สูตรการหาปริพันธ์ไม่จำกัดเขต (Integration Formula)


สูตรการหาปริพันธ์ไม่จำกัดเขตของฟังก์ชัน

สูตรที่ 1 $\int kdx = kx+c$ เมื่อ $k$ และ $c$ เป็นค่าคงตัว

 ตัวอย่างการใช้สูตรที่ 1

จงหา $\int 2dx$

 $\int 2dx = 2x+c$ เมื่อ $c$ เป็นค่าคงตัว

สูตรที่ 2 $\displaystyle \int x^n dx  = \frac{x^{n+1}}{n+1} + c$ เมื่อ $c$ เป็นค่าคงตัว และ $n \neq-1$

ตัวอย่างการใช้สูตรที่ 2

จงหา $\int x^3 dx$

\begin{eqnarray*}
\int x^3 dx &=& \frac{x^{3+1}}{3+1} + c\\
&=& \frac{x^4}{4} + c \;\;\;\;\;\; \text{เมื่อ $c$ เป็นค่าคงตัว}
\end{eqnarray*} 


 

จงหา $\displaystyle \int  \frac{1}{x^3} dx$

\begin{eqnarray*}
\int \frac{1}{x^3} dx &=& \int x^{-3} dx\\
&=& \frac{x^{-3+1}}{-3+1} + c\\
&=& \frac{x^{-2}}{-2} + c\\
&=& -\frac{1}{2x^2} + c \;\;\;\;\;\; \text{เมื่อ $c$ เป็นค่าคงตัว}
\end{eqnarray*}

สูตรที่ 3 $\int kf(x) dx = k \int f(x) dx$ เมื่อ $k$ เป็นค่าคงตัว และ $f(x)$ มีปริพันธ์

ตัวอย่างการใช้สูตรที่ 3

จงหา $\int 4x^3 dx$

\begin{eqnarray*}
\int 4x^3 dx &=& 4 \int x^3 dx\\
&=& 4 \left( \frac{x^4}{4} + c_1 \right) \;\;\;\;\;\; &\text{เมื่อ $c_1$ เป็นค่าคงตัว}\\
&=& \cancel{4} \left( \frac{x^4}{\cancel{4}} \right) + 4 c_1\\
&=& x^4 + c \;\;\;\;\;\; &\text{เมื่อ $c=4 c_1$}
\end{eqnarray*}

สูตรที่ 4 $\int [f(x) \pm g(x)]dx = \int f(x) dx \pm\int g(x) dx$ เมื่อ $f(x)$ และ $g(x)$ มีปริพันธ์

 ตัวอย่างการใช้สูตรที่ 4

จงหา $\int(x^3+2x)dx$

\begin{eqnarray*}
\int(x^3+2x)dx &=& \int x^3 dx + \int 2x dx\\
&=& \left( \frac{x^4}{4} + c_1 \right) + (x^2 + c_2) \;\;\;\;\;\; &\text{เมื่อ $c_1$ และ $c_2$ เป็นค่าคงตัว}\\
&=& \frac{x^4}{4} + x^2 + c_1 + c_2\\
&=& \frac{x^4}{4} + x^2 + c &\text{เมื่อ $c=c_1+c_2$}
\end{eqnarray*}


 

จงหา $\displaystyle \int \left( 2x^3 - \frac{1}{x^2} \right) dx$

\begin{eqnarray*}
\int \left ( 2x^3 - \frac{1}{x^2} \right) dx &=& \int 2x^3 dx - \int \frac{1}{x^2} dx\\
&=& 2 \int x^3 dx - \int x^{-2} dx\\
&=& \cancel{2} \left( \frac{x^4}{\cancelto{2}{4}} \right) - \frac{x^{-1}}{-1}\\
&=& \frac{x^4}{2} + \frac{1}{x} + c \;\;\;\;\;\; \text{เมื่อ $c$ เป็นค่าคงตัว}
\end{eqnarray*}

จะเห็นว่า ในการหาปริพันธ์ไม่จำกัดเขตของผลบวกหรือผลต่างของฟังก์ชัน เราไม่จำเป็นต้องบวกค่าคงตัวเมื่อหาปริพันธ์ไม่จำกัดเขตของฟังก์ชันย่อยๆ ก็ได้ เราสามารถบวกค่าคงตัวเพียงตัวเดียวในตอนท้ายเพื่อความสะดวกนั่นเอง

จากสูตรที่ 3 และ 4 จะได้ว่า

$\int [k_1 f_1(x) + k_2 f_2(x) + k_3 f_3(x) + ... + k_n f_n(x)] dx \\= k_1 \int f_1(x) dx + k_2 \int f_2(x) dx + k_3 \int f_3(x) dx + ... + k_n \int f_n(x) dx$

เมื่อ $k_1 , k_2 , k_3 , ..., k_n$ เป็นค่าคงตัว 

 

ตัวอย่างการหาปริพันธ์ไม่จำกัดเขตโดยใช้สูตร

ตัวอย่างที่ 1

จงหา $\int(4x^5+3x^2-2x+1)dx$

\begin{eqnarray*}
\int(4x^5+3x^2-2x+1)dx &=& 4\int x^5 dx + 3\int x^2 dx - 2\int x dx + \int 1 dx\\
&=& 4 \frac{x^6}{6} + 3 \frac{x^3}{3} - 2 \frac{x^2}{2} + x + c\\
&=& \frac{2}{3} x^6 + x^3 - x^2 + x + c \;\;\;\;\;\; \text{เมื่อ $c$ เป็นค่าคงตัว}
\end{eqnarray*} 

 $\displaystyle \int(4x^5+3x^2-2x+1)dx = \frac{2}{3} x^6 + x^3 - x^2 + x + c$ เมื่อ $c$ เป็นค่าคงตัว


 

ตัวอย่างที่ 2

จงหา $\displaystyle \int \left( \frac{4}{3}x^3 + 6x - \frac{1}{3} - \frac{2}{x^2} \right) dx$

\begin{eqnarray*}
\int \left( \frac{4}{3}x^3 + 6x - \frac{1}{3} - \frac{2}{x^2} \right) dx &=& \frac{4}{3}\int x^3 dx + 6 \int x dx - \int \frac{1}{3} dx - 2 \int x^{-2} dx\\
&=& \frac{4}{3}\frac{x^4}{4} + 6 \frac{x^2}{2} - \frac{1}{3}x - 2 \frac{x^{-1}}{-1} + c\\
&=& \frac{x^4}{3} + 3x^2 - \frac{x}{3} + \frac{2}{x} + c \;\;\;\;\;\; \text{เมื่อ $c$ เป็นค่าคงตัว}
\end{eqnarray*}

 $\displaystyle \int \left( \frac{4}{3}x^3 + 6x - \frac{1}{3} - \frac{2}{x^2} \right) dx = \frac{x^4}{3} + 3x^2 - \frac{x}{3} + \frac{2}{x} + c$ เมื่อ $c$ เป็นค่าคงตัว

 

คำคล้าย: 
  • สูตรการหาปริพันธ์ไม่จำกัดเขต
  • สูตรการอินทิเกรต
  • Integration Formula