อนุพันธ์อันดับสูง (High Order Derivative)


อนุพันธ์อันดับสูง

ในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่ผ่านมา จะพบว่า $f'(x)$ ซึ่งเป็นอนุพันธ์ของ $f(x)$ นั้นยังคงเป็นฟังก์ชันที่สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่ $x$ นั่นหมายความว่าเราสามารถหาอนุพันธ์ของ $f'(x)$ ได้อีก ซึ่งเราเรียกอนุพันธ์ของ $f'(x)$ ที่ $x$ ว่า อนุพันธ์อันดับที่ 2 ของ $f$ เขียนแทนด้วย $f''(x)$ ดังนิยามต่อไปนี้

บทนิยาม:  ให้ $f$ เป็นฟังก์ชันที่สามารถหาอนุพันธ์ได้ และ $f'(x)$ เป็นอนุพันธ์ของฟังก์ชัน $f$ ที่ $x$ ซึ่งสามารถหาอนุพันธ์ได้ จะเรียกอนุพันธ์ของอนุพันธ์ของฟังก์ชัน $f$ ที่ $x$ หรืออนุพันธ์ของฟังก์ชัน $f'$ ที่ $x$ ว่า อนุพันธ์อันดับที่ 2 ของ $f$ ที่ $x$ และเขียนแทนด้วย $f''(x)$

นอกจากนี้ยังมีสัญลักษณ์อื่นที่ใช้แทนอนุพันธ์อันดับที่ 2 ของ $f$ ที่ $x$ อีก เช่น $\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2}, \frac{d^2}{dx^2}f(x)$ และ $y''$ เป็นต้น

 

ตัวอย่างการหาอนุพันธ์อันดับที่ 2

ตัวอย่างที่ 1

กำหนด $f(x)=5x^3+6x^2+2x-3$ จงหา $f''(x)$

\begin{eqnarray*}
f'(x) &=& 5(3x^2)+6(2x)+2-0\\
&=& 15x^2+12x+2
\end{eqnarray*}

จะได้ $f'(x)=15x^2+12x+2$

\begin{eqnarray*}
f''(x) &=& 15(2x)+12+0\\
&=& 30x+12
\end{eqnarray*}

$f''(x)=30x+12$ 


 

ตัวอย่างที่ 2

กำหนด $\displaystyle f(x)=x^2+2-\frac{2}{x}$ จงหา $f''(x)$

$\displaystyle f(x)=x^2+2-2x^{-1}$

\begin{eqnarray*}
f'(x) &=& 2x+0-2(-1)x^{-2}\\
&=& 2x+\frac{2}{x^2}
\end{eqnarray*}

จะได้ $f'(x)=2x+\frac{2}{x^2}$

\begin{eqnarray*}
f''(x) &=& 2+(-2)(2x^{-3})\\
&=& 2-\frac{4}{x^3}
\end{eqnarray*}

 $\displaystyle f''(x)=2-\frac{4}{x^3}$


 

ตัวอย่างที่ 3

กำหนด $f(x)=(x^4-2)^5$ จงหา $f''(1)$ 

ข้อนี้ต้องใช้กฎลูกโซ่ หรือการดิฟไส้

\begin{eqnarray*}
f'(x) &=& 5(x^4-2)^4(4x^3)\\
&=& 20x^3(x^4-2)^4
\end{eqnarray*}

จะได้ $f'(x)=20x^3(x^4-2)^4$ ซึ่งต้องใช้สูตรดิฟผลคูณ

\begin{eqnarray*}
f''(x) &=& 20x^3[4(x^4-2)^3(4x^3)]+(x^4-2)^4(60x^2)\\
&=& 320x^6(x^4-2)^3+60x^2(x^4-2)^4
\end{eqnarray*}

ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
f''(1) &=& 320(1)^6((1)^4-2)^3+60(1)^2((1)^4-2)^4\\
&=& 320(-1)^3+60(-1)^4\\
&=& -320+60\\
&=& -260
\end{eqnarray*}

$f''(1)=-260$ 

 

ในทำนองเดียวกัน ฟังก์ชัน $f''(x)$ ที่ได้จากการหาอนุพันธ์อันดับที่ 2 ยังคงเป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้อีก ซึ่งผลลัพธ์ที่ได้จากการการหาอนุพันธ์ของ $f''(x)$ เราเรียกว่า อนุพันธ์อันดับที่ 3 ของ $f$  ใช้สัญลักษณ์ $f'''(x)$ และสามารถหาอนุพันธ์ต่อไปได้เรื่อยๆ เป็นอนุพันธ์อันดับที่ 4, 5, 6, ..., n ใช้สัญลักษณ์ดังนี้

