เทคนิคคูณด้วยคอนจูเกทในการคำนวณลิมิตและอนุกรม (Limit Conjugate Technique)


การคำนวณลิมิตติดรากที่สองที่ใช้เทคนิคการแทนค่าแล้วอยู่ในรูป $\frac00$ หรือ $\infty-\infty$ สามารถแก้ได้ด้วยการคูณด้วยคอนจูเกทของพจน์ติดรากที่สองนั้น เช่น

ตัวอย่างการคูณด้วยคอนจูเกทในการคำนวณลิมิตของฟังก์ชัน

จงหา ${\displaystyle \lim_{x\rightarrow3}\frac{\sqrt{x+1}-2}{x-3}}$

จะเห็นว่าเมื่อแทนค่า $x=3$ แล้วจะได้อยู่ในรูป $\frac00$

\begin{eqnarray*}
\frac{\sqrt{\left(3\right)+1}-2}{\left(3\right)-3} & = & \frac{\sqrt{4}-2}{3-3}\\
 & = & \frac{2-2}{3-3}\\
 & = & \frac{0}{0}
\end{eqnarray*}

คอนจูเกทของ $\sqrt{x+1}-2$ คือ พจน์เดียวกันที่กลับเครื่องหมายตัวใดตัวหนึ่ง นั่นคือ $\sqrt{x+1}+2$

เราจึงคูณด้วยคอนจูเกทของ $\sqrt{x+1}-2$ หรือ คูณด้วย $\sqrt{x+1}+2$ ทั้งเศษและส่วน

\begin{eqnarray*}
{\displaystyle \lim_{x\rightarrow3}\frac{\sqrt{x+1}-2}{x-3}} & = & \lim_{x\rightarrow3}\frac{\sqrt{x+1}-2}{x-3}\times\frac{\sqrt{x+1}+2}{\sqrt{x+1}+2}\\
 & = & \lim_{x\rightarrow3}\frac{\left(\sqrt{x+1}-2\right)\left(\sqrt{x+1}+2\right)}{\left(x-3\right)\left(\sqrt{x+1}+2\right)}
\end{eqnarray*}

ซึ่งจะทำให้เทอมที่ติดรากที่สองหายไปเพราะตรงกับสูตรผลต่างกำลังสอง $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$  แล้วหลังจากนั้นก็ใช้เทคนิคอื่นๆ ของลิมิตในการคำนวณได้ตามปรกติ

\begin{align}
\lim_{x\rightarrow3} & \frac{\left(\sqrt{x+1}-2\right)\left(\sqrt{x+1}+2\right)}{\left(x-3\right)\left(\sqrt{x+1}+2\right)}\\
& =  \lim_{x\rightarrow3}\frac{\left(\sqrt{x+1}\right)^{2}-2^{2}}{\left(x-3\right)\left(\sqrt{x+1}+2\right)}\\
 & =  \lim_{x\rightarrow3}\frac{\left(x+1\right)-4}{\left(x-3\right)\left(\sqrt{x+1}+2\right)}\\
 & =  \lim_{x\rightarrow3}\frac{x-3}{\left(x-3\right)\left(\sqrt{x+1}+2\right)}\\
 & =  \lim_{x\rightarrow3}\frac{\cancel{x-3}}{\cancel{\left(x-3\right)}\left(\sqrt{x+1}+2\right)}\\
 & =  \lim_{x\rightarrow3}\frac{1}{\sqrt{x+1}+2}\\
 & =  \frac{1}{\sqrt{\left(3\right)+1}+2}\\
 & =  \frac{1}{\sqrt{4}+2}\\
 & =  \frac{1}{2+2}\\
 & =  \frac{1}{4}
\end{align}

${\displaystyle \lim_{x\rightarrow3}\frac{\sqrt{x+1}-2}{x-3}}=\frac14$

เทคนิคการคูณด้วยคอนจูเกทสามารถใช้ได้ทั้งลิมิตของลำดับอนันต์ ลิมิตของฟังก์ชัน ผลบวกของอนุกรมจำกัด และผลบวกของอนุกรมอนันต์อนันต์(ลิมิตของผลบวกย่อย) ที่มีส่วนใดส่วนหนึ่งติดรากที่สองและเมื่อใช้เทคนิคแทนค่าแล้วอยู่ในรูป $\frac00$ หรือ $\infty -\infty$

