ฟังก์ชันเพิ่มและฟังก์ชันลด (Increasing and Decreasing Function)


หนึ่งในประโยชน์ที่สำคัญของอนุพันธ์คือการใช้หาค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดของปัญหาทั่วไป เช่น การหากำไรสูงที่สุด การทำให้ต้นทุนต่ำที่สุด การล้อมรั้วให้ได้พื้นที่มากที่สุด การสร้างกล่องให้มีปริมาตรมากที่สุด เป็นต้น เราประยุกต์โดยใช้แก้ปัญหาว่าค่า $x$ เป็นเท่าใด จึงจะทำให้ $y$ มีค่าสูงที่สุดหรือต่ำที่สุด

สำหรับวิธีการแก้ปัญหานี้ หากเป็นฟังก์ชันกำลังสอง เราสามารถใช้วิธีการอื่นที่เคยศึกษามาก่อน เช่น กำลังสองสมบูรณ์ หรือพาราโบลา ในการแก้ปัญหาได้ แต่หากไม่ใช่ฟังก์ชันกำลังสอง เราจะต้องใช้ความรู้เรื่องอนุพันธ์ในการแก้ปัญหา ซึ่งก่อนที่จะศึกษาเรื่องนี้ เราจำเป็นต้องมีความรู้พื้นฐานในเรื่องของฟังก์ชันเพิ่มและฟังก์ชันลดเสียก่อน ดังนี้

ฟังก์ชันเพิ่มและฟังก์ชันลด

$f$ จะเป็นฟังก์ชันเพิ่มบนช่วง $A$ ก็ต่อเมื่อ สำหรับสมาชิก $x_1$ และ $x_2$ ใดๆ ใน $A$ ถ้า $x_1 < x_2$ แล้ว $f(x_1) < f(x_2)$

$f$ จะเป็นฟังก์ชันลดบนช่วง $A$ ก็ต่อเมื่อ สำหรับสมาชิก $x_1$ และ $x_2$ ใดๆ ใน $A$ ถ้า $x_1 < x_2$ แล้ว $f(x_1) > f(x_2)$

เราอาจกล่าวง่ายๆ ได้ว่า ฟังก์ชันเพิ่มบนช่วงใดๆ คือฟังก์ชันที่เมื่อค่า $x$ เพิ่มขึ้นบนช่วงนั้น ค่า $y$ จะเพิ่มขึ้นตามด้วย ส่วนฟังก์ชันลดบนช่วงใดๆ คือฟังก์ชันที่เมื่อค่า $x$ เพิ่มขึ้นบนช่วงนั้น ค่า $y$ จะลดลงสวนทางกัน

 

พิจารณาฟังก์ชัน $y=f(x)$ ดังกราฟต่อไปนี้

 

 

จะเห็นว่า ในบางช่วงกราฟเป็นฟังก์ชันเพิ่ม และในบางช่วงกราฟเป็นฟังก์ชันลด พิจารณาความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้งของกราฟช่วงที่เป็นฟังก์ชันเพิ่ม และช่วงที่เป็นฟังก์ชันลด ดังนี้

 

                

 

จะเห็นว่า กราฟที่เป็นฟังก์ชันเพิ่มนั้น ความชันของเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ณ จุดใดๆ บนเส้นโค้งนี้มีค่าเป็นบวกเสมอ นั่นคือ $f'(x)>0$

 

                

 

ส่วนกราฟที่เป็นฟังก์ชันลด ความชันของเส้นโค้ง ณ จุดใดๆ บนเส้นโค้งนี้มีค่าติดลบเสมอ นั่นคือ $f'(x)<0$

เราสามารถสรุปเป็นทฤษฎีบทในการตรวจสอบฟังก์ชันว่าเป็นฟังก์ชันเพิ่มหรือฟังก์ชันลดในช่วงใดบ้าง ดังนี้

 

