พื้นฐานเซต (Intro to Set)


เซต เป็นคำใหม่ที่เราจะรู้จักตอนเรียน ม.4 ซึ่งจริง ๆ แล้ว เซต ก็คือ การบอกลักษณะที่เป็นกลุ่มของอะไรสักอย่าง เช่น เซตของจำนวนเฉพาะ หมายถึง กลุ่มของจำนวนเฉพาะ ดังนั้น สิ่งที่อยู่ในเซตนี้จะต้องเป็นจำนวนเฉพาะเท่านั้น เช่น $3$ อยู่ในเซตของจำนวนเฉพาะ แต่ $4$ ไม่อยู่ในเซตของจำนวนเฉพาะ

ซึ่งการอยู่ในเซต เรียกว่า เป็นสมาชิก สัญลักษณ์ คือ $\bf{\in}$

และถ้าไม่อยู่ในเซต เรียกว่า ไม่เป็นสมาชิก สัญลักษณ์ คือ $\bf{\notin}$

นอกจากนี้ เซต มีความพิเศษอีกหนึ่งอย่าง คือ เมื่อมีของสองชิ้นเหมือนกันทุกประการจะถือว่าของสองชิ้นนั้นเป็นชิ้นเดียวเท่านั้น เช่น ถึงแม้ว่าเราจะใส่เลข $3$ ลงไปในเซตของจำนวนเฉพาะเป็นจำนวน $4$   ตัว เราก็จะถือว่ามีเลขสามเป็นสมาชิกแค่ตัวเดียวเท่านั้น และ ในเซต เราไม่คำนึงถึงว่าอะไรจะมาก่อนหรือหลัง 

การเขียนเซต

ในการเขียนเซตนั้นเราจะใช้เครื่องหมาย $\{  \}$ แทนเซต และใส่สมาชิกที่ต้องการไว้ข้างใน โดยใช้เครื่องหมาย $,$ คั้นระหว่างสมาชิก เช่น $\{1,2,3,\}$ หมายถึง เซตของ $1, 2$ และ $3$

การเขียนเซตในโรงเรียนจะแบ่งออกเป็นสองประเภท คือ

1. การเขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิก

เป็นการเขียนแบบที่สามารถเห็นสมาชิกในเซตเป็นตัว ๆ ได้เลย และบอกได้ทันทีว่าอะไรอยู่ในเซตนั้นบ้าง เช่น $\{2,4,6,8\}$

2. การเขียนเซตแบบมีเงื่อนไข

การเขียนเซตแบบมีเงื่อนไข จะใช้สัญลักษณ์ $\{ \}$ แทนเซตเหมือนกัน แต่สิ่งที่ใส่ลงไปจะไม่ใช้สมาชิกรายตัว แต่เป็นเงื่อนไขของการเป็นสมาชิก เช่น $$\{ x | x \text{ เป็นจำนวนนับที่น้อยกว่าเท่ากับ } 5 \}$$ เครื่องหมาย $|$ จะแทนคำว่า โดยที่ หรือ คำว่า เมื่อ และ $x$ จะเป็นตัวแปรที่แทนสิ่งที่จะอยู่ในเซตนี้ ดังนั้นเซตนี้ อ่านว่า เซตของ $x$ โดยที่ $x$ เป็นจำนวนนับที่น้อยกว่าเท่ากับ $5$ ซึ่งจะได้ว่าสมาชิกในเซตนี้คือ $1,2,3,4$ และ $5$

ในโรงเรียนจะแบ่งการเขียนเซตออกเป็น $2$ ประเภทนี้เท่านั้น แต่พี่จะแนะนำการเขียนเซตอีกแบบ นั้นคือ การเขียนเซตแบบเป็นรูปภาพ ซึ่งปกติแล้ว ในโรงเรียนจะสอนเรื่องนี้อยู่ในหัวข้อ แผนภาพ เวนน์-ออยเลอร์ (Venn-Euler Diagram) ซึ่งการเขียนเซตด้วยภาพนั้น คือ การวาด รูปอะไรสักรูปที่เป็นรูปปิด ไม่ว่าจะเป็นวงกลม สี่เหลี่ยม สามเหลี่ยม หรือรูปอื่น ๆ ขอแค่เป็นรูปที่สามารถบอกได้ว่าส่วนไหนเรียกว่าข้างใน ส่วนไหนเรียกว่าข้างนอก แล้ว นำสมากชิกของเซตนั้นไปเขียนไว้ข้างในรูปนั้น เช่น $\{1,2,3,4,5\}$ ถ้าต้องการเขียนเป็นภาพ จะได้

