ถ้าให้ $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n$ เป็นอนุกรมอนันต์ เราจะเรียกผลบวก $n$ พจน์แรกว่า ผลบวกย่อย (Partial Sum)
$$S_n=a_{1}+a_{2}+a_{3}+\cdots+a_{n}={\displaystyle \sum_{k=1}^{n}a_{k}}$$
อนุกรม $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n$ จะเป็นอนุกรมลู่เข้า ถ้า ลิมิตของ $\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}S_n$ หาค่าได้และกำหนดให้ผลบวกอนันต์ของอนุกรมหรือผลรวมอนันต์ของอนุกรม มีค่าเท่ากับลิมิตของผลบวกย่อย
$$\sum_{n=1}^{\infty}a_n = \lim_{n\rightarrow\infty}S_n$$
ส่วนอนุกรมลู่ออกถือว่าไม่มีผลรวมอนันต์
* ดูตัวอย่างการหาผลบวกย่อยและคำนวณลิมิตเพื่อตรวจสอบว่าเป็นอนุกรมลู่เข้าหรือลู่ออกได้ที่เรื่องการลู่เข้าของอนุกรม
ตัวอย่างการหาผลรวมอนันต์จากผลบวกย่อย
ให้หาผลรวมอนันต์ของ $18+6+2+\frac23+\cdots+\frac{54}{3^n}+\cdots$
หาผลบวกย่อยโดยใช้สูตรอนุกรมเรขาคณิต $S_n=\frac{a_1-a_1r^n}{1-r}$
\begin{eqnarray*}
S_{n} & = & 18+6+2+\frac{2}{3}+\cdots+\frac{54}{3^{n}}\\
& = & \frac{18-18\times\left(\frac{1}{3}\right)^{n}}{1-\frac{1}{3}}\\
& = & \frac{18\left[1-\left(\frac{1}{3}\right)^{n}\right]}{\frac{3}{3}-\frac{1}{3}}\\
& = & \frac{18\left[1-\left(\frac{1}{3}\right)^{n}\right]}{\frac{2}{3}}\\
& = & \frac{3}{2}\times18\left[1-\left(\frac{1}{3}\right)^{n}\right]\\
& = & 27\left[1-\left(\frac{1}{3}\right)^{n}\right]
\end{eqnarray*}
คำนวณลิมิตของ $S_n$
\begin{eqnarray*}
\lim_{n\rightarrow\infty}S_{n} & = & \lim_{n\rightarrow\infty}27\left[1-\left(\frac{1}{3}\right)^{n}\right]\\
& = & 27\lim_{n\rightarrow\infty}\left[1-\left(\frac{1}{3}\right)^{n}\right]\\
& = & 27\left[\lim_{n\rightarrow\infty}1-\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{1}{3}\right)^{n}\right]\\
& = & 27\left[\left(1\right)-\left(0\right)\right]\\
& = & 27
\end{eqnarray*}
จะเห็นว่าลิมิตของ $S_n$ หาค่าได้เท่ากับ $27$ ดังนั้นอนุกรมนี้เป็นอนุกรมลู่เข้า และมีผลบวกอนันต์เท่ากับ $27$ หรือเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์
$$\displaystyle18+6+2+\frac23+\cdots=27$$
ข้อนี้สามารถใช้สูตรผลรวมอนันต์และผลรวม $n$ พจน์ของอนุกรมเรขาคณิตตามปรกติได้เช่นเดียวกัน
ตัวอย่างการหาผลรวมอนันต์จากผลบวกย่อยที่โจทย์กำหนดให้
อนุกรม $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_n$ มีผลบวกย่อยเป็น $S_n=4-\frac{n+2}{n+3}$ จงหาผลรวมอนันต์ $a_1+a_2+a_3+\cdots$
เนื่องจากโจทย์กำหนดผลบวกย่อยมาให้แล้ว เราจึงสามารถคำนวณผลรวมอนันต์ได้เลยโดยนำ $S_n$ มาหาลิมิต
\begin{eqnarray*}
\sum_{n=1}^{\infty}a_{n} & = & \lim_{n\rightarrow\infty}S_{n}\\
& = & \lim_{n\rightarrow\infty}\left(4-\frac{n+2}{n+3}\right)\\
& = & \left(\lim_{n\rightarrow\infty}4\right)-\left(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n+2}{n+3}\right)\\
& = & \left(4\right)-\left(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1+\frac{2}{n}}{1+\frac{3}{n}}\right)\\
& = & 4-\left(\frac{1+\left(0\right)}{1+\left(0\right)}\right)\\
& = & 4-1\\
& = & 3
\end{eqnarray*}
ดังนั้นผลรวมอนันต์ของอนุกรมนี้เท่ากับ $a_1+a_2+a_3+\cdots = 3$