลที่ ฐานของเลขยกกำลังมีค่ามากสุดของ ตัวเศษ > ตัวส่วน
$$\begin{eqnarray}\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{7^n-2^{n-1}}{5^{2n}+2^{n-1}}&=\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{7^n}{5^{2n}}\end{eqnarray} \text{ไม่มีลิมิต}$$ "ฐานของเลขยกกำลังที่มีค่ามากสุดของตัวเศษคือ $7$ และตัวส่วนคือ $5$"
ลิมิตของลำดับเลขคณิตและลำดับเรขาคณิต
ลิมิตของลำดับเลขคณิต
พจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิตคือ $a_n=a_1+(n-1)d$
ดังนั้นเราจะได้ว่า
$$\begin{eqnarray} \displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}a_n= \displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}a_1+(n-1)d=\begin{cases}
\infty \text{ เมื่อ} d>0\\
-\infty \text{เมื่อ} d<0\\
a_1 \text{ เมื่อ} d=0
\end{cases}\end{eqnarray}$$
ลิมิตของลำดับเรขาคณิต
พจน์ทั่วไปของลำดับเรขาคณิตคือ $a_n=a_1r^{(n-1)}$
ดังนั้นเราจะได้ว่า
$$\begin{eqnarray} \displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}a_n= \displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}a_1r^{(n-1)}=\begin{cases}
\infty \text{เมื่อ} |r|>1\\
a_1 \text{เมื่อ} r =1\\
\text{ไม่มีลิมิต} \text{เมื่อ} r =-1\\
0 \text{เมื่อ} |r|<1
\end{cases}\end{eqnarray}$$