พื้นฐานเมทริกซ์ (Intro to Matrix)


เมทริกซ์คืออะไร

กลุ่มของจำนวนที่ถูกเขียนเรียงเป็นแถว แถวละเท่า ๆ กัน และถูกล้อมรอบด้วยวงเล็บ

ตัวอย่างของเมทริกซ์

  $$M_1=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6 \end{bmatrix},     M_2=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6 \end{bmatrix},     M_3=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$$ 

มิติและการเรียกตำแหน่ง

  • มิติ

ถ้าเมทริกซ์  $M_1$  มีสมาชิก $m$ แถว  และ $n$ หลัก เราเรียกเมทริกซ์นั้นว่า เมทริกซ์ $M_1$ มีมิติ $m\times n$ หรือเรียกว่า  เมทริกซ์ $M_1$ มีขนาด $m\times n$

พิจารณาเมทริกซ์ $M_1, M_2, M_3$ จากตัวอย่างข้างบนเราจะได้

เมทริกซ์ $M_1$  มีมิติ $2\times 3$

เมทริกซ์ $M_2$  มีมิติ $3\times 2$

เมทริกซ์ $M_3$  มีมิติ $2\times 2$

 

  • ตำแหน่ง

เราใชัสัญลักษณ์ต่อไปนี้แทนเมทริกซ์ที่มีมิติ $m\times n$

$$A=[a_{ij}]_{m\times n}=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&\cdots &a_{1n}\\
a_{21}&a_{22}&a_{13}&\cdots &a_{2n}\\
\vdots&\vdots&\vdots&\ddots &\vdots\\
a_{m1}&a_{m2}&a_{13}&\cdots &a_{mn}
\end{bmatrix}$$

$a_{ij}$ หมายถึงสมาชิก แถวที่ $i$ หลักที่ $j$

ตัวอย่างของสัญลักษณ์แทนตำแหน่งของเมทริกซ์

$$M_1=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\end{bmatrix}$$

  ดังนั้น $a_{11}=1,  a_{12}=2,  a_{13}=3,  a_{21}=4,  a_{22}=5,  a_{23}=6$

ประเภทของเมทริกซ์ที่ควรรู้จัก

เมทริกซ์ศูนย์

คือ เมทริกซ์ที่สมาชิกทุกตัวเป็น $0$ หมด เราใชัสัญลักษณ์ $\bar{0}=[0]_{m\times n}$

ตัวอย่างของเมทริกซ์ศูนย์

$$[0]_{2\times 3}=\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}$$

เมทริกซ์จัตุรัส

คือ เมทริกซ์ที่มีจำนวนแถว และหลักเท่ากัน หรือเป็นเมทริกซ์ที่มีมิติ  $n\times n$

ตัวอย่างของเมทริกซ์จัตุรัส

 $$M_2=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix},   M_4=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9 \end{bmatrix}$$

  • แนวทแยงมุมหลัก
    คือ ถ้า $A$ เป็นเมทริกซ์จตุรัส เรียกสมาชิกบนเส้นทแยงมุมจากซ้ายบนลงมาถึงขวาล่างว่า สมาชิกในแนวเส้นทแยงมุมหลัก

ตัวอย่างของสมาชิกในแนวเส้นแทยงมุมหลักของเมทริกซ์ $M_2$ และ $M_4$

 สมาชิกในแนวเส้นทแยงมุมหลักของ $M_2$ คือ $1,  4$

 สมาชิกในแนวเส้นทแยงมุมหลักของ $M_4$ คือ $1,   5,   9$

เราอาจพิจารณาได้อีกแบบคือ สมาชิกในแนวเส้นแทยงมุมหลักของเมทริกซ์จตุรัส

คือ $a_{11},  a_{22},  a_{33}, \ldots,  a_{nn}$

คือ เมทริกซ์จตุรัสที่สมาชิกในแนวเส้นแทยงมุมหลักทุกค่าเป็น $1$ และสมาชิกตำแหน่งอื่น ๆ มีค่าเป็น $0$  เราใชัสัญลักษณ์ $I_n$ แทนเมทริกซ์เอกลักษณ์มิติ $n\times n$

ตัวอย่างของเมทริกซ์เอกลักษณ์

$$I_2=\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix},    I_3=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}$$  

 

  • เมทริกซ์สามเหลี่ยมบน
    คือ เมทริกซ์จัตุรัสที่มีสมาชิกของเมทริกซ์ทุกตัวที่อยู่ใต้เส้นทแยงมุมหลักมีค่าเท่ากับ $0$ ตำแหน่งที่เหลือมีค่าเท่าใหร่ก็ได้

ตัวอย่างของเมทริกซ์สามเหลี่ยมบน

$$\begin{bmatrix}1&2&3\\0&4&5\\0&0&6\end{bmatrix},             \begin{bmatrix}1&0&3&0\\0&4&5&0\\0&0&6&7\\0&0&0&8 \end{bmatrix}$$

 

  • เมทริกซ์สามเหลี่ยมล่าง
    คือ เมทริกซ์จัตุรัสที่มีสมาชิกของเมทริกซ์ทุกตัวที่อยู่บนส้นทแยงมุมหลักมีค่าเท่ากับ $0$ ตำแหน่งที่เหลือมีค่าเท่าใหร่ก็ได้

ตัวอย่างของเมทริกซ์สามเหลี่ยมล่าง

$$\begin{bmatrix}3&0&0\\3&4&0\\1&3&6\end{bmatrix},           \begin{bmatrix}5&0&0&0\\3&4&0&0\\1&3&6&0\\1&2&3&4\end{bmatrix}$$

ข้อสังเกต เมทริกซ์ศูนย์ และเมทริกซ์เอกลักษณ์ เป็นทั้งเมทริกซ์สามเหลี่ยมบน และเมทริกซ์สามเหลี่ยมล่าง

ทรานสโพส

ให้ $A$ เป็นเมทริกซ์มีมิติ $m\times n$ เขียนแทนด้วย $A=[a_{ij}]_{m\times n}$  ซึ่งทรานโพสของ $A$ เขียนแทนด้วย $A^t$ คือ

$A^t=[a_{ij}]_{m\times n}=[a_{ji}]_{n\times m}$

คือ เมทริกซ์ที่เกิดจากการนำสมาชิกในเมทริกซ์ $A$ สลับกันระหว่างแถวกับหลัก

ตัวอย่างของเมทริกซ์ทราสโพส

ให้ $A=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6 \end{bmatrix}$  และ  $B=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9 \end{bmatrix}$ ดังนั้น

$A^t=\begin{bmatrix}1&4\\2&5\\3&6 \end{bmatrix}$     และ    $B^t=\begin{bmatrix}1&4&7\\2&5&8\\3&6&9\end{bmatrix}$

คำคล้าย: 
  • พื้นฐานเมทริกซ์
  • Intro to Matrix