การหาปริพันธ์ของฟังก์ชันในรูป $U^n$ เมื่อ $U$ เป็นฟังก์ชัน
ในการหาปริพันธ์ไม่จำกัดเขตของฟังก์ชันที่อยู่ในรูป $U^n$ เมื่อ $U=f(x)$ และ $n \neq -1$ เช่น
$\int (2x-5)^6 dx$
เราไม่สามารถใช้สูตรการหาปริพันธ์โดยตรงได้ การหาปริพันธ์ของฟังก์ชันรูปแบบนี้ต้องใช้เทคนิคการเปลี่ยน $dx$ เป็น $dU$ ดังตัวอย่างต่อไปนี้
ตัวอย่างการหาปริพันธ์ไม่จำกัดเขตของฟังก์ชันในรูป $U^n$
ตัวอย่างที่ 1
จงหา $\int (2x-5)^6 dx$
ให้ $U=2x-5$ จะได้
\begin{eqnarray*}
\frac{dU}{dx} &=& \frac{d}{dx}(2x-5)\\
\frac{dU}{dx} &=& 2\\
\frac{dU}{2} &=& dx
\end{eqnarray*}
จาก $\int (2x-5)^6 dx$ จะได้ $\displaystyle \int U^6 \frac{dU}{2} = \int \frac{U^6}{2} dU$
เราจะสามารถหาปริพันธ์ได้โดยใช้สูตรการหาปริพันธ์พื้นฐาน ดังนี้
\begin{eqnarray*}
\int \frac{U^6}{2} dU &=& \frac{U^7}{(2)(7)} + c \;\;\;\;\;\; \text{เมื่อ $c$ เป็นค่าคงตัว}\\
&=& \frac{U^7}{14} + c
\end{eqnarray*}
แทนค่า $U=2x-5$ กลับ จะได้ $\displaystyle \frac{(2x-5)^7}{14} + c$
$\displaystyle \int (2x-5)^6 dx = \frac{(2x-5)^7}{14} + c$ เมื่อ $c$ เป็นค่าคงตัว
ตัวอย่างที่ 2
จงหา $\displaystyle \int \sqrt{3x-5} dx$
ให้ $U=3x-5$ จะได้
\begin{eqnarray*}
\frac{dU}{dx} &=& \frac{d}{dx}(3x-5)\\
\frac{dU}{dx} &=& 3\\
\frac{dU}{3} &=& dx
\end{eqnarray*}
จาก $\displaystyle \int \sqrt{3x-5} dx$ จะได้ $\displaystyle \int \sqrt{U} \frac{dU}{3} = \int \frac{U^\frac{1}{2}}{3} dU$
\begin{eqnarray*}
\int \frac{U^\frac{1}{2}}{3} dU &=& \frac{U^\frac{3}{2}}{(3)\left(\frac{3}{2}\right)} + c \;\;\;\;\;\; \text{เมื่อ $c$ เป็นค่าคงตัว}\\
&=& \frac{2}{9}(U)^\frac{3}{2} + c
\end{eqnarray*}
แทนค่า $U=3x-5$ กลับ จะได้ $\displaystyle \frac{2}{9}(3x-5)^\frac{3}{2} + c$
$\displaystyle \int \sqrt{3x-5} dx = \frac{2}{9}(3x-5)^\frac{3}{2} + c$
ตัวอย่างที่ 3
จงหา $\int (x^3+2)^2 3x^2 dx$
ให้ $U=x^3+2$ จะได้
\begin{eqnarray*}
\frac{dU}{dx} &=& \frac{d}{dx}(x^3+2)\\
\frac{dU}{dx} &=& 3x^2\\
\frac{dU}{3x^2} &=& dx
\end{eqnarray*}
จาก $\displaystyle \int (x^3+2)^2 3x^2 dx$ จะได้ $\displaystyle \int U^2 3x^2 \frac{dU}{3x^2} = \int U^2 dU$
\begin{eqnarray*}
\int U^2 dU &=& \frac{U^3}{3} + c \;\;\;\;\;\; \text{เมื่อ $c$ เป็นค่าคงตัว}
\end{eqnarray*}
แทนค่า $U=x^3+2$ กลับ จะได้ $\displaystyle \frac{(x^3+2)^3}{3} + c$
$\displaystyle \int (x^3+2)^2 3x^2 dx = \frac{(x^3+2)^3}{3} + c$
ตัวอย่างที่ 4
จงหา $\int (4-x^3)^2 x^2 dx$
ให้ $U=4-x^3$ จะได้
\begin{eqnarray*}
\frac{dU}{dx} &=& \frac{d}{dx}(4-x^3)\\
\frac{dU}{dx} &=& -3x^2\\
\frac{dU}{-3x^2} &=& dx
\end{eqnarray*}
จาก $\int (4-x^3)^2 x^2 dx$ จะได้ $\int U^2 x^2 \frac{dU}{-3x^2} = -\int \frac{U^2}{3} dU$
\begin{eqnarray*}
-\int \frac{U^2}{3} dU &=& -\frac{U^3}{(3)(3)} + c \;\;\;\;\;\; \text{เมื่อ $c$ เป็นค่าคงตัว}\\
&=& -\frac{U^3}{9} + c
\end{eqnarray*}
แทนค่า $U=4-x^3$ กลับ จะได้ $\displaystyle -\frac{(4-x^3)^3}{9} + c$
$\displaystyle \int (4-x^3)^2 x^2 dx = -\frac{(4-x^3)^3}{9} + c$