ลิมิตของลำดับ (Limit of Sequence)


ให้ $a_n$ เป็นลำดับ

$$\begin{align*}\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}a_n=L\end{align*}$$

หมายความว่า เมื่อ $n$ มีค่าเพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ โดยไม่สิ้นสุด    ค่าของ $a_n$ เข้าใกล้หรือเท่ากับ  $L$
 

1.  ถ้า $L\in \mathbb{R}$ และมีเพียงจำนวนเดียว    เราเรียกว่า ลำดับลู่เข้า (Convergent Sequence)

ตัวอย่างของลำดับลู่เข้า

$a_n=\displaystyle\frac{1}{n}$ จะได้ลิมิต  $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{n}=0$

2.  ถ้า $L\not\in \mathbb{R}$ $(อาจเป็น  \infty, -\infty)$ หรือ อาจมีหลายค่า  เราเรียกว่า ลำดับลู่ออก (Divergent Sequence)

ตัวอย่างของลำดับลู่ออกสู่ $\infty$

           $a_n=n$  จะได้ลิมิต   $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}n=\infty$

ตัวอย่างของลำดับลู่ออกสู่ $-\infty$   

$a_n=-2^n$  จะได้ลิมิต  $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}-2^n =-\infty$

ตัวอย่างของลำดับมีค่าแกว่งไปมา

$a_n= (-1)^n$  จะได้ว่า  $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}(-1)^n$    หาค่าไม่ได้

เนื่องจาก $(-1)^n=-1$   เมื่อ n เป็นจำนวนคี่ และ $(-1)^n=1$ เมื่อ $n$  เป็นจำนวนคู่

ข้อสังเกต $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=\begin{cases}\infty\\
-\infty\\
\text{มีค่าแกว่งไปมา}
  \end{cases} $

  เราจะถือว่า $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}a_n$ ลู่ออก

ทฤษฏีเกี่ยวกับลิมิตของลำดับ

 

ให้ $k$ เป็นจำนวนจริงบวก, $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty} a_n=a$ และ $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty} b_n=b$ จะได้ว่า

  1. $\displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty}c=c$
     
  2. $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}c\cdot a_n=c\cdot\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}a_n=ca$
     
  3. $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}(a_n\pm b_n)=\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}a_n\pm\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}b_n=a\pm b$
     
  4. $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}(a_n\times b_n)=\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}a_n\times \displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}b_n=a\times b$
     
  5. $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{a_n}{b_n}=\frac{\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}a_n}{\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}b_n}=\frac{a}{b}$
     
  6. $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty} (a_n)^k=(\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}a_n)^k=a^k$
     
  7. $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}\sqrt[k]{a_n}=\sqrt[k]{\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}a_n}=\sqrt[k]{a}$
     
  8. $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}|a_n|=|\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}a_n|$
     
  9. ถ้า $|c|<1$ แล้ว $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty} c^n=0$
    ถ้า $|c|>1$ แล้ว $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty} c^n$ หาค่าไม่ได้
     
  10. $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{n^k}=0$  และ $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}n^k$ หาค่าไม่ได้

 

ลิมิตของเศษส่วนพหุนาม

 

การหาค่าของ $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{a_n}{b_n}$ เมื่อ  $a_n$  และ  $b_n$ เป็นฟังก์ชันพหุนาม  สามารถสรุปได้ดังนี้

1. กำลังสูงสุดของ $n$   ในตัวเศษ = ตัวส่วน   คำตอบคือ  $\frac{\text{สปส. กำลังสูงสุดของ $n$ ในเศษ}}{\text{สปส. กำลังสูงสุดของ $n$ ในส่วน}}$

ตัวอย่างของลิมิตเศษส่วนพหุนามที่ กำลังสูงสุดของ $n$   ในตัวเศษ = ตัวส่วน

  $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{2n^2-n-1}{6n^2+1}=\frac{1}{3}$     "กำลังสูงสุดของตัวเศษและตัวส่วนคือ $2$"

2. กำลังสูงสุดของ $n$   ในตัวเศษ < ตัวส่วน   คำตอบคือ  $0$

 ตัวอย่างของลิมิตเศษส่วนพหุนามที่ กำลังสูงสุดของ $n$   ในตัวเศษ < ตัวส่วน

$\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{5n+1}{n^2+6n+6}=0$     "กำลังสูงสุดของตัวเศษคือ $1$ และกำลังสูงสุดของตัวเศษคือ $2$"