ตัวอย่างการใช้เทคนิคคูณด้วยคอนจูเกทกับอนุกรมจำกัด

กำหนดให้ลำดับ $a_{n}=\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}$ จงหาผลรวม $99$ พจน์แรกของลำดับนี้

จัดรูป $a_n$ เสียใหม่ โดยการคูณด้วยคอนจูเกทของ $\sqrt{n}+\sqrt{n+1}$ นั่นคือ คูณทั้งเศษและส่วนด้วย $\sqrt{n}-\sqrt{n+1}$

\begin{eqnarray*}
a_{n} & = & \frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}\\
 & = & \frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n+1}}\times\frac{\sqrt{n}-\sqrt{n+1}}{\sqrt{n}-\sqrt{n+1}}\\
 & = & \frac{\sqrt{n}-\sqrt{n+1}}{n-\left(n+1\right)}\\
 & = & \frac{\sqrt{n}-\sqrt{n+1}}{-1}\\
 & = & \sqrt{n+1}-\sqrt{n}
\end{eqnarray*}

จากนั้นนำ $a_n$ ในรูปใหม่นี้มาคำนวณผลรวม $99$ พจน์

\begin{eqnarray*}
S_{99} & = & a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{98}+a_{99}\\
 & = & \left(\sqrt{\left(1\right)+1}-\sqrt{\left(1\right)}\right)+\left(\sqrt{\left(2\right)+1}-\sqrt{\left(2\right)}\right)+\left(\sqrt{\left(3\right)+1}-\sqrt{\left(3\right)}\right)+\cdots\\
 & & +\left(\sqrt{\left(98\right)+1}-\sqrt{\left(98\right)}\right)+\left(\sqrt{\left(99\right)+1}-\sqrt{\left(99\right)}\right)\\
 & = & \left(\sqrt{2}-\sqrt{1}\right)+\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)+\left(\sqrt{4}-\sqrt{3}\right)+\cdots+\left(\sqrt{99}-\sqrt{98}\right)+\left(\sqrt{100}-\sqrt{99}\right)\\
 & = & \left(\cancel{\sqrt{2}}-\sqrt{1}\right)+\left(\bcancel{\sqrt{3}}\cancel{-\sqrt{2}}\right)+\left(\cancel{\sqrt{4}}\bcancel{-\sqrt{3}}\right)+\cdots+\left(\bcancel{\sqrt{99}}\cancel{-\sqrt{98}}\right)+\left(\sqrt{100}\bcancel{-\sqrt{99}}\right)\\
 & = & -\sqrt{1}+\sqrt{100}\\
 & = & -1+10\\
 & = & 9
\end{eqnarray*}

 $S_{99}=9$

ตัวอย่างการใช้เทคนิคคูณด้วยคอนจูเกทกับลำดับอนันต์

จงหาค่าของ $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sqrt{n^{2}+n+1}-\sqrt{n^{2}-n+1}}{2}$

เมื่อลองแทนค่าดูแล้วพบว่าอยู่ในรูป $\infty -\infty$ จึงคูณด้วยคอนจูเกท คือ คูณทั้งเศษและส่วนด้วย $\sqrt{n^{2}+n+1}+\sqrt{n^{2}-n+1}$

\begin{align*}
\lim_{n\rightarrow\infty}&\frac{\sqrt{n^{2}+n+1}-\sqrt{n^{2}-n+1}}{2}\\
 & =  \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sqrt{n^{2}+n+1}-\sqrt{n^{2}-n+1}}{2}\times\frac{\sqrt{n^{2}+n+1}+\sqrt{n^{2}-n+1}}{\sqrt{n^{2}+n+1}+\sqrt{n^{2}-n+1}}\\
 & =  \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\left(n^{2}+n+1\right)-\left(n^{2}-n+1\right)}{2\left(\sqrt{n^{2}+n+1}+\sqrt{n^{2}-n+1}\right)}\\
 & =  \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\cancel{2}n}{\cancel{2}\left(\sqrt{n^{2}+n+1}+\sqrt{n^{2}-n+1}\right)}\\
 & =  \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{\sqrt{n^{2}+n+1}+\sqrt{n^{2}-n+1}}
\end{align*}

จากนั้นหารทั้งเศษและส่วนด้วย $n$ แล้วจัดรูปเสียใหม่โดยการเอา $n$ เข้าไปในรากที่สอง

\begin{align*}
\lim_{n\rightarrow\infty}&\frac{\frac{n}{n}}{\frac{\sqrt{n^{2}+n+1}+\sqrt{n^{2}-n+1}}{n}}\\
 & =  \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{\sqrt{\frac{n^{2}+n+1}{n^{2}}}+\sqrt{\frac{n^{2}-n+1}{n^{2}}}}\\
 & =  \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}+\frac{1}{n^{2}}}+\sqrt{1-\frac{1}{n}+\frac{1}{n^{2}}}}\\
 & =  \frac{1}{\sqrt{1+0+0}+\sqrt{1-0+0}}\\
 & =  \frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{1}}\\
 & =  \frac{1}{2}
\end{align*}

ซึ่งทำให้สามารถคำนวณลิมิตของลำดับอนันต์ที่เคยอยู่ในรูป $\infty - \infty$ ได้

 $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sqrt{n^{2}+n+1}-\sqrt{n^{2}-n+1}}{2}=\frac12$

ตัวอย่างการคูณด้วยคอนจูเกทมากกว่าหนึ่งครั้ง

ให้หาค่าของ $\displaystyle\lim_{x\rightarrow-1}\frac{\sqrt{x^{2}+4x+5}-\sqrt{x^{2}+x+2}}{\sqrt{x^{2}+3x+3}+x}$

ทดลองแทนค่า $x=-1$ พบว่าอยู่ในรูป $\frac00$

\begin{eqnarray*}
\frac{\sqrt{\left(-1\right)^{2}+4\left(-1\right)+5}-\sqrt{\left(-1\right)^{2}+\left(-1\right)+2}}{\sqrt{\left(-1\right)^{2}+3\left(-1\right)+3}+\left(-1\right)} & = & \frac{\sqrt{2}-\sqrt{2}}{\sqrt{1}+\left(-1\right)}\\
 & = & \frac{0}{0}
\end{eqnarray*}

ทั้งด้านบนและด้านล่างเป็นพจน์ที่ติดรากที่สองทั้งคู่ จึงต้องคูณด้วยคอนจูเกทถึงสองครั้ง คือ คูณทั้งเศษและส่วนด้วย $\sqrt{x^{2}+4x+5}+\sqrt{x^{2}+x+2}$

\begin{align*}
\lim_{x\rightarrow-1}&\frac{\sqrt{x^{2}+4x+5}-\sqrt{x^{2}+x+2}}{\sqrt{x^{2}+3x+3}+x}\\
 & =  \lim_{x\rightarrow-1}\frac{\sqrt{x^{2}+4x+5}-\sqrt{x^{2}+x+2}}{\sqrt{x^{2}+3x+3}+x}\times\frac{\sqrt{x^{2}+4x+5}+\sqrt{x^{2}+x+2}}{\sqrt{x^{2}+4x+5}+\sqrt{x^{2}+x+2}}\\
 & =  \lim_{x\rightarrow-1}\frac{\left(x^{2}+4x+5\right)-\left(x^{2}+x+2\right)}{\left(\sqrt{x^{2}+3x+3}+x\right)\left(\sqrt{x^{2}+4x+5}+\sqrt{x^{2}+x+2}\right)}\\
 & =  \lim_{x\rightarrow-1}\frac{3x+3}{\left(\sqrt{x^{2}+4x+5}+\sqrt{x^{2}+x+2}\right)\left(\sqrt{x^{2}+3x+3}+x\right)}
\end{align*}

และคูณทั้งเศษและส่วนอีกครั้งด้วย $\sqrt{x^{2}+3x+3}-x$

\begin{eqnarray*}
 & = & \lim_{x\rightarrow-1}\frac{3x+3}{\left(\sqrt{x^{2}+4x+5}+\sqrt{x^{2}+x+2}\right)\left(\sqrt{x^{2}+3x+3}+x\right)}\times\frac{\sqrt{x^{2}+3x+3}-x}{\sqrt{x^{2}+3x+3}-x}\\
 & = & \lim_{x\rightarrow-1}\frac{\left(3x+3\right)\left(\sqrt{x^{2}+3x+3}-x\right)}{\left(\sqrt{x^{2}+4x+5}+\sqrt{x^{2}+x+2}\right)\left(\left(x^{2}+3x+3\right)-\left(x^{2}\right)\right)}\\
 & = & \lim_{x\rightarrow-1}\frac{\left(3x+3\right)\left(\sqrt{x^{2}+3x+3}-x\right)}{\left(\sqrt{x^{2}+4x+5}+\sqrt{x^{2}+x+2}\right)\left(3x+3\right)}\\
 & = & \lim_{x\rightarrow-1}\frac{\cancel{\left(3x+3\right)}\left(\sqrt{x^{2}+3x+3}-x\right)}{\left(\sqrt{x^{2}+4x+5}+\sqrt{x^{2}+x+2}\right)\cancel{\left(3x+3\right)}}\\
 & = & \lim_{x\rightarrow-1}\frac{\sqrt{x^{2}+3x+3}-x}{\sqrt{x^{2}+4x+5}+\sqrt{x^{2}+x+2}}
\end{eqnarray*}

จากนั้นใช้เทคนิคแทนค่า

\begin{eqnarray*}
 & = & \frac{\sqrt{\left(-1\right)^{2}+3\left(-1\right)+3}-\left(-1\right)}{\sqrt{\left(-1\right)^{2}+4\left(-1\right)+5}+\sqrt{\left(-1\right)^{2}+\left(-1\right)+2}}\\
 & = & \frac{\sqrt{1-3+3}+1}{\sqrt{1-4+5}+\sqrt{1-1+2}}\\
 & = & \frac{1+1}{\sqrt{2}+\sqrt{2}}\\
 & = & \frac{2}{2\sqrt{2}}\\
 & = & \frac{\cancel{2}}{\cancel{2}\sqrt{2}}\\
 & = & \frac{1}{\sqrt{2}}
\end{eqnarray*}

$\displaystyle\lim_{x\rightarrow-1}\frac{\sqrt{x^{2}+4x+5}-\sqrt{x^{2}+x+2}}{\sqrt{x^{2}+3x+3}+x}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

การใช้เทคนิคที่คล้ายกับการคูณด้วยคอนจูเกท

การคูณด้วยคอนจูเกททำให้รากที่สองหายไปได้เพราะว่าเราคูณด้วยพจน์ที่ตรงกับสูตรผลต่างกำลังสอง แต่ที่จริงแล้วยังมีสูตรกำลังสามและกำลังสี่ที่มีลักษณะคล้ายกัน คือ เมื่อคูณกันแล้วทำให้รากที่สามและรากที่สี่หายไปได้เช่นกัน  สูตรเหล่านั้น คือ

\begin{eqnarray*}
\left(a-b\right)\left(a+b\right) & = & a^{2}-b^{2}\\
\left(a-b\right)\left(a^{2}+ab+b^{2}\right) & = & a^{3}-b^{3}\\
\left(a+b\right)\left(a^{2}-ab+b^{2}\right) & = & a^{3}+b^{3}\\
\left(a-b\right)\left(a+b\right)\left(a^{2}+b^{2}\right) & = & a^{4}-b^{4}
\end{eqnarray*}

โดยเราจะนำมาปรับใช้กับพจน์ที่ติดรากที่สอง รากที่สามและรากที่สี่ได้ดังนี้

\begin{eqnarray*}
\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\times\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right) & = & a-b\\
\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\times\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right) & = & a-b\\
\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}\right)\times\left(\left(\sqrt[3]{a}\right)^{2}-\left(\sqrt[3]{a}\right)\left(\sqrt[3]{b}\right)+\left(\sqrt[3]{b}\right)^{2}\right) & = & a+b\\
\left(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}\right)\times\left(\left(\sqrt[3]{a}\right)^{2}+\left(\sqrt[3]{a}\right)\left(\sqrt[3]{b}\right)+\left(\sqrt[3]{b}\right)^{2}\right) & = & a-b\\
\left(\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b}\right)\times\left(\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}\right)\times\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right) & = & a-b\\
\left(\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}\right)\times\left(\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b}\right)\times\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right) & = & a-b
\end{eqnarray*}

ซึ่งสามารถนำมาใช้ได้แบบเดียวกับเทคนิคคูณด้วยคอนจูเกท เช่น

ตัวอย่างโจทย์ที่คูณให้ครบกำลังสาม 

ให้หาค่าของลิมิต $\displaystyle\lim_{t\rightarrow-1}\frac{\sqrt[3]{3t}-\sqrt[3]{t-2}}{t+1}$