นอกจากนี้ เราจะมีการให้ชื่อเซต หรือ สัญลักษณ์แทนเซต เช่นถ้าเรามี $\{1,2,3,4,5\}$ ถ้าเราต้องการพูดถึงเซตนี้บ่อย ๆ จะทำให้ยุ่งยากในการกล่าวถึง และสับสนได้ง่าย ดังนั้นเราจะให้ชื่อเซต โดยบอกว่า $A=\{1,2,3,4,5\}$ และหลังจากนี้เราจะเรียกแค่ เซต $A$ เท่านั้น 

ในการให้ชื่อเซตนั้น ควรเป็นตัวอักษรภาษาอังกฤษพิมพ์ใหญ่ เพื่อให้มีความเข้าใจที่ตรงกันและเป็นสากล

จำนวนสมาชิกในเซต

ในการหาจำนวนสมาชิกในแต่ละเซตก็คือ การหาว่าในเซตนั้นมีสิ่งที่อยู่ข้างในกี่ตัวเท่านั้นเอง เช่น $$\text{จำนวนสมาชิก ของ } \{2,4,6,8\} \text{ คือ } 4$$

จำนวนสมาชิกของเซต $A$ ใช้สัญลักษณ์ $n(A)$

เซตจำกัด เซตอนันต์

นอกจาการแบ่งเซตตามประเภทการเขียนเซตแล้ว ยังมีการแบ่งเซตตามจำนวนสมาชิกออกเป็น $2$ ประเภท คือ

1. เซตจำกัด

เซตจำกัด คือ เซตที่สามารถนับจำนวนสมาชิกได้ ไม่ว่าจะนับออกมาเป็นจำนวนอะไรก็ตาม รวมถึง เซตที่มีจำนวนสมาชิกเป็น $0$ ก็ถือว่าเป็นเซตจำกัดเหมือนกัน

เซตที่มีจำนวนสมาชิกเป็น $0$ เรียกว่า เซตว่าง สัญลักษณ์คือ $\bf{\varnothing}$

2. เซตอนันต์

เซตอนันต์ คือ เซตที่มีสมาชิกเยอะมากจนนับไม่ได้ หรือ บอกไม่ได้ว่าสมาชิกเป็นเท่าไหร่กันแน่ เช่น $$\{1,2,3,4,5,\cdots\}$$ เราจะไม่สามารถบอกได้ว่าสมาชิกมีเท่าไหร่กันแน่ ดังนั้น ถ้าเขียนเซตแบบแจกแจงสมากชิกแล้วมี $\cdots$ อยู่ที่หัวหรือท้ายเซต จะเป็นเซตอนันต์

แต่จะต้องระวัง ไม่ใช่ว่าเจอ $\cdots$ แล้วจะเป็นเซตอนันต์เสมอ เช่น $\{1,2,3,\cdots,9,10\}$ เซตนี้ มีจำนวนสมาชิกเท่ากับ 10 ดังนั้น เซตนี้จะต้องเป็นเซตจำกัด

การเท่ากันของเซต

เซตที่จะเท่ากัน คือ เซตที่เหมือนกันทุกอย่าง นั้นคือ มีจำนวนสมาชิกเท่ากัน และ สมาชิกทุกตัวเหมือนกัน

เช่น $$\{1,2,3,4,5\} \text{ เท่ากับ } \{2,1,1,3,5,4\}$$ เนื่องจากเราเคยบอกแล้วว่าในเซต ถ้ามีสมาชิกที่เหมือนกันทุกอย่างให้นับเป็นสมาชิกเพียงหนึ่งตัวเท่านั้น ดังนั้นทั้งสองเซตมีสมาชิกเท่ากัน คือ $5$ และ ในเซตเราไม่คำนึงถึงว่า อะไรมาก่อนมาหลัง แต่ทั้งสองเซตประกอบด้วยเลข $1,2,3,4\text{ และ } 5$ เหมือนกัน จึงได้ว่าเซตทั้งสองเซตนี้เท่ากัน

ยูนิเวอร์ส

เวลาเราพูดสิ่งกลุ่มของอะไรสักอย่าง จะต้องมีการบอกขอบเขต เช่น เวลาพูดถึงกลุ่มของผู้หญิง ก็จะต้องดูว่าเรากำลังพูดกลุ่มของผู้หญิงจากกลุ่มใหญ่กลุ่มไหน เช่น กลุ่มของผู้หญิง จาก นักเรียนในห้องหนึ่ง จะได้ว่ากลุ่มที่่ใหญ่ที่สุดที่เป็นขอบเขตในการกล่าวถึงกลุ่มอื่น ๆ ในทีนี้คือนักเรียนทั้งหมดในห้องหนึ่ง

ดังนั้น ยูนิเวอส์ ก็คือ ขอบเขตในการกล่าวถึงกลุ่มต่าง ๆ  หรือ เซตต่าง ๆ โดยสมาชิกในเซตต่าง ๆ ที่กล่าวถึงนั้นจะต้องอยู่ภายใต้ ยูนิเวอส์ นั้น ๆ

 

คำคล้าย: 
  • พื้นฐานเซต
  • Intro to Set