3. กำลังสูงสุดของ $n$   ในตัวเศษ > ตัวส่วน   คำตอบคือ ไม่มีลิมิต (ลำดับลู่ออก)

ตัวอย่างของลิมิตเศษส่วนพหุนามที่ กำลังสูงสุดของ $n$   ในตัวเศษ > ตัวส่วน

$\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{n^2+3n+3}{9n+1}$     "กำลังสูงสุดของตัวเศษคือ $2$ และกำลังสูงสุดของตัวส่วนคือ $1$"

ลิมิตของฟังก์ชันเอกโพเนนเชียล

การหาค่าของ $\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{a_n}{b_n}$ เมื่อ  $a_n$ และ $b_n$ เป็นฟังก์ชันเอกโพเนนเชียล  สามารถสรุปได้ดังนี้

1. ฐานของเลขยกกำลังมีค่ามากสุดของ ตัวเศษ = ตัวส่วน  คำตอบคือ ให้ตัดพจน์อื่นทิ้งแล้วคำนวณ

ตัวอย่างลิมิตของฟังก์ชันเอกโพเนนเชียลที่ ฐานของเลขยกกำลังมีค่ามากสุดของ ตัวเศษ = ตัวส่วน

 $$\begin{eqnarray}\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{3^n+2^{n-1}}{3^{n+2}+2^{n-1}}=&\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{3^n}{3^{n+2}}\\
=&\frac{1}{3^2}\\
=&\frac{1}{9}\end{eqnarray}$$  

"ฐานของเลขยกกำลังที่มีค่ามากสุดของตัวเศษและตัวส่วนคือ $3$"

2. ฐานของเลขยกกำลังมีค่ามากสุดของ ตัวเศษ < ตัวส่วน  คำตอบคือ $0$

ตัวอย่างลิมิตของฟังก์ชันเอกโพเนนเชียลที่ ฐานของเลขยกกำลังมีค่ามากสุดของ ตัวเศษ < ตัวส่วน

 $$\begin{eqnarray}\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{2^{2n}-3^{2n+1}}{2^n+5^{2n}}=&\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{-3^{2n+1}}{5^{2n}}\\
=&0\end{eqnarray}$$  "ฐานของเลขยกกำลังที่มีค่ามากสุดของตัวเศษ $3$  และตัวส่วนคือ $5$"

3. ฐานของเลขยกกำลังมีค่ามากสุดของ ตัวเศษ > ตัวส่วน  คำตอบคือ ไม่มีลิมิต "ลำดับลู่ออก"

 ตัวอย่างลิมิตของฟังก์ชันเอกโพเนนเชียลที่  ฐานของเลขยกกำลังมีค่ามากสุดของ ตัวเศษ > ตัวส่วน

$$\begin{eqnarray}\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{7^n-2^{n-1}}{5^{2n}+2^{n-1}}&=\displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{7^n}{5^{2n}}\end{eqnarray}  \text{ไม่มีลิมิต}$$  "ฐานของเลขยกกำลังที่มีค่ามากสุดของตัวเศษคือ $7$ และตัวส่วนคือ $5$"

ลิมิตของลำดับเลขคณิตและลำดับเรขาคณิต

ลิมิตของลำดับเลขคณิต

พจน์ทั่วไปของลำดับเลขคณิตคือ       $a_n=a_1+(n-1)d$

ดังนั้นเราจะได้ว่า

$$\begin{eqnarray} \displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}a_n= \displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}a_1+(n-1)d=\begin{cases}
\infty      \text{ เมื่อ}  d>0\\
-\infty    \text{เมื่อ}  d<0\\
a_1         \text{ เมื่อ}  d=0
\end{cases}\end{eqnarray}$$

  ลิมิตของลำดับเรขาคณิต

 

พจน์ทั่วไปของลำดับเรขาคณิตคือ       $a_n=a_1r^{(n-1)}$

ดังนั้นเราจะได้ว่า

$$\begin{eqnarray} \displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}a_n= \displaystyle\lim_{n\rightarrow \infty}a_1r^{(n-1)}=\begin{cases}
\infty     \text{เมื่อ}  |r|>1\\
a_1       \text{เมื่อ}  r =1\\
\text{ไม่มีลิมิต}     \text{เมื่อ}  r =-1\\
0         \text{เมื่อ}  |r|<1
\end{cases}\end{eqnarray}$$

 

คำคล้าย: 
  • ลิมิตของลำดับ
  • ลิมิตลำดับ
  • ลิมิตอนันต์ของลำดับ
  • Limit of Sequence