เมื่อใช้เทคนิคแทนค่า $t=-1$ จะอยู่ในรูป $\frac00$

\begin{eqnarray*}
\frac{\sqrt[3]{3\left(-1\right)}-\sqrt[3]{\left(-1\right)-2}}{\left(-1\right)+1} & = & \frac{\sqrt[3]{-3}-\sqrt[3]{-3}}{\left(-1\right)+1}\\
 & = & \frac{0}{0}
\end{eqnarray*}

และเนื่องจากสองพจน์ด้านบนอยู่ในรูปรากที่สาม  เราจึงเลือกคูณทั้งเศษและส่วนด้วยให้ตรงกับสูตรของผลต่างกำลังสาม นั่นคือ คูณทั้งเศษและส่วนด้วย $\left(\sqrt[3]{3t}\right)^{2}+\left(\sqrt[3]{3t}\right)\left(\sqrt[3]{t-2}\right)+\left(\sqrt[3]{t-2}\right)^{2}$

\begin{align*}
\lim_{t\rightarrow-1}&\frac{\sqrt[3]{3t}-\sqrt[3]{t-2}}{t+1} \\
& =  \lim_{t\rightarrow-1}\frac{\sqrt[3]{3t}-\sqrt[3]{t-2}}{t+1}\times\frac{\left(\sqrt[3]{3t}\right)^{2}+\left(\sqrt[3]{3t}\right)\left(\sqrt[3]{t-2}\right)+\left(\sqrt[3]{t-2}\right)^{2}}{\left(\sqrt[3]{3t}\right)^{2}+\left(\sqrt[3]{3t}\right)\left(\sqrt[3]{t-2}\right)+\left(\sqrt[3]{t-2}\right)^{2}}\\
 & =  \lim_{t\rightarrow-1}\frac{\left(3t\right)-\left(t-2\right)}{t+1}\times\frac{1}{\left(\sqrt[3]{3t}\right)^{2}+\left(\sqrt[3]{3t}\right)\left(\sqrt[3]{t-2}\right)+\left(\sqrt[3]{t-2}\right)^{2}}\\
 & =  \lim_{t\rightarrow-1}\frac{2t+2}{t+1}\times\frac{1}{\left(\sqrt[3]{3t}\right)^{2}+\left(\sqrt[3]{3t}\right)\left(\sqrt[3]{t-2}\right)+\left(\sqrt[3]{t-2}\right)^{2}}\\
 & =  \lim_{t\rightarrow-1}\frac{2\cancel{\left(t+1\right)}}{\cancel{t+1}}\times\frac{1}{\left(\sqrt[3]{3t}\right)^{2}+\left(\sqrt[3]{3t}\right)\left(\sqrt[3]{t-2}\right)+\left(\sqrt[3]{t-2}\right)^{2}}\\
 & =  \lim_{t\rightarrow-1}\frac{2}{\left(\sqrt[3]{3t}\right)^{2}+\left(\sqrt[3]{3t}\right)\left(\sqrt[3]{t-2}\right)+\left(\sqrt[3]{t-2}\right)^{2}}\\
 & =  \frac{2}{\left(\sqrt[3]{3\left(-1\right)}\right)^{2}+\left(\sqrt[3]{3\left(-1\right)}\right)\left(\sqrt[3]{\left(-1\right)-2}\right)+\left(\sqrt[3]{\left(-1\right)-2}\right)^{2}}\\
 & =  \frac{2}{\left(\sqrt[3]{9}\right)+\left(\sqrt[3]{9}\right)+\sqrt[3]{9}}\\
 & =  \frac{2}{3\sqrt[3]{9}}
\end{align*}

$\displaystyle\lim_{t\rightarrow-1}\frac{\sqrt[3]{3t}-\sqrt[3]{t-2}}{t+1}=\frac{2}{3\sqrt[3]{9}}$

 

คำคล้าย: 
  • เทคนิคคูณด้วยคอนจูเกทในการคำนวณลิมิตและอนุกรม
  • เทคนิคคูณด้วยคอนจูเกท
  • เทคนิคคูณด้วยสังยุค
  • เทคนิคคูณสังยุค
  • เทคนิคคูณคอนจูเกท
  • Limit Conjugate Technique