ทฤษฎีบท

ให้ $f$ เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ทุกๆ จุด บนช่วง $A \subset D_f$

1.  ถ้า $f'(x)>0$ สำหรับทุกค่า $x$ บนช่วง $A$ แล้ว $f$ จะเป็นฟังก์ชันเพิ่มบนช่วง $A$

2.  ถ้า $f'(x)<0$ สำหรับทุกค่า $x$ บนช่วง $A$ แล้ว $f$ จะเป็นฟังก์ชันลดบนช่วง $A$

 

ตัวอย่างการตรวจสอบฟังก์ชันว่าเป็นฟังก์ชันเพิ่มหรือฟังก์ชันลดบนช่วงใดบ้าง

ตัวอย่างที่ 1

กำหนดฟังก์ชัน $f(x)=2x^3-3x^2-12x+4$ จงตรวจสอบว่า $f$ เป็นฟังก์ชันเพิ่มและฟังก์ชันลดบนช่วงใด

จาก $f(x)=2x^3-3x^2-12x+4$ จะได้

$f'(x)=6x^2-6x-12$

ตรวจสอบช่วงที่เป็นฟังก์ชันเพิ่ม ให้ $f'(x)>0$ จะได้

\begin{eqnarray*}
6x^2-6x-12 &>& 0\\
x^2-x-2 &>& 0\\
(x+1)(x-2) &>& 0
\end{eqnarray*}

จะได้ว่า $f'(x)>0$ บนช่วง $(-\infty,-1)$ และ $(2,\infty)$

และ $f'(x)<0$ บนช่วง $(-1,2)$

$f$ เป็นฟังก์ชันเพิ่มบนช่วง $(-\infty,-1)$ และ $(2,\infty)$ และเป็นฟังก์ชันลดบนช่วง $(-1,2)$


 

ตัวอย่างที่ 2

 กำหนดฟังก์ชัน $f(x)=x^4-8x^2+12$ จงตรวจสอบว่า $f$ เป็นฟังก์ชันเพิ่มและฟังก์ชันลดบนช่วงใด

จาก $f(x)=x^4-8x^2+12$ จะได้

$f'(x)=4x^3-16x$

ตรวจสอบช่วงที่เป็นฟังก์ชันเพิ่ม ให้ $f'(x)>0$ จะได้

\begin{eqnarray*}
4x^3-16x &>& 0\\
x^3-4x &>& 0\\
x(x^2-4) &>& 0\\
x(x-2)(x+2) &>& 0
\end{eqnarray*}

จะได้ว่า $f'(x)>0$ บนช่วง $(-2,0)$ และ $(2,\infty)$

และ $f'(x)<0$ บนช่วง $(-\infty,-2)$ และ $(0,2)$

 $f$ เป็นฟังก์ชันเพิ่มบนช่วง $(-2,0)$ และ $(2,\infty)$ และเป็นฟังก์ชันลดบนช่วง $(-\infty,-2)$ และ $(0,2)$


 

จะเห็นว่า ช่วงที่กราฟเป็นฟังก์ชันเพิ่มหรือฟังก์ชันลดนั้น จะเป็นช่วงเปิด เนื่องจากที่จุดปลายของช่วงนั้น เป็นจุดที่กราฟกำลังเปลี่ยนจากฟังก์ชันเพิ่มกลายเป็นฟังก์ชันลด หรือเปลี่ยนจากฟังก์ชันลดกลายเป็นฟังก์ชันเพิ่ม จึงไม่สามารถบอกได้ว่า ณ จุดนั้น กราฟเป็นฟังก์ชันแบบใด เราเรียกจุดเหล่านั้นว่า จุดวกกลับ  ซึ่งจะกล่าวถึงรายละเอียดในหัวข้อถัดไป

คำคล้าย: 
  • ฟังก์ชันเพิ่มและฟังก์ชันลด
  • ฟังก์ชันโมโนโทน
  • Monotone Function
  • Increasing and Decreasing Function