$f'''(x)$ หรือ $\displaystyle \frac{d^3y}{dx^3}$ แทนอนุพันธ์อันดับที่ 3 ของ $f$ ที่ $x$
$f^{(4)}(x)$ หรือ $\displaystyle \frac{d^4y}{dx^4}$ แทนอนุพันธ์อันดับที่ 4 ของ $f$ ที่ $x$
$\vdots$                       $\vdots$                    $\vdots$
$f^{(n)}(x)$ หรือ $\displaystyle \frac{d^ny}{dx^n}$ แทนอนุพันธ์อันดับที่ n ของ $f$ ที่ $x$

ตั้งแต่อนุพันธ์อันดับที่ 4 ขึ้นไป จะใช้สัญลักษณ์เป็น $f^{(n)}(x)$ เมื่อ $n$ แทนอันดับ ไม่ใช้ตัว $'$ (prime) เพราะจะยาวเกินไปครับ

 

ตัวอย่างการหาอนุพันธ์อันดับที่ $n$

ตัวอย่างที่ 4

จงหาอนุพันธ์อันดับที่ 4 ของ $f(x)=5x^4+2x^3-x+2$

\begin{eqnarray*}
f'(x) &=& 5(4x^3)+2(3x^2)-1+0\\
&=& 20x^3+6x^2-1\\
f''(x) &=& 20(3x^2)+6(2x)-0\\
&=& 60x^2+12x\\
f'''(x) &=& 60(2x)+12\\
&=& 120x+12\\
f^{(4)}(x) &=& 120
\end{eqnarray*}

$f^{(4)}(x)=120$ 


 

ตัวอย่างที่ 5

จงหาอนุพันธ์อันดับที่ 3 ของ $\displaystyle f(x)=\frac{6}{x^4}$

$f(x)=6x^{-4}$

\begin{eqnarray*}
f'(x) &=& 6(-4x^{-5})\\
&=& -24x^{-5}\\
f''(x) &=& -24(-5x^{-6})\\
&=& 120x^{-6}\\
f'''(x) &=& 120(-6x^{-7})\\
&=& -720x^{-7}
\end{eqnarray*}

$\displaystyle f'''(x)=-\frac{720}{x^7}$


 

ตัวอย่างที่ 6

กำหนด $f(x)=(5x^2-3)(7x^3+x)$ จงหา $f''(-1)$

ในข้อนี้เราสามารถกระจายให้อยู่ในรูปพหุนามก่อนก็ได้ แต่ในที่นี้ขอใช้การดิฟผลคูณนะครับ

\begin{eqnarray*}
f'(x) &=& (5x^2-3)(7(3x^2)+1)+(7x^3+x)(5(2x)-0)\\
&=& (5x^2-3)(21x^2+1)+(7x^3+x)(10x)\\
&=& (5x^2-3)(21x^2+1)+(70x^4+10x^2)\\
f''(x) &=& (5x^2-3)(21(2x)+0)+(21x^2+1)(5(2x)-0)+70(4x^3)+10(2x)\\
&=& (5x^2-3)(42x)+(21x^2+1)(10x)+280x^3+20x\\
&=& 210x^3-126x+210x^3+10x+280x^3+20x\\
&=& 700x^3-96x
\end{eqnarray*}

ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
f''(-1) &=& 700(-1)^3-96(-1)\\
&=& -700+96\\
&=& -604
\end{eqnarray*}

$f''(-1)=-604$ 


 

ตัวอย่างที่ 7

กำหนด $f(x)=3x^4-2x+\sqrt{x}-5$ จงหา $f'''(1)$ 

$f(x)=3x^4-2x+x^{\frac{1}{2}}-5$

\begin{eqnarray*}
f'(x) &=& 3(4x^3)-2+\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}-0\\
&=& 12x^3-2+\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}\\
f''(x) &=& 12(3x^2)-0+\left(\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{1}{2}\right)x^{-\frac{3}{2}}\\
&=& 36x^2-\frac{1}{4}x^{-\frac{3}{2}}\\
f'''(x) &=& 36(2x)-\left(\frac{1}{4}\right)\left(-\frac{3}{2}\right)x^{-\frac{5}{2}}\\
&=& 72x+\frac{3}{8}x^{-\frac{5}{2}}
\end{eqnarray*}

ดังนั้น

\begin{eqnarray*}
f'''(1) &=& 72(1)+\frac{3}{8}(1)^{-\frac{5}{2}}\\
&=& 72+\frac{3}{8}\\
&=& \frac{579}{8}
\end{eqnarray*}

$\displaystyle f'''(1)=\frac{579}{8}$ 

 

คำคล้าย: 
  • อนุพันธ์อันดับสูง
  • High Order